considerazione quelli giusti, si verifica una diminuzione percentuale, ma più lieve (del 4%). Inoltre emerge che nel test inizale la maggior parte degli studenti riporta un esempio letterale di espressione, mentre nel test finale quasi tutti forniscono un esempio numerico.
Consideriamo ora l’analisi delle risposte alle domande aperte su cosa voglia dire risolvere un’equazione e semplificare un’espressione. Esaminando le risposte alla prima domanda, emerge un notevole miglioramento di spiegazioni corrette dal 52% al 90%, mentre nelle risposte alla seconda domanda si evidenzia un progresso meno significativo (dal 48% al 55%). Inoltre, nel test finale, il 20% degli studenti dà la stessa risposta sia per spiegare cos’è un’equazione che per spiegare come si risolve (vedi Figura 4.2). Tale risposta è quella che ricorre più spesso tra quelli che non sono stati in grado di spiegare correttamente il significato di equazione nel test finale. Al contrario nel test iniziale nessuno confonde le due richieste.
Figura 4.2: Risposta sul significato e risoluzione di equazione.
4.2
Descrizione e analisi seconda parte
In questa sezione vengono messi a confronto il quesito 8 del test iniziale con i quesiti 2 e 3 del test finale. L’obiettivo principale dei quesiti era indagare la capacità di passare dalla rappresentazione geometrica a quella algebrica e viceversa.
4.2 Descrizione e analisi seconda parte
Il quesito 2 del test finale è composto da tre domande aperte, nella prima è richiesto di rappresentare attraverso un’espressione algebrica l’area rappresentata in figura, nella seconda va scomposta l’espressione trovata in due fattori e nella terza bisogna dare una rappresentazione geometrica del prodotto ottenuto. Di seguito si riporta la risoluzione corretta del quesito 2 (vedi Figure 4.3 e 4.4) di una studentessa.
Figura 4.3: Risoluzione corretta quesito 2a e 2b.
Figura 4.4: Risoluzione corretta quesito 2c.
Anche il quesito 3 è composto da tre domande aperte, nella prima è richiesto di rap- presentare attraverso un’espressione algebrica il segmento dato in figura, nella seconda è richiesta l’impostazione di un’equazione e nella terza di trovare una soluzione e farne una verifica sia algebrica che geometrica. Di seguito si riporta la risoluzione corretta del
4.2 Descrizione e analisi seconda parte
quesito 3 (vedi Figura 4.5) eseguito da una studentessa, che aggiunge nella risposta alla terza domanda anche un’altra rappresentazione geometrica.
Figura 4.5: Risoluzione corretta quesito 3.
Nel quesito 8 del test iniziale è presente una differenza significativa: non viene data la figura nel testo. A partire dalla relazione, tra le dimensioni di un rettangolo data dal testo, si chiede rappresentare attraverso un’espressione algebrica il perimetro e l’area. Di seguito si riporta la risoluzione corretta del quesito 8 (vedi Figura 4.6).
4.2 Descrizione e analisi seconda parte
Quesito 2:
• Dell’80% degli studenti che risponde correttamente alla prima domanda, solo uno semplifica l’espressione trovata;
• La seconda domanda viene svolta dal 30% degli studenti; di questi solo la metà risponde correttamente, uno sbaglia completamente la risposta mentre gli altri due scompongono l’espressione in tre fattori invece che due, di cui uno numerico; • La terza domanda viene svolta dal 15% degli studenti, di cui due rifanno la figura
del testo, uno rappresenta correttamente quanto richiesto e un altro propone una figura diversa da quella richiesta (un rettangolo) ma comunque equivalente alla figura iniziale (si veda Figure 4.7 e 4.8).
4.2 Descrizione e analisi seconda parte
Figura 4.8: Risposta quesito 2c.
Quesito 3:
• Tutti svolgono correttamente la prima consegna;
• Il 90% riesce ad impostare correttamente l’equazione richiesta partendo dalla rap- presentazione geometrica;
• Per quanto riguarda la terza consegna la metà degli studenti non esegue la verifica algebrica mentre il 20% non esegue quella geometrica. Solo l’11% degli studenti che impostano correttamente l’equazione non riesce a risolverla. Uno di questi imposta correttamente l’equazione al punto precedente e poi risolve un’equazione diversa (si veda Figura 4.9).
4.2 Descrizione e analisi seconda parte
Figura 4.9: Risposta quesito 3.
Quesito 8:
• Il 32% degli studenti svolge correttamente tale quesito;
• Il 12% imposta la relazione tra le dimensioni del rettangolo in maniera inversa rispetto a come richiesto;
• Del 48% degli studenti che indica correttamente l’espressione dell’area, il 33% sbaglia l’espressione del perimetro;
• Il 44% fornisce un’espressione corretta per il perimetro.
Si osserva inoltre che solo il 25% degli studenti che riporta le espressioni corrette di perimetro o area, semplifica poi le espressioni facendo i conti.
Capitolo 5
Interpretazione dei risultati e
conclusioni
A conclusione del lavoro di tesi, e per cercare di valutare l’utilità del percorso svolto, si è deciso di interpretare i dati emersi dai test, dalle registrazioni delle lezioni e dai pro- tocolli delle attività svolte, all’interno del quadro delle “componenti dell’apprendimento della matematica”. L’apprendimento della matematica infatti può essere visto come una combinazione di molteplici fattori, come riportato in [5, pag. 130]:
«In matematica, infatti, non basta aver costruito un concetto, ma occorre saperlo usare per effettuare calcoli o dare risposta ad esercizi, combinarlo con altri e con strategie op- portune per risolvere problemi, occorre saper spiegare a sé stessi ed agli altri il concetto costruito e la strategia seguita, occorre saper far uso sapiente delle trasformazioni semio- tiche che permettono di passare da una rappresentazione ad un’altra.»
Quindi nel processo di apprendimento della matematica è possibile individuare le seguenti “componenti”:
• Apprendimento concettuale (capacità di costruzione cognitiva di un concetto); • Apprendimento algoritmico (capacità di fare operazioni, di applicare formule o
disegnare figure);
• Apprendimento strategico (capacità di risolvere problemi, di trovare strategie di risoluzione);
5.1 Apprendimento concettuale
• Apprendimento comunicativo (capacità di esprimere idee matematiche giustifican- do, argomentando, dimostrando e rappresentando in modo efficace);
• Apprendimento semiotico (capacità di gestire le rappresentazioni di un concetto). Quest’ultimi non sono né separabili, né indipendenti, né disgiunti e nemmeno esaustivi ma possono aiutare l’insegnante a scindere il problema dell’apprendimento e contempo- raneamente a dargli spessore. Inoltre questa visione può dare una chiave di lettura per analizzare le cause degli errori degli studenti e può permettere di fare una valutazione più specifica dell’apprendimento e dell’azione didattica.
In quest’ottica, il percorso progettato in questa tesi lavora prevalentemente ed esplici- tamente sulla componente semiotica. Di conseguenza, per quanto visto nel Capitolo 2, implicitamente mira a migliorare anche l’apprendimento concettuale. Inoltre la meto- dologia utilizzata in aula in piccoli gruppi, dà la possibilità agli studenti di confrontarsi migliorando la capacità di argomentare, rappresentare e giustificare mettendo in luce anche gli aspetti comunicativi dell’apprendimento.
5.1
Apprendimento concettuale
Per valutare l’impatto e le criticità del percorso svolto rispetto all’apprendimento concettuale è stata presa in considerazione l’analisi del quesito 1, proposto nella stessa forma nel questionario iniziale e finale, e riportata nella Sezione 4.1.
- Esempio di prodotto notevole: l’aumento della percentuale di studenti che forni- scono un esempio scorretto in quanto scrivono solo un membro dell’equazione (si veda Figura 4.1), potrebbe essere dovuto dal fatto che, durante le attività in aula, veniva posta l’attenzione inizialmente ad un singolo membro e solo in un momento successivo si verificava che fosse uguale all’altro;
- Significato di equazione ed espressione: il fatto che la percentuale di risposte cor- rette sia aumentata per “equazione” e si sia abbassata per “espressione”, può essere legato alla scelta delle attività svolte in aula che riguardavano più le identità e le equazioni rispetto alle espressioni;
5.2 Apprendimento semiotico
- Esempio corretto di espressione: dal 71% letterale al 93% numerico. Questo cam- biamento potrebbe essere dovuto dal fatto che nel test iniziale, diversamente ri- spetto a quello finale, era presente un’espressione letterale nel quesito 7. Inoltre potrebbe anche essere conseguenza del fatto che durante le lezioni l’uso delle let- tere era stato riferito prevalentemente ai termini prodotto notevole, identità ed equazione.
Bisognerebbe quindi sottolineare ed evidenziare maggiormente il fatto che un prodotto notevole è un’identità e che quindi è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche sempre verificata. Inoltre bisognerebbe soffermarsi di più anche sul concetto di espressione perchè se gli studenti non hanno compreso correttamente il senso del termine, significa che non hanno la consapevolezza totale nemmeno del concetto di equazione e d’identità.
5.2
Apprendimento semiotico
Per valutare il percorso in termini di apprendimento semiotico, si è tenuto conto dei dati relativi ai quesiti 2, 3 del test finale, 8 del test iniziale (riportati nella Sezione 4.2) e alle attività svolte in aula, grazie al supporto delle registrazioni e dei fascicoli.
- Capacità di conversione: complessivamente dal confronto delle risposte esatte dei quesiti emerge un miglioramento nella capacità di convertire da un registro all’altro. Qualche studente dimostra anche una certa iniziativa, fornendo rappresentazioni diverse ma coerenti (vedi Figure 4.5 e 4.8);
- Semplificazione dell’espressione che indica un oggetto geometrico: nel quesito 2 anche se l’80% degli studenti scrive l’espressione giusta, solo il 6% di quest’ultimi la riduce ai minimi termini. Si riscontra la stessa cosa ma con percentuali legger- mente differenti nel quesito 8. Ciò potrebbe essere dovuto dal fatto che l’esercizio non chiede esplicitamente di semplificare un’espressione data, ma chiede di trovare un’espressione che indichi, nel primo caso solo la misura dell’area richiesta, nel secondo la misura di area e perimetro;
5.3 Apprendimento comunicativo
- Rappresentazione geometrica di x nelle attività 4 e 5: ci sono state alcune problema- tiche comuni a tutti i gruppi, legate alla difficoltà di rappresentare geometricamente x non conoscendo il suo valore;
- Difficoltà nella rappresentazione geometrica bidimensionale di un prodotto avente un fattore numerico: nelle attività 4 e 5, quasi tutti rappresentano i monomi di primo grado in una dimensione attraverso dei segmenti, quindi interpretando il prodotto come somma ripetuta. Tale rappresentazione, di per sè corretta se co- struita pensando al singolo monomio, non è funzionale alla rappresentazione del polinomio: nel momento in cui si vogliono “unire” le rappresentazioni geometriche dei singoli monomi è importante avere rappresentazioni omogenee (tutte aree o tutte lunghezze);
- Difficoltà nel passaggio da rappresentazione geometrica ad algebrica: nella prima attività, dopo aver rappresentato geometricamente un membro dell’uguaglianza diversi gruppi non riescono a verificare che la figura restante sia l’altro membro, oppure nella seconda e nella terza attività, una volta arrivati ad avere rappresentato geometricamente ciò che chiedeva la consegna, non riescono a esprimere la relazione algebrica.
In riferimento alle difficoltà sopra citate, sarebbe opportuno fin da subito mostrare le diverse rappresentazioni di uno stesso oggetto, ad esempio algebriche e geometriche, come interconvertibili. Il passaggio dinamico da una rappresentazione all’altra aiuta ad assumere più consapevolezza e ad allontanare la concezione statica di esse percepita dagli studenti durante l’insegnamento. Inoltre andrebbe evidenziato come tra diverse rappresentazioni di uno stesso oggetto vada scelta quella che meglio si presta al problema da affrontare.
5.3
Apprendimento comunicativo
Per valutare il percorso in termini di apprendimento comunicativo si è deciso di utilizzare quanto emerso dalle registrazioni e dai protocolli delle attività analizzati nella Sezione 3.3 del Capitolo 3.
5.4 Conclusioni
- Utilizzo dei gruppi: ragionando ad alta voce insieme ai compagni si riescono a comprendere molte più cose, ognuno può dare un contributo interessante sia cor- retto che scorretto. La discussione stimola il ragionamento, l’argomentazione la riflessione;
- Attribuzione di ruoli: per le attività in ogni gruppo ognuno aveva un ruolo, questo si è rivelato importante per far si che partecipassero tutti;
- Difficoltà nell’esprimersi con un linguaggio formale: gli studenti spesso utilizzano un linguaggio informale che li ostacola nella comunicazione.
A fronte dell’efficacia del lavoro in gruppi sarebbe opportuno che gli insegnanti utilizzas- sero maggiormente questa metodologia, promuovendo così non solo l’apprendimento, ma anche la comunicazione e il confronto. Occorrerebbe stimolare gli studenti ad esprimersi con un linguaggio via via più formale allo scopo di migliorare la comunicazione. Per questo, sarebbe di fondamentale importanza mettere in relazione tra loro i vari tipi di linguaggi (matematico, naturale, “degli studenti”) facendo confronti e mettendo in luce differenze e vantaggi.
5.4
Conclusioni
Questo lavoro di tesi mi ha permesso di riflettere e, di conseguenza, notare che la me- morizzazione non porta alla comprensione del significato, il che vuol dire che gli elementi vengono ignorati e i dettagli possono essere confusi. Inoltre, questo tipo di apprendi- mento, può anche essere considerato “noioso” a causa della sua natura ripetitiva e della mancanza di concentrazione sulla comprensione e sulla creazione di connessioni. Gli stu- denti eseguono meccanicamente gli esercizi, coinvolgendo il loro cervello il meno possibile. Nell’apprendimento della matematica, la scarsa richiesta di pensiero e la mancanza di opportunità di lavorare per creare connessioni e dare un senso, rendono difficile per gli studenti comprendere e apprezzare l’argomento. Un modo efficace per fare meno affida- mento sulla memoria, è quello di favorire la visualizzazione attraverso rappresentazioni geometriche, strada utilizzata in questo lavoro di sperimentazione. Le attività proposte si sono dimostrate alla portata degli studenti che collaborando le hanno perlopiù portate
5.4 Conclusioni
a termine. Anche singolarmente gli studenti hanno migliorato la capacità di passare dal registro algebrico a quello geometrico e, in qualche caso, hanno anche mostrato una certa iniziativa fornendo rappresentazioni corrette ed alternative a quelle richieste dal testo. Per questo credo che se l’insegnante insistesse maggiormente nel fornire diverse forme di rappresentazione, gli studenti riuscirebbero a capire e a interiorizzare meglio alcuni con- cetti, ma soprattutto collegherebbero due parti della stessa disciplina che spesso vedono come separate.
Appendice A
Indicazioni Nazionali
1
LICEO CLASSICO, LICEO DELLE SCIENZE UMANE, LICEO MUSICALE E COREUTICO, LICEO LINGUISTICO
MATEMATICA
PROFILO GENERALE E COMPETENZE
Al termine del percorso liceale lo studente dovrà padroneggiare i principali concetti e metodi di base della matematica, sia aventi valore intrinseco alla disciplina, sia connessi all’analisi di fenomeni del mondo reale, in particolare del mondo fisico. Egli dovrà saper connettere le varie teorie matematiche studiate con le problematiche storiche che le hanno originate e di approfondirne il significato.
Lo studente dovrà acquisire una consapevolezza critica dei rapporti tra lo sviluppo del pensiero matematico e il contesto storico, filosofico, scientifico e tecnologico. In particolare, dovrà acquisire il senso e la portata dei tre principali momenti che caratterizzano la formazione del pensiero matematico: la matematica nel pensiero greco, la matematica infinitesimale che nasce con la rivoluzione scientifica del Seicento, la svolta a partire dal razionalismo illuministico che conduce alla formazione della matematica moderna e a un nuovo processo di matematizzazione che ha cambiato il volto della conoscenza scientifica.
Di qui i gruppi di concetti e metodi che lo studente dovrà padroneggiare:
1) gli elementi della geometria euclidea del piano e dello spazio entro cui si definiscono i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, assiomatizzazioni);
2) gli elementi del calcolo algebrico, gli elementi della geometria analitica cartesiana, le funzioni elementari dell’analisi e le nozioni elementari del calcolo differenziale e integrale, con particolare riguardo per le loro relazioni con la fisica;
3) la conoscenza elementare di alcuni sviluppi caratteristici della matematica moderna, in particolare degli elementi del calcolo delle probabilità e dell’analisi statistica.
Dovrà inoltre avere familiarità con l’approccio assiomatico nella sua forma moderna e possedere i primi elementi della modellizzazione matematica, anche nell’ambito di fenomeni anche di natura diversa da quella fisica. Dovrà conoscere il concetto di modello matematico e la specificità del rapporto che esso istituisce tra matematica e realtà rispetto al rapporto tra matematica e fisica classica. Dovrà essere capace di costruire semplici modelli matematici di insiemi di fenomeni, anche utilizzando strumenti informatici per la rappresentazione e il calcolo. Infine, lo studente dovrà acquisire concettualmente e saper usare elementarmente il principio di induzione matematica, per comprendere la natura dell’induzione matematica e la sua specificità rispetto all’induzione fisica.
Questa articolazione di temi e di approcci costituirà la base per istituire collegamenti concettuali e di metodo con altre discipline come la fisica, le scienze naturali, la filosofia e la storia. L’ampio spettro di contenuti affrontati richiede che l’insegnante sia consapevole della necessità di un buon impiego del tempo disponibile. Ferma restando l’importanza dell’acquisizione delle tecniche, è necessario evitare dispersioni in tecnicismi ripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei problemi. L'approfondimento degli aspetti tecnici, soprattutto nel liceo classico, deve essere strettamente funzionale alla comprensione
2
in profondità degli aspetti concettuali della disciplina. L’indicazione principale è: pochi concetti e metodi fondamentali, acquisiti in profondità.
Il percorso didattico dovrà rendere lo studente progressivamente capace di acquisire e dominare i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, formalizzazioni...), di conoscere le metodologie di base per la costruzione di un modello matematico di un insieme di fenomeni, di applicare quanto appreso per la soluzione di problemi, anche utilizzando strumenti informatici di rappresentazione geometrica e di calcolo.
Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti matematici. L'insegnamento della matematica offre numerose occasioni per acquisire familiarità con tali strumenti e per comprenderne il valore metodologico. Il percorso dovrà, quando ciò si rivelerà opportuno, favorire l'uso di questi strumenti, anche in vista del loro uso per il trattamento dei dati nelle altre discipline scientifiche. L’uso degli strumenti informatici è una risorsa importante che dovrà essere introdotta in modo critico, senza creare l’illusione che essa sia un mezzo automatico di risoluzione di problemi e senza compromettere la necessaria acquisizione di capacità di calcolo mentale.
OBBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO
PRIMO BIENNIO
Aritmetica e algebra
Il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico. Sarà sviluppata la padronanza del calcolo (mentale, con carta e penna, con strumenti) con numeri interi, con i numeri razionali sia nella scrittura come frazione che nella rappresentazione decimale. In questa occasione saranno studiate le proprietà delle operazioni. Lo studio dell'algoritmo euclideo permetterà di approfondire la struttura dei numeri interi e di conoscere un esempio importante di procedimento algoritmico. Si introdurranno in maniera intuitiva i numeri reali (con particolare riferimento alla loro rappresentazione geometrica su una retta), acquisendo familiarità con la rappresentazione esponenziale.
Saranno presentati gli elementi di base del calcolo letterale e si studieranno i polinomi e le operazioni tra di essi, evitando che la necessaria acquisizione di una capacità manipolativa degeneri in tecnicismi addestrativi.
Lo studente dovrà essere in grado di eseguire calcoli con semplici espressioni letterali sia per rappresentare e risolvere un problema, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica.
Geometria
Nel primo biennio saranno sviluppati i fondamenti della geometria euclidea del piano. In questo contesto verrà chiarita l’importanza e il significato dei concetti di postulato, assioma,
definizione, teorema, dimostrazione, mostrando come, a partire dagli Elementi di Euclide, essi abbiano permeato lo sviluppo della matematica occidentale. L'approccio euclideo non deve essere ridotto a metodologia assiomatica, come del resto non è mai stato storicamente.
Al teorema di Pitagora verrà dedicato uno spazio adeguato mettendone in luce gli aspetti geometrici e le implicazioni nella teoria dei numeri (introduzione dei numeri irrazionali) insistendo
3 soprattutto sugli aspetti concettuali.
Saranno approfondite le principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con particolare riguardo al teorema di Talete) e lo studente dovrà saper riconoscere le principali proprietà invarianti.
Saranno sviluppati i primi elementi di rappresentazione delle figure dello spazio.
La realizzazione di costruzioni geometriche elementari verrà effettuata sia mediante strumenti tradizionali (in particolare la riga e compasso, sottolineando il significato storico di questa metodologia nella geometria euclidea), sia mediante programmi informatici di geometria.
Verrà introdotto il metodo delle coordinate cartesiane, in una prima fase limitato alla rappresentazione di punti e rette nel piano e di proprietà come il parallelismo e la perpendicolarità. L’intervento dell’algebra nella rappresentazione degli oggetti geometrici non dovrà essere disgiunto dall’approfondimento della portata concettuale e tecnica di questa branca della matematica.
Relazioni e funzioni
Lo studente saprà utilizzare il linguaggio degli insiemi e delle funzioni, anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni come primo passo all’introduzione del concetto di modello matematico. In particolare sarà in grado di descrivere un problema con un’equazione, una disequazione o un sistema di equazioni o disequazioni, e di ottenere informazioni e ricavare le soluzioni del problema di una rappresentazione matematica (o modello) di fenomeni, anche in contesti di ricerca operativa.
Lo studio delle funzioni del tipo f(x) = ax + b e la rappresentazione delle rette nel piano cartesiano consentiranno di acquisire i concetti di soluzione delle equazioni di primo in una incognita, delle disequazioni associate e dei sistemi di equazioni lineari in due incognite, nonché le