Poiché la funzione derivata prima è a sua volta una funzione, ci si può chiedere se essa sia deri- vabile oppure no. Nei casi delle funzioni elementari che a noi interessano la risposta è affermativa e conduce al concetto di derivata seconda, terza, ecc., indicate con i simboli
f00(x) Ç D2(f (x)) å , f000(x) Ç D3(f (x)) å , fıv(x) Ç D4(f (x)) å , f(n)(x) Ç D(n)(f (x)) å Esempi.
1. Calcolare la derivata 3a di f (x) = ex. Si ha, facilmente, f000(x) = ex.
2. Calcolare le derivate prima, seconda, ecc., (n + 1)-esima di f (x) = xn. Si ha
f0(x) = nxn−1, f00(x) = n(n − 1)xn−2, f000(x) = n(n − 1)(n − 2)xn−3, . . . , f(n)(x) = n(n − 1) · · · 1 = n!, fn+1(x) = 0 .
5 Grafici di funzioni
L’introduzione del concetto di derivata si rivela un importante successo per risolvere il problema di studiare le proprietà delle funzioni, fino a giungere al tracciamento di un grafico significativo. La parte dell’analisi che studia le proprietà delle funzioni che si possono ricavare sulla base delle loro derivate si chiama calcolo differenziale. Tale importante settore della matematica si basa su alcuni teoremi classici, di alcuni dei quali (quelli più importanti ai nostri fini) ci limiteremo a fornire gli enunciati e una giustificazione grafica. Si tratta dei cosiddetti teoremi fondamentali del calcolo differenziale: i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Conseguenza di questi teoremi è la famosa regola di l’Hôpital per il calcolo di limiti in forma indeterminata.
5.1 I teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Teorema 5.1 (Teorema di Rolle). Sia f una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] e avente le seguenti proprietà:
1. f è continua in [a, b] (compresi gli estremi!);
2. f è derivabile almeno in ]a, b[ (potrebbe non essere derivabile negli estremi, per esempio potrebbe avere derivata infinita negli estremi);
3. f (a) = f (b) (le “quote” iniziale e finale del grafico sono identiche).
Allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] dove la derivata prima della funzione si annulla.
Le figure che seguono danno una giustificazione grafica di questo risultato, se si tiene conto che avere derivata nulla significa avere tangente orizzontale. Il punto (o i punti di cui parla il teorema si possono chiamare “punti di Rolle”)
b | a b| | f(a) = f(b) | c b | a b| | f(a) = f(b) | c1 b | c2
Figura 5.1 Esempi di funzioni con uno e due “punti di Rolle”
Approfittiamo di questo teorema per fare delle osservazioni su che cosa significhi condizione sufficiente. Le tre condizioni presenti nell’enunciato di questo teorema sono delle condizioni sufficienti per la validità dello stesso. Infatti se anche una o più di queste condizioni manca, non si può concludere con la tesi, come dimostrano i tre grafici che seguono: nel primo manca solo l’ipotesi di continuità in tutto [a, b], nel secondo manca solo l’ipotesi di derivabilità all’interno
di [a, b], nel terzo manca solo l’ipotesi che le quote agli estremi siano uguali. In tutti e tre i casi non esiste alcun punto di Rolle.
| a b| | b b c | a b| | | a b| | |
Figura 5.2 Tre esempi di non applicabilità del Teorema di Rolle
Tutto questo non significa affatto che se mancano una o più delle tre condizioni presenti nell’enunciato del teorema non esiste alcun punto di Rolle, come mostra il seguente grafico, in cui mancano addirittura tutte e tre le condizioni, ma dove esistono addirittura due punti in cui il grafico ha tangente orizzontale.
| f(a) | f(b) | a b| b | c1 b c | c2
Figura 5.3 Un esempio in cui esistono punti di Rolle, nonostante le ipotesi non siano verificate
Il motivo di questo comportamento è da ricercarsi nel fatto che le condizioni per la validità del Teorema di Rolle non sono necessarie: anche se mancano, la tesi può essere ugualmente vera. Esempio. Se una funzione soddisfa le ipotesi del teorema, almeno un punto di Rolle esiste sicuramente. Per trovarlo analiticamente basterà risolvere l’equazione, nell’incognita c, f0(c) = 0.
Consideriamo la funzione, avente dominio l’intervallo [0, 1],
f (x) = 5x3− 5x2+ 1 .
Essa soddisfa chiaramente le ipotesi del teorema di Rolle, per cui deve esistere almeno un punto c, interno al dominio, dove f0(c) = 0. Per trovarlo basterà risolvere l’equazione
15c2− 10c = 0 ⇒ c = 0 ∨ c = 2 3.
Solo il punto c =2/3 va bene, perchè l’altro è situato proprio sulla frontiera del dominio.
Teorema 5.2 (Teorema di Lagrange). Sia f una funzione definita in un intervallo chiuso [a, b] e avente le seguenti proprietà:
Appunti del corso di Matematica e Statistica 5.1 I teoremi fondamentali del calcolo differenziale
1. f è continua in [a, b] (compresi gli estremi!);
2. f è derivabile almeno in ]a, b[ (potrebbe non essere derivabile negli estremi, per esempio potrebbe avere derivata infinita negli estremi).
Allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] dove per la derivata prima della funzione si ha
f0(c) = f (b) − f (a) b − a .
Siccome il numero (f (b) − f (a))/(b − a) è il coefficiente angolare della retta passante per i punti
A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)), mentre f0(c) è il coefficiente angolare della tangente al grafico in un punto interno c, il teorema precedente si può interpretare geometricamente dicendo che esiste un punto interno al dominio dove la tangente è parallela alla secante passante per gli estremi. Si può vedere il grafico che segue per rendersi ancora meglio conto del senso di questa interpretazione.
b A b B b | c | f(b) | f(a) | a b|
Figura 5.4 Interpretazione geometrica del Teorema di Lagrange
Esempio. Verifichiamo che la funzione f (x) = x2+ x verifica, nell’intervallo [−1, 2], il Teorema
di Lagrange e determiniamo il, oppure i, “punti di Lagrange”.
La verifica delle ipotesi è immediata. Troviamo i punti di Lagrange. Si ha f0(c) = 2c + 1 ; mentre f (b) − f (a) b − a = f (2) − f (−1) 2 − (−1) = (4 + 2) − (1 − 1) 3 = 2.
Deve dunque essere
2c + 1 = 2 ⇒ c = 1 2,
che è interno all’intervallo del dominio. Si veda la figura seguente, dove abbiamo usato diverse unità di misura sui due assi.
2 4 6 1 2 3 −1 −2 −3 b A b B b
Per le applicazioni sono importantissimi i seguenti tre corollari del teorema di Lagrange. Primo corollario Se f è una funzione definita e continua in un intervallo [a, b] e ha derivata
> 0 in ]a, b[, allora f è crescente in [a, b]; se ha derivata < 0 è invece decrescente. Per dimostrarlo basta osservare che se prendo due punti x1 e x2, con x1< x2, si ha
f (x2) − f (x1)
x2− x1
= f0(c) > 0 ⇒ f (x2) > f (x1) ,
il contrario se la derivata è negativa.
Secondo corollario Se f è una funzione definita e continua in un intervallo [a, b] e ha derivata = 0 in ]a, b[, è costante in [a, b]. Per dimostrarlo basta prendere un punto x qualunque di [a, b] e osservare che si ha
f (x) − f (a) x − a = f
0
(c) = 0 ⇒ f (x) = f (a) ,
ovvero che f (x) si trova sempre alla stessa quota di f (a).
Terzo corollario Se f e g sono due funzioni definite e continue in un intervallo [a, b] e con la stessa derivata in ]a, b[, allora la funzione f − g è costante in [a, b]. Per dimostrarlo basta osservare che f − g ha derivata nulla in ]a, b[.
Teorema 5.3 (Teorema di l’Hôpital). Siano date due funzioni f e g definite e continue in un intorno di un punto c (eventualmente anche ±∞), derivabili almeno nei punti diversi da c, con g0(x) sempre diversa da zero. Sia inoltre
1. lim
x→cf (x) = limx→cg(x) = 0 ,
oppure 2. lim
x→cf (x) = limx→cg(x) = ∞ (con qualunque segno) .
Allora per calcolare il
lim
x→c
f (x) g(x)
che si presenta nella forma indeterminata 0/0 oppure ∞/∞, si può provare a calcolare il
lim
x→c
f0(x) g0(x).
Se quest’ultimo limite esiste (finito o no), esiste anche quello del rapporto delle due funzioni e i due limiti sono identici.
Esempio. Il
lim
x→+∞
ex x si presenta nella forma indeterminata + ∞/+ ∞. Si ha poi
lim x→+∞ f0(x) g0(x) = limx→+∞ ex 1 = +∞ e quindi anche lim x→+∞ ex x = +∞ . Si usa abbreviare questo procedimento nel modo seguente:
lim x→+∞ ex x (H) = lim x→+∞ ex 1 = +∞ .
A questo punto si può “cancellare la (H) sopra l’uguale” e concludere che il limite cercato vale +∞.