In generale un sistema di coordinate descrive solo una porzione di varietà, ad esempio le coordinate di Schwarzshild non descrivono gli assi θ = 0, π in quanto in tali punti l'elemento di linea diviene degenere e la metrica cessa di essere di rango quattro. Tale degenerazione tuttavia non ha senso sico in quanto è rimovibile attraverso un opportuno cambio di coordinate ad esempio passando alle coordinate cartesiane. La soluzione di Schwarzshild è degenere in altri due punti: r = 2m e r = 0. Per comprendere se una singolarità è rimovibile oppure no è possibile utilizzare uno scalare costruito attraverso il tensore di Riemann
RαβγδRαβγδ = 48
m2
r6 (5.30)
Essendo lo scalare indipendente dalle coordinate è lo strumento perfetto per identi care singolarità che possono essere eliminate mediante un semplice cambio di coordinate. Tale scalare è perfettamente regolare in r = 2m e, di conseguenza, tale singolarità è solo apparente, lo stesso non può dirsi di r = 0 che rimane singolare. Normalmente la metrica di Schwarzshild è interpretata come una soluzione di vuoto esterna a qualsiasi sorgente sferica avente raggio superiore a 2m. Al ne di interpretare correttamente la soluzione è utile avvalersi dello studio della struttura locale dei coni di luce attraverso l'uso di un sistema di coordinate detto di Eddington-Finkelstein. Il cono di luce viene de nito come il luogo dei punti xµ
0 + dxµ nelle vicinanze del punto x µ
0 tali che
gµνdxµdxν = 0 (5.31)
Il cono di luce locale pone restrizioni al moto di un osservatore la cui linea di universo è di tipo tempo e deve giacere all'interno del cono di luce. Ora si costruiranno i coni di luce per la soluzione di Schwarzshild in un sistema di coordinate consono ad eliminare la singolarità in r = 2m. Le direzioni radiali sono descritte dalla semplice equazione
assumendo θ e φ costanti si ottiene dt2 = dr 2 1 −2mr 2 (5.33) Introducendo la variabile r∗ = Z dr 1 −2mr = r + 2mln r 2m − 1 (5.34) In questo modo è possibile scrivere
dr∗
dt = ±1 (5.35)
tale equazione integrata fornisce (
t + r∗ = const
t − r∗ = const (5.36)
Si de nisce la coordinate nulla avanzata v = t + r∗ e la si utilizza per sostituire la
coordinata t: t = v − r∗, in questo modo
dt = dv − dr
1 −2mr (5.37)
da cui sostituendo nell'elemento di linea si ottiene ds2 = 1 −2m r dv2− 2dvdr 1 − 2m/r+ dr2 (1 − 2m/r)2 − 1 − 2m r −1 dr2− r2dΩ2 = = 1 −2m r dv2− 2dvdr − r2(dθ2+ sin2θdφ2) (5.38) Si può notare immediatamente che la singolarità in r = 2m è stata eliminata ed è ora possibile studiare il comportamento della soluzione nel punto. Se si considera la super cie r = r0 l'elemento di linea viene riscritto come
ds2r=r0 = 1 − 2m r0 dv2− r2 0 dθ 2+ sin2θdφ2 (5.39) Se r0 > 2m si ha segnatura time-like (+, −, −), se r < 2m la segnatura è space-like
(−, −, −) e se r = 2m la segnatura è nulla (0, −, −). E' possibile ora studiare il cono di luce, de nito da ds2 = 0. Si ottiene
dv dr =
2
queste vengono dette soluzioni entranti. E' possibile introdurre un altra variabile t0 =
v − r = t + 2m ln 2mr − 1
, sostituendola all'interno dell'elemento di linea si ottiene ds2 = 1 −2m r dt02−4m r dt 0 dr − 1 −2m r dr2− r2dΩ2 (5.41)
ancora una volta non risultano singolarità per r = 2m. Ricalcolando la direzione radiale nulla si ottiengono due soluzioni:
(dr dt0 = −1 dr dt0 = r−2m r+2m (5.42) Tale espressione, regolare in r = 2m, cambia di segno in tale punto e rappresenta una sorta di velocità radiale dei fotoni. Per r > 2m i fotoni tendono all' in nito, per r < 2m i fotoni puntano verso r = 0 e per r = 2m il fotone è radialmente fermo (Fig 5.1). La retta r = 2m si comporta come una membrana semipermeabile: è possibile spostarsi dall'esterno verso l'interno ma neppure la luce può uscire una volta entrata. La regione compresa fra 0 < r < 2m è detta regione di Buco Nero. Un ipotetico osservatore ignora completamente ciò che accade oltre r = 2m, detto orizzonte degli eventi, poichè nessuna informazione può uscire dalla regione di buco nero e raggiungerlo. Il medesimo ragionamento può essere eseguito utilizzando la coordinata ritardata u = t − r∗ e de nendo la coordinata temporale t∗ = u + r, in questo modo l'elemento di linea
ds2 = 1 − 2m r dt∗2+4m r dt ∗ dr − 1 + 2m r dr2− r2dΩ2 (5.43)
Lo studio delle direzioni radiali nulle da come soluzioni ( dr dt∗2 = 1 dr dt∗ = − (r−2m) (r+2m) (5.44) In questo caso si ottiene una soluzione opposta a quella di buco nero detta di buco bianco: ancora una volta la retta r = 2m si comporta come super cie semipermeabile solo che in questo caso è possibile allontanarsi dall'origine e non esiste alcuna traiettoria che consenta dall'esterno l'attraversamento dell'orizzonte (Fig 5.2). Nessuna di queste soluzione però pare completa in quanto nessuna delle coordinate prevede moti di andata e ritorno. Apprentemente entrambi i sistemi di coordinate forniscono una descrizione incompleta dello spazio tempo, le coordinate di Kruskal, che verranno esposte di seguito, consentono la massima estensione analitica della soluzione di Schwarzschild la quale tuttavia non è priva di singolarità. Unendo le due coordinate nulle
(
t = v+u2
si ottiene l'elemento di linea ds2 = 1 − 2m r dudv − r2(u, v)dΩ2 (5.46) il quale è tuttavia singolare per r = 2m. E' possibile risolvere il problema mediante il seguente metodo r + 2m · ln r 2m − 1 = v − u 2 (5.47)
da cui, isolando l'argomento del logaritmo si ottiene r 2m − 1 = e v−u 4m e− r 2m (5.48)
e poichè è possibile riscrivere
1 −2m r = 2m r r 2m − 1 (5.49) si può scrivere l'elemento di linea come
ds2 = 2m r e
−r/2m
ev−u/4mdudv − r2(u, v)dΩ2 (5.50) Si introducono ora le coordinate di Kruskal U = −e−u/4m, V = ev/4m che vengono
applicate alla (5.50) ottenedo ds2 = 32m
3
r e
−r/2m
dU dV − r2(U, V )dΩ2 (5.51) la quale è una metrica regolare per r = 2m. Si introducono in ne le coordinate T = (U + V )/2 ed X = (U − V )/2 per poter scrivere
ds2 = 32m 3 r e −r/4m dT2− dX2 − r2 dΩ2 (5.52)
E' possibile studiare nuovamente i coni di luce (ds2 = 0) nel presente sistema di coordi-
nate per θ = φ = 0
dX
dT = ±1 (5.53)
In questo caso è possibile notare (Fig.5.3) che non vi è deformazione dei coni di luce. Ogni valore di r = const fornisce una coppia di rami d'iperbole e per r = 2m si hanno due asintoti delle iperboli, per t = const si hanno rette che passano per l'origine. Le iperboli suddividono il piano in quattro regioni. Le regioni I ed I0 sono asintoticamente piatte
e geometricamente equivalenti. In queste regioni è possibile per un corpo mantenersi ad r = const: l'iperbole si trova all'interno del cono di luce, lo stesso non può dirsi
Figura 5.3: Rappresentazione dello spazio-tempo di Schwarzchild in coordinate di Kruskal
Figura 5.4: Il ponte di Einstein-Rosen
della regione II dove è impossibile rimanere ad r = const, gli unici moti sici sono quelli aventi r decrescente. La regione II viene detta regione di buco nero ed è concettualmente l'opposto della regione II0 che è invece la regione di buco bianco dove i moti sici hanno
tutti r crescente. La regione di buco bianco sicamente non risulta stabile: piccole perturbazioni porterebbero alla distruzione dell'oggetto, i buchi bianchi non solo non sono stati mai osservati ma al momento risultano solamente un oggetto teorico dalla dubbia esistenza.