Arrivati a questo punto la domanda che sorge spontanea è come legare l’espressione (2.5) con delle osservabili. Per poter dare una risposta oc-corre entrare nel merito di una delle tecniche più utilizzate in Cosmologia: la decomposizione armonica. Questa consiste nel decomporre una funzione dipendente dalle componenti angolari ˆn = (ϑ, φ) sfruttando le armoniche sfe-riche, le quali costituiscono una base ortonormale in un sistema di coordinate sferiche. Se f(ˆn) è la funzione di interesse si ha
f (ˆn) = ∞ X `=0 ` X m=−` a`mY`m(ˆn).
L’espansione in armoniche sferiche è l’analogo della trasformata di Fourier fatta in un volume piatto (Euclideo) D dimensionale, solo che questa vie-ne effettuata in un volume a curvatura non nulla (quindi con dipendenza angolare). In questo caso l’informazione sulla dipendenza dal modulo |k| è contenuta nell’indice ` dell’espansione, mentre l’informazione sulla dipen-denza dalla direzione ˆk è contenuta nell’indice m. Questo significa che, in parole povere, ` da l’informazione sulla scala, mentre m indica la direzione nellla quale stiamo guardando. Quello che rende tale trasformazione così utile è la possibilità di separare il segnale nelle sue diverse componenti: la componente (a00) di monopolo, la componente (a1−1, a10, a11) di dipolo e così via. Inoltre, poiché la scala angolare ϑ va come ϑ ∼ 180◦
più grande diventa ` più piccole sono le scale alle quali stiamo rivolgendo la nostra attenzione.
Figura 2.3: Spettro di potenza D` = `(`+1)2π C` (in alto) e banda residua rispetto al fit dato da ΛCDM (in basso). Il best-fit è effettuato utilizzando il modello ΛCDM . La barra di errore racchiude i contributi dovuti dall’errore statistico e dalla varianza cosmica [35].
Per entrare più nel dettaglio, se T (ˆn) è il campo di temperatura, abbiamo che [30] ∆T T (ˆn) = ∞ X `=0 ` X m=−` a`mY`m(ˆn), (2.7) con a`m= Z dΩˆnY`m∗ (ˆn)∆T T (ˆn). (2.8)
Come abbiamo già accennato, le perturbazioni che portano ad un Universo con delle disomogeneità e delle anisotropie hanno origine nel periodo infla-zionario. Queste sono dovute a delle fluttuazioni quantistiche dei campi che “guidano” l’inflazione (nei modelli più semplici l’inflatone) ed essendo distri-buite in modo (quasi) Gaussiano attorno lo stato di vuoto ci aspettiamo che anche i coefficienti a`m abbiano una distribuzione tale per cui il valor medio sia nullo, i.e.
Infatti, benché il valore di aspettazione sullo stato di vuoto possa essere in generale diverso da zero, ogni valore costante può essere riassorbito ridefi-nendo il campo in esame (semplicemente per traslazione) in modo da poter identificare hδϕi = 0. Dunque il primo contributo non nullo è dato dalla loro varianza e quindi
ha`ma∗`0m0i = δ`0
` δmm0C`, (2.10)
dove C` prende il nome di spettro di potenza angolare.
É utile osservare che per ` fissato abbiamo 2`+1 coefficienti a`m. Inoltre, poiché vale la relazione
C`= 1 2` + 1 m=` X m=−` h|a`m|2i, (2.11)
è possibile definire una certa incertezza fondamentale sulla conoscenza dei C`, chiamata varianza cosmica ∆C` data da
∆C`2= hC`2i − hC`i2
= 1
(2` + 1)2(2` + 1) 3hC`i2+ 2`hC`i2 − hC`i2
= 2
2` + 1hC`i2.
Ne segue quindi che
∆C` C` varianza cosmica = r 2 2` + 1,
la quale risulta avere peso maggiore per ` piccoli. In ogni caso vale la relazione D∆T T (ˆn) ∆T T (ˆn 0)E= 1 4π X ` (2` + 1) C`P`(ˆn · ˆn0). (2.12)
Lo spettro di potenza angolare risulta il punto di congiunzione tra teoria ed esperimento ed il modello ΛCDM restituisce ottime previsioni sulla forma dello spettro di potenza, vedi Figura 2.3. In particolare per scale ` > 30 ritroviamo il plateu di Sachs-Wolfe, questo perché le anisotropie su grandi scale non hanno subito un’evoluzione significativa riflettendo le condizioni iniziali imposte dall’inflazione.
Per scale 30 > ` > 1500 ritroviamo i picchi acustici e questo è dovuto al fatto che su scale intermedie l’interazione tra fotoni e barioni risulta ancora
rilevante. In particolare, prima della ricombinazione, si ha che le perturba-zioni nel potenziale gravitazionale, dominato dalla densità di materia oscura, tendono a comprimere il fluido fotoni-barioni il quale,però, si oppone a que-sta compressione a causa della pressione del fluido dovuta alla presenza di radiazione nell’Universo. Queste fasi di compressione e decompressione del fluido danno origine ad oscillazioni dette oscillazioni acustiche. Successiva-mente alla fase di ricombinazione radiazione e materia si disaccoppiano e quindi la radiazione può viaggiare liberamente verso di noi. A questo punto la fase delle oscillazioni rimane fissa e viene proiettata nel cielo come una serie armonica di picchi, detti appunto picchi acustici.
Infine, per ` ? 1500 ritroviamo una coda di smorzamento. Quello che succede è che le scale in esame sono sufficientemente piccole da poter essere confrontate con la distanza percorsa dai fotoni durante la ricombinazione, la quale non avviene istantaneamente. Infatti proprio per la breve (ma finita) durata della ricombinazione, la superfice di ultimo scattering acquisisce pro-fondità e dunque se la distanza che intercorre tra uno scattering Thomson e l’altro risulta maggiore di questo spessore si ha uno smorzamento delle oscillazioni acustiche.
2.2.1 Legame con la perturbazione di curvatura
Fino ad ora non abbiamo mai affrontato nel dettaglio come relaziona-re lo spettro di potenza relaziona-relativo alla perturbazione di curvatura ζ con lo spettro di potenza angolare del campo di temperatura. Per farlo possiamo osservare che, nella gauge di Poisson, prima che la scala di interesse rientri nell’orizzonte vale la seguente relazione [61]
Φ = −3 + 3w
5 + 3wζ, (2.13)
dove Φ è il potenziale di Bardeen (i) delle (1.69). Questo significa che all’e-poca del disaccoppiamento (approssimandolo come dominato dalla materia con w = 0) abbiamo che
Φ = −3
5ζ. (2.14)
Per esempio nel limite dell’effetto Sachs-Wolfe si ha che ∆T/T = Φ/3 [30], ovvero il potenziale di Bardeen risulta legato al campo di temperatura. Ne segue che ogni informazione cruciale contenuta in Pζ si riflette nello spettro di potenza del CMB. Partendo dalla relazione (2.8) e considerando l’approssimazione Sachs-Wolfe vale
a`m=1 3 Z dΩnˆY`m∗ (ˆn)Φ(xdec) =1 3 Z dΩnˆY`m∗ (ˆn) Z d3k (2π)3eik·xdecΦ∗(k) =4π 3 X `0m0 i`0 Z dΩnˆ Z d3k
(2π)3Y`∗0m0(ˆk)Y`0m0(ˆn)Y`m∗ (ˆn)j`0(krdec)Φ∗(k),
(2.15)
dove il pedice “∗” indica che il potenziale è valutato all’epoca del disaccop-piamento, mentre per l’onda piana è stato sfruttato lo sviluppo in armoniche sferiche [29]
eik·xdec = 4πX
`0m0
i`0j`(krdec)Y`∗0m0(ˆk)Y`0m0(ˆn), (2.16)
con rdecdistanza dalla superfice di disaccoppiamento (xdec = rdecnˆ) e j` fun-zione di Bessel sferica. Sfruttando l’ortornormalità tra le armoniche sferiche otteniamo l’espressione
a`m= i`4π 3
Z d3k
(2π)3Y`m∗ (ˆk)j`(krdec)Φ∗(k). (2.17)
A questo punto è possibile introdurre una funzione di trasferimento D`(k)la quale tiene conto della relazione generale tra Φ e ∆T/T in modo da ottenere, per i coefficienti a`m, l’espressione
a`m= 4πi` Z d3k (2π)3Y`m∗ (ˆk)D`(k)Φ(k). (2.18) Dall’espressione (2.14) segue a`m= −4πi`3 5 Z d3k (2π)3Y`m∗ (ˆk)D`(k)ζ(k), (2.19)
dalla quale risulta possibile relazionare lo spettro di potenza angolare del CMB con lo spettro di potenza relativo alla perturbazione ζ.