Definizione della p-catena olomorfa

Come nel paragrafo precedente supponiamo ν∗ = 0 e scegliamo α > 0 abbas- tanza piccolo affinch`e la condizione del punto 3 del teorema II sia soddisfatta per |ξ| < α, |η| < α.

Assumiamo inoltre, per il momento, che X = [

|η|<α

Xη.

Nel paragrafo precedente `e stata costruita una funzione meromorfa R = R0_,

definita su

H0 = (X0− π−10 (M0)) − Q.

La costruzione dipende dalla validit`a dell’ipotesi 3 del teorema II in un in- torno di ν∗ = 0. Allora, facendo variare il centro di proiezione a di ˙πa<sub>, ci`o che</sub>

`

e equivalente a far variare η, si pu`o ripetere la stessa costruzione e ottenere funzione meromorfa Rη, |η| < α, definita su

Hη = (Xη − πη−1(Mη)) − Q ∼= (Yη − Mη) × C.

Per logRη vale ancora lo sviluppo in serie:

logRη(ξ, w) = C0logw − ∞ X m=0 1 mCm(ξ, η)w −m ,

e C0 `e ancora una funzione localmente costante a valori interi. Lemma 4.3.11: Per |η| < α e ξ ∈ Yη − Mη si ha ∂Cm ∂ηl = m m + 1 ∂Cm+1 ∂ξl .

Dim.: Segue dalla Proposizione 4.3.3 e dal Lemma 4.3.4 (che afferma che Gm _{soddisfa l’equazione} ∂Gm ∂ηl = m m + 1 ∂Gm+1 ∂ξl , l = 2, . . . , n, globalmente, per tutti gli ξ ∈ Yη − Mη).

Definizione della catena T in Hη

Fissato η, diamo un nome all’espressione in serie di potenze di R(ξ, z1), dove

ξj = ( ˙πη(z))j = zj − ηjz1: Φη(z1, . . . , zn) = C0logz1− ∞ X m=0 1 mCm(z2− η2z1, . . . , zn− ηnz1, η)z −m 1 . Poniamo poi Rη(z1, . . . , zn) = exp Φη(z1, . . . , zn).

Se ρ(ξ) indica la distanza di ξ da SingMη in ∆ − Q, allora per δ0 > 0

definiamo

Uηδ0 = {ξ ∈ Cp : ρ_η(ξ) ≤ δ0};

Uηδ0 `e un intorno di SingM_η. Consideriamo

Hηδ = Hη − π−1(Uηδ);

per la formula di Poincar`e-Lelong (cfr. 1.4.3) l’espressione Tηδ =

i πd

0

d00log |Rη|Hηδ|

Definizione di T in X − M

Lemma 4.3.12: Per |η0|, |η00_{| < α e per |η}0_{− η}00_{| abbastanza piccolo vale}

Tη0_δ = T_η00_δ

in Hη0_δ∩ H_η00_δ.

Dim.: Un calcolo esplicito effettuato della derivata logaritmica di Rη

rispetto a ηl mostra che questa dipende soltanto da C1, e precisamente

R−1_η ∂Rη ∂ηl

= ∂C1 ∂ξl

.

Se ora η0, η00 ∈ B(0, α) sono abbastanza vicini, A `e un intorno connesso del segmento [η0, η00], e δ `e abbastanza piccolo, definiamo GAδ =T_η∈AHηδ 6= ∅.

Sia poi A(z, η) una funzione olomorfa per η ∈ A e z ∈ Gaδ, che soddisfi

il sistema ∂A ∂ηl (z, η) = −∂C1 ∂ξl (z2− η2z1, . . . , zn− ηnz1, η), l = 2, . . . , n;

tale sistema determina A a meno di una funzione olomorfa in z su GAδ.

Poich`e exp A `e invertibile, il divisore di R0_η := (exp A)Rη coincide con quello

di Rη. Ma, per la scelta di A, R0η non dipende dalle variabili ηl. Ne segue

che, per η0, η00 ∈ A, si ha Tη0_δ = T_η00_δ in G_Aδ. Per il Lemma 4.3.1, per`o, per δ

fissato il numero di componenti connesse di πη(Hηδ)−πη(M ) `e finito, e dunque

il supporto di Tηδ ha un numero di componenti irriducibili uniformemente

limitato su A; inoltre le componenti di suppTη0_δ e suppT_η00_δ che incontrano

GAδ coincidono con le loro molteplicit`a su GAδ. Basta allora osservare che per

η0 e η00 abbastanza vicini e A abbastanza piccolo le componenti di suppTηδ

che incontrano Hη0_δ ∩ H_η00_δ incontrano anche G_Aδ, e il risultato segue per

prolungamento analitico.

Presi η1, η2 ∈ Bα = B(0, α), sul segmento che li congiunge si scelgono

ηi tali che |ηi− ηi+1_{| sia abbastanza piccolo affinch`e valga T}

ηi_δ = T_ηi+1_δ su

Hηi_δ∩ H_ηi+1_δ; esiste allora una p-catena T_η1_η2_δ di ∪H_ηi_δ che sia uguale a T_ηi_δ

su H_ηi_δ. Questo permette di definire su X_δ0 :=S

η∈BαHηδ la p-catena

Tδ = [

η∈Bα

Tηδ

Lemma 4.3.13: Sia X00 = X −Q. Esiste un’unica p-catena T0 in X00−M tale che per ogni δ > 0 valga

T0|X0

δ = T

δ_.

T’ `e di massa localmente finita intorno a M . Dim.:

• Per tutti gli z ∈ X00_{− M , esiste δ > 0 tale che z ∈ X}0 δ.

Si trova infatti che per a in un aperto denso di X ∩ Q, la retta (a, z) non interseca punti critici di πa_|

M; perci`o esiste un δ abbastanza piccolo

perch`e π−1_η (Uηδ) sia disgiunto dalla retta (a, z).

• Per tutti gli aperti U relativamente compatti in X00_{− M esiste δ > 0}

tale che U ⊂ X_δ0; inoltre per 0 < δ0 < δ risulta Tδ0_|

U = Tδ|U.

Ci`o `e conseguenza del punto precedente e del fatto che [

η∈Bα

Hηδ = Xδ0.

• Il punto precedente consente di dare una buona definizione della cor- rente

T0 = lim

δ→0T δ

in X00− M : presa una funzione φ, C∞_{a supporto compatto in X}00_{− M ,}

e scelto U aperto relativamente compatto tale che Supp φ ⊂ U e un δ tale che U ⊂ X_δ0, poniamo

T0(φ) = Tδ(φ).

• Nell’intorno di ogni z ∈ X00_{− M la corrente T}0 _{`e una catena olomorfa,}

di massa localmente finita intorno a M .

Se scegliamo U 3 z e δ come nel punto precedente e η tale che z ∈ Hηδ,

allora T0 `e definita da Tηδ in U ∩ Hηδ .

Se z ∈ M , scegliamo η0 tale che π−1η0 (πη0(z)) non contenga punti critici:

la stessa cosa allora `e valida per le proiezioni determinate dagli η in un intorno di η0. Scegliamo un intorno di ζ = πη0, relativamente compatto

in Yη, tale che Yη − SingM abbia un numero finito di componenti

connesse; sopra ciascuna di queste SuppT0 ha un numero finito e fisso di fogli; per la disuguaglianza di Wirtinger (cfr. 1.4.2), allora, il volume di SuppT0 (e dunque la massa di T0) `e finito intorno a z.

Lemma 4.3.14: T0 si prolunga ad un’unica p-catena olomorfa T definita in X − M .

Dim.: Basta mostrare che SuppT0 ha volume localmente finito intorno a Q (il volume in CPn _{viene calcolato con la metrica di Fubini - Study, v.}

[KN]), il che si pu`o fare con un ragionamento analogo a quello del lemma precedente.

Lemma 4.3.15: La corrente T definita nel Lemma precedente ha una estensione T a X tale che dT = [M ].

Dim.: Se ζ ∈ M , la disuguaglianza di Wirtinger implica, con un ragion- amento simile a quello usato nei lemmi precedenti, che T ha massa finita attorno a ζ; esiste dunque un’estensione semplice T di T a tutto X. Il teorema di piattezza di Federer (cfr. 1.3.2) implica che

dT = k[M ]

dove k ∈ L1_loc(M ) deve essere un intero localmente costante. Usando il Lemma 4.3.10 e il teorema dei residui si riesce a stabilire che k ≡ 1.

Abbandono dell’ipotesi su X

Con le stesse notazioni adottate finora, poniamo adesso X0 = [

|η|<α

Xη;

nei paragrafi precedenti `e stata trovata una p-catena olomorfa T0 che risolve il problema del bordo in X0 _{per M}0 _{:= M ∩ X}0_.

Vale il seguente risultato di estendibilit`a:

Lemma 4.3.16: Se il problema del bordo `e risolto in un dominio 2- concavo X2<sub>, per M</sub>2 <sub>= M ∩ X</sub>2<sub>, dalla p-catena T</sub>2<sub>, allora T</sub>2 <sub>pu`o essere</sub>

estesa a una p-catena olomorfa T3, definita in un qualche dominio 2-concavo X3 _{⊃ X}2 _{e che risolve il problema del bordo per M}3 _{= M ∩ X}3_.

Dim.: Sia V₂0l’aperto della Grassmanniana G_C(3, n+1) che individua X2; l’estensione si effettua scegliendo un opportuno aperto W0 ⊂ G_C(3, n+1), tale che W0∩ V0

2 6= ∅ e W

0 _{non sia un sottoinsieme di V}0

2. Per una buona scelta di

W0, si vede che si possono usare gli argomenti della sezione 4.2 per mostrare che la condizione 3 del teorema II `e soddisfatta per i ν tali che |ξ| < β,

η0 ∈ W0_{. Allora, con i ragionamenti del paragrafo precedente, si dimostra}

che T2 _{si pu`o estendere a una catena T}3 _{definita in X}3 _:=S

ν0_∈V0_∪W0Pν0.

Proposizione 4.3.17: Nelle ipotesi del Teorema II,se n = p + 1, allora 3 ⇒ 1.

Dim.: Si usa il Lemma precedente e un argomento di massimalit`a.