Descrizione del caso di Test

Il caso di Test su cui verrà applicato l'algoritmo evolutivo è costituito da un semplice sistema comprendente un singolo serbatoio, che fornisce acqua a un distretto irriguo (Figura 3.1). Al ne di rendere il caso di Test semplice e immediato, si considera il sistema stazionario.

Figura 3.1: Schema del sistema del caso di Test.

Il modello del serbatoio, della forma dell'equazione (1.1) è il seguente

st+1= st+ at+1− rt (3.1)

in cui at+1 corrisponde all'ausso e rt al rilascio

rt = max(vt, min(Vt, ut)) (3.2)

utcorrisponde alla decisione di rilascio all'istante t ed è la variabile di control-

lo del sistema. vt e Vt sono invece le funzioni di minimo e massimo rilascio,

identicate dalle seguenti equazioni

vt= max(st− 100, 0) (3.3)

Il dominio dei valori ammissibili delle variabili è 0 ≤ st ≤ 155 per l'invaso e

0 ≤ ut≤ 160 per la decisione di rilascio.

In questo test sono considerati due obiettivi: minimizzare le piene nei territori adiacenti al serbatoio, e minimizzare il decit al distretto irriguo. Il primo è associato al costo per passo

g_t1 = max(ht− ¯h, 0) (3.5)

corrispondente al dislivello tra il lago e una quota di riferimento ¯h corri- spondente al limite di esondazione. ht si trova dividendo l'invaso st per la

supercie del serbatoio S. In questo sistema S = 1, pertanto ht = st. Il

limite di esondazione ¯h è invece ssato a 50.

Il secondo obiettivo è invece associato al costo per passo

g_t2 = max(¯r − rt, 0) (3.6)

che corrisponde al decit irriguo, in cui la domanda ¯r è ssata a 50. Per quanto riguarda gli aussi at+1, è disponibile una serie di 5000 dati otte-

nuti per generazione casuale da una normale (40;0,001). Per la simulazione durante il processo di ottimizzazione verrà utilizzata una parte di essi, di lunghezza h sucientemente lunga perchè si possa utilizzare correttamente la forma delle funzioni obiettivo (1.20).

Figura 3.2: Leggi di controllo ottime per il solo obiettivo irriguo (a) e per l'obiettivo di riduzione delle piene (b).

In questo caso di Test è nota a priori la forma delle leggi di controllo che ci si aspetta di ottenere come soluzione del processo di ottimizzazione. Le due leggi di controllo presentate in Figura 3.2 sono infatti le leggi di controllo

Figura 3.3: Leggi di controllo attese.

ottime dal punto di vista dei due obiettivi presi singolarmente.

Per gli irrigui sarà importante rilasciare una portata sempre il più possibi- le vicina alla domanda ¯r: per invasi superiori a essa la decisione di rilascio ottima sarà proprio ¯r, mentre per invasi inferiori, sarà conveniente rilasciare tutto il possibile, originando la Figura 3.2 (a).

Per i rivieraschi del serbatoio, al ne di minimizzare il rischio di piene, sarà invece desiderabile rilasciare sempre tutto il possibile, per fare in modo di avere sempre i minimi livelli possibili (Figura 3.2 (b)).

Queste due regole semplici corrispondono quindi ai casi limite in cui viene considerato solo uno dei due obiettivi del caso di Test, pertanto le leggi di controllo che ci si aspetta di trovare come risultato del processo di ottimiz- zazione saranno intermedie a esse, e quindi della forma presentata in Figura 3.3.

3.1.1 Parametri signicativi

Rete neurale

Nella sezione 2.1 è stato ampiamente descritto il funzionamento delle reti neurali. La scelta dell'architettura è, come si può facilmente intuire, deter- minante nella generazione di soluzioni ecienti in quanto da essa dipende la bontà dell'approssimazione delle leggi di controllo. L'architettura della rete

utilizzata nell'algoritmo è modicabile attraverso due parametri: il numero e la tipologia dei neuroni dello strato nascosto. E' immediato osservare che un numero crescente di neuroni comporta generalmente un aumento nelle pre- stazioni della rete, ma d'altra parte ciò genera anche un aumento del numero di parametri da stimare. Sarà dunque molto importante valutare quale sia l'architettura che permette di ottenere leggi di controllo ecienti minimiz- zando il numero di neuroni. Nel caso in esame le tipologie dei neuroni dello strato nascosto considerate sono:

• tansig; • logsig; • purelin.

Algoritmo evolutivo

Per quanto riguarda l'algoritmo evolutivo NsgaII (con le nostre modiche), i parametri su cui intervenire sono principalmente quattro: la grandezza della popolazione (abbreviata pop), il numero di generazioni (gen), l'introduzione o meno delle parametrizzazioni delle regole semplici nell'inizializzazione e l'inuenza dell'orizzonte di simulazione h.

Per quanto riguarda pop, ci si aspetta che le prestazioni dell'algoritmo crescano con esso, essendo più numerosi a ogni iterazione i punti disponibili per esplorare lo spazio dei parametri. Per quanto riguarda invece le gene- razioni, è interessante valutare per ogni esperimento quante ne servano per convergere a una determinata frontiera a cui corrisponde un certo valore degli indicatori utilizzati (sezione 2.6).

Riveste inne una particolare importanza l'introduzione delle parametrizza- zioni relative alle regole semplici nell'inizializzazione dell'algoritmo. Come ampiamente discusso nella sezione 2.4, ci si aspetta che questa innovazione generi notevoli beneci. D'ora in avanti, la congurazione per cui nell'inizia- lizzazione siano incluse anche tali parametrizzazioni sarà abbreviata: Caso SI, mentre la situazione opposta (inizializzazione completamente casuale) Caso NO.

In questo caso di Test sono state considerate quattro regole semplici per l'inizializzazione (Figura 3.4):

1. rilasciare esattamente la domanda irrigua quando possibile (regola sem- plice che coincide, nel caso specico, con la regola ottima per l'obiettivo degli irrigui di ottenere sempre una portata il più possibile vicina al loro fabbisogno);

2. rilasciare tutto il volume possibile (regola semplice che coincide, nel caso specico, con la regola ottima per l'obiettivo Minimizzare le piene a monte);

3. rilasciare il minimo possibile, seguendo quindi il vincolo di minimo rilascio;

4. soluzione intermedia di compromesso tra le prime due.

In questo caso l'ingresso It della rete è costituito dal solo stato del siste-

ma, ovvero l'invaso del serbatoio, dal momento che il sistema è stazionario e la variabile tempo non avrebbe quindi signicato. L'uscita è invece rappre- sentata dalla decisione di rilascio. Le leggi di controllo delle regole semplici hanno in questo test il notevole vantaggio di avere forma nota analiticamen- te (Figura 3.4) per cui oltre a essere più semplice la loro implementazione è possibile raggiungere la massima precisione nella fase di addestramento.

Inne, sarà interessante valutare l'impatto dell'orizzonte di simulazione h. Come descritto nel paragrafo 1.4.2, è necessario che esso sia sucientemente lungo perchè si possa considerare una singola traiettoria del disturbo (in que- sto caso at) invece di una statistica di tutte le sue possibili realizzazioni. Dal

momento che non esiste ad oggi un indicazione univoca sul quale sia eetti- vamente il valore di h minimo da utilizzare, in questo caso di Test si valuterà l'impatto di questo parametro all'interno del processo di ottimizzazione.