Difetti di linea

Come gi`a visto, introducendo un difetto di linea, possiamo innescare un modo che si propaga nella guida d’onda risultante. Adesso per`o la localizzazione si basa sul gap per il confinamento nel piano in cui si ha periodicit`a e sull’index guiding per il confinamento nella direzione verticale.

Quindi, un modo della guida non solo deve stare nel gap della struttura a bande pro- iettata, ma anche al di sotto del cono di luce. Anche se il gap `e incompleto, esistono comunque modi guidati, perch´e kx si conserva.

Ad esempio, se si forma un tale difetto diminuendo il raggio di una fila di colonne in una rod slab, si hanno modi guidati solo se tale raggio `e al di sopra di un certo valore e non si pu`o ottenere una guida rimuovendo completamente una fila di colonne, come mostrato in fig. 3.52. Cos`ı facendo si alza la frequenza di un modo, portandolo all’interno del gap.

Figura 3.52: Diagramma a bande proiettato, in funzione del vettore d’onda kx, per i modi TM-like di una

guida lineare nella rod slab mostrata nel riquadro, formata riducendo il raggio di una fila di colonnine. Le regioni in blu sotto la linea di luce sono i modi estesi nel cristallo.Le colonne del cristallo hanno raggio r = 0, 2a. Per r/a < 0, 1 la banda finisce nel continuo dei modi della air band. Da [1].

Si pu`o anche fare il contrario, abbassando la frequenza di un modo che prima stava sopra al gap.

Questo si fa nelle hole slab rimuovendo (o restringendo) dei buchi. Il difetto prodotto rimuovendo una fila di buchi `e detto W 1 (sar`a si interesse nel corso del progetto); se si rimuovono n file il difetto si dice W n.

Oltre ai modi guidati all’interno del gap, abbiamo anche delle bande che stanno sotto i modi estesi nel cristallo, che sono detti index-guided.

Poich´e tutti i modi guidati sono TE-like e fondamentali (non hanno nodi) lungo z, pos- siamo visualizzarli mediante il grafico di Hz(z = 0) (fig. 3.56). Dato che il sistema `e

invariante a riflessioni attorno al piano y = 0, possiamo distinguere tali modi in pari e dispari (riferendoci ad E).

Notiamo un comportamento strano dei modi della seconda banda: essi cambiano di pa- rit`a. Ci`o `e conseguenza di un fenomeno detto anti-crossing : due bande che avrebbero dovuto incrociarsi interagiscono, e si respingono.

Possiamo spiegare la cosa allo stesso modo di quanto fatto in fig. 3.11 per spiegare l’origi- ne del gap : partiamo da una slab waveguide (quindi priva di periodicit`a) e disegniamo il suo diagramma di dispersione, limitandoci per`o alla Zona di Brillouin e ripiegando i rami

Figura 3.53: Diagrammi a bande proiettati per due guide d’onda con stessa sezione (reticolo triangolare di colonne con  = 12). La curva rossa `e la banda della guida d’onda, le zone blu sono i modi estesi nel cristallo, quella azzurra il cono di luce, la gialla il gap. La figura di sinistra si riferisce ad un cristallo bidimensionale (uniforme in z, con kz= 0), per modi TM; quella di destra ad una rod slab (spessa 2 a)

sospesa in aria. In questo caso c’`e un modo debolmente guidato vicino al bordo della zone di Brillouin. Da [1].

delle curve di dispersione che escono da essa. Avremo quindi che una banda interseca l’altra. Introducendo la periodicit`a, avremo che il modo al bordo della zona si divide in 2 modi a frequenza diversa (a seconda che E sia pi`u intenso nell’aria o nel dielettrico), ma la stessa cosa vale anche per i punti d’intersezione : le bande si respingono. Solo che ora due bande con parit`a diversa si fondono in una coppia di bande ibride, in cui la parit`a cambia con kx.

3.5.2.1 Dispersione

Da fig. 3.54 notiamo che le curve di dispersione dei modi guidati tendono ad appiattirsi verso il bordo della Zona di Brillouin. Questo significa che la velocit`a di gruppo dei modi corrispondenti `e molto bassa, perci`o questo tratto delle bande `e detto di slow light. Il parametro di Dispersione, definito come:

D =−2πc λ2 d2_k d2_ω =− 2πc λ2 d dω  1 vg  = 2πc λ2_v g2 vg ω (3.98)

indica quanto velocemente si allargher`a (nel senso della durata temporale) un impulso inviato nella guida.

Vicino al bordo della zona tale parametro diverge. Ci`o pu`o essere utile in applicazioni in cui si vogliano aumentare le non-linearit`a ottiche, ma per la trasmissione di segnali `e totalmente controindicata, perch´e distorcerebbe fortemente il segnale. Per la trasmissione di segnali si deve usare un intervallo di kx in cui la banda `e pressoch´e lineare, ossia la

Figura 3.54: Diagramma a bande proiettato per i modi TE-like di un difetto W 1 in una hole slab (riquadro). Le zone brune indicano i modi estesi nel cristallo, la blu quelli nell’aria, la rosa il gap. I modi sono classificati come pari o dispari rispetto alla riflessione attorno al piano y = 0. Da [1].

Figura 3.55: Schema dell’anti-crossing che si verifica quando si introduce la periodicit`a in una guida dielettrica planare inizialmente omogenea. Il modo fondamentale (verde) viene ripiegato in corrispondenza del bordo della zona di Brillouin, quindi ne incrocia uno di ordine superiore (rosso). La periodicit`a genera un gap al bordo della zona, ma fa anche interagire le bande nel loro punto d’intersezione, dividendole in due bande ibride.

Figura 3.56: Distribuzione di Hz per la guida W 1. Le lettere corrispondono ai punti in fig. 3.54. Notare

che i modi indicati con (c) e (d), anche se appartengono alla stessa banda, hanno diversa parit`a in y, corrispondente ad un anti-crossing. Da [1].

3.5.2.2 Effetto del Substrato

Se invece di membrane sospese in aria si considerano photonic crystal slab fabbricate su un substrato come silice o allumina, che hanno indici di rifrazione di 1,5-2, abbiamo 2 effetti negativi.

In primo luogo, il maggior indice di rifrazione del substrato produce una light-line meno inclinata (ω = ck/nsub), il che restringe ulteriormente l’intervallo di kk (o di kx) in cui si

ha un gap. Quindi si possono avere perdite radiative verso il substrato.

Il secondo effetto del substrato `e di rompere la simmetria attorno al piano z = 0. Di conseguenza, non `e pi`u possibile la suddivisione tra modi TE-like e TM-like. Essi interagiranno e non ci sar`a pi`u un gap per una sola polarizzazione. Quindi, i modi della guida, che in una membrana sospesa sono confinati dal gap ora sono leaky, perch´e un modo TE-like, che prima era confinato nella guida, ora si accoppier`a ai modi TM-like estesi nel cristallo (e viceversa) e quindi il modo irragger`a lateralmente.

Naturalmente, si possono contenere le perdite usando substrati con permittivit`a abba- stanza bassa (≈ 2), oppure si possono incidere i buchi anche nel substrato (monorail), facendo in modo che esso sia prevalentemente composto d’aria ed influisca poco sul cono di luce (che per`o non `e pi`u delimitato da un cono, perch´e il substrato `e un materiale non omogeneo e quindi avr`a una relazione di dispersione complicata).

Si pu`o ripristinare la simmetria in z ricoprendo la lamina con uno strato dello stesso materiale del substrato, ma allora avremo perdite radiative pi`u intense, perch´e i modi all’interno del cono di luce irraggeranno sia sopra sia sotto la lamina. Questo perch´e si aumenta la permittivit`a media della struttura e con essa la densit`a locale di stati radiativi.

3.5.2.3 Disordine

Anche in assenza del substrato, ci saranno comunque delle non idealit`a. La prima `e dovuta all’assorbimento del materiale. La seconda al fatto che la fabbricazione `e imperfetta, perci`o non si ha perfetta invarianza traslazionale (buchi o colonne non saranno tutti delle stesse dimensioni e piazzati dove dovrebbero). Lo scattering risultante pu`o far accoppiare modi guidati con diversi valori di kx, anche opposti (causando quindi riflessioni).