Diffusione

All’interno di un campione di un fluido qualsiasi le molecole sono soggette ad un continuo moto casuale di origine termica. Questo fenomeno prende il nome di moto Browniano, dal nome del botanico scozzese Robert Brown (1773-1858) che per primo lo osservò e ne descrisse le caratteristiche [34]. Il moto di cia-scuna molecola all’interno del fluido risulta indipendente dal comportamento delle altre molecole. Tuttavia, le collisioni tra le molecole provocano reciproci spostamenti, di natura casuale e senza una direzione preferenziale, che dà luo-go al fenomeno della diffusione. Il cammino delle molecole, pertanto, risulta in un percorso casuale denominato random walk.

Sebbene il fenomeno della diffusione sia il risultato di processi casuali, esso è governato da un meccanismo guida che presenta caratteristiche dipendenti dalla natura del campione e dalla sua temperatura.

Nel caso di liquidi di diversa natura la diffusione dell’uno all’interno dell’altro è descritta in termini del gradiente di concentrazione della sostanza che dif-fonde. Tale processo è stato descritto da Fick nel 1855 [35] con la prima legge di diffusione secondo la quale il flusso, F , di una sostanza in fase di diffusio-ne lungo una particolare direziodiffusio-ne, x, risulta proporzionale al gradiente della concentrazione, C, della stessa sostanza in quella direzione:

F = −D∂C

∂x (2.1)

il segno negativo tiene conto del fatto che la diffusione avviene in direzione opposta a quella del gradiente di concentrazione.

La quantità D rappresenta il termine di proporzionalità tra le due grandezze e prende il nome di coefficiente di diffusione.

Facendo uso della legge di conservazione della massa, secondo cui il rate di crescita della concentrazione eguaglia il gradiente del flusso: (∂C/∂t = −^∂F_∂x), si deriva la seconda legge di diffusione di Fick, che descrive il meccanismo della diffusione unidimensionale esclusivamente in termini delle derivate spaziali e temporali della concentrazione, C:

∂C

∂t = D∂²C

∂x² (2.2)

Nel caso in cui il processo di diffusione presenti le stesse caratteristiche lun-go qualsiasi direzione dello spazio, il comportamento globale viene descritto dall’estensione della 2.2 alle tre direzioni del sistema di riferimento:

∂C

La probabilità che una molecola abbia subito uno spostamento pari ad X nell’intervallo di tempo t presenta una distribuzione normale (gaussiana):

P (X, t) = 1

√4Dπte^(4DtX2) (2.4)

Nei tessuti biologici, invece, il fenomeno di diffusione al quale si è interessa-ti e che viene sfruttato per l’imaging in ambito clinico è rappresentato dal comportamento delle molecole dell’acqua in acqua [36]. In questa particola-re circostanza il processo di diffusione al quale sono soggette le molecole del fluido prende il nome di auto-diffusione. Il fenomeno dell’auto-diffusione de-scrive il comportamento di una molecola all’interno di un fluido omogeneo ed è provocato dall’agitazione termica delle molecole piuttosto che da gradienti di concentrazione. L’analisi precedentemente svolta per il processo di diffu-sione può essere estesa al processo di auto-diffudiffu-sione. In particolare, anzichè descrivere il processo in termini di concentrazione, si fa uso di una funzione che descrive la probabilità, P (r⁰⁰− r⁰, t), che la particella abbia effettuato uno spostamento dalla posizione r⁰ alla posizione r⁰⁰ nell’intervallo di tempo t. In assenza di ostacoli al libero movimento delle molecole e in mezzi in cui le carat-teristiche di anisotropia non dipendono dalla particolare posizione all’interno del campione tale probabilità è indipendente dalla posizione iniziale della mo-lecola e può essere facilmente applicata a tutte le molecole del campione sotto forma di P (R, t), dove R = r⁰⁰− r⁰ rappresenta il vettore di spostamento

rela-tivo.

La 2.3 può essere espressa come:

∂P

∂t = D∇²P (2.5)

dove, in questo caso, il termine D assume il significato di coefficiente di auto-diffusione. Estendendo l’analisi allo spazio tridimensionale, se l’autodiffusione presenta le stesse caratteristiche in qualsiasi direzione dello spazio la soluzione della 2.5 prende la forma di una distribuzione normale:

P (R, t) = 1

√4Dπte^(4DtR2) (2.6)

che risulta l’equivalente tridimensionale della 2.4.

Il cammino quadratico medio, ovvero il valore medio del quadrato degli spo-stamenti effettuati dalle molecole del campione nell’intervallo di tempo t, può essere calcolato tramite la formula:

hR²i = Z +∞

−∞

r²P (R, t)dR = 6Dt (2.7) Questa relazione, nota anche come equazione di Einstein [37], mostra come il cammino quadratico medio della particella dipenda dal coefficiente di auto-diffusione, D.

Diffusione Isotropa e Diffusione Anisotropa

La diffusione di una particella all’interno di un fluido dipende dalle caratteri-stiche del mezzo in cui diffonde. L’eventuale presenza di ostacoli e di barriere, infatti, influenza il processo di diffusione della particella, determinando diverse tipologie di diffusione all’interno di un mezzo.

In generale, si parla di diffusione isotropa quando il mezzo in cui avviene il processo di diffusione non presenta alcuna direzione privilegiata per il proces-so stesproces-so. Il questi casi il mezzo viene detto iproces-sotropo. In un fluido puro, ovvero in assenza di corpi estranei, la diffusione di una particella viene definita diffu-sione libera.

All’interno dei tessuti organici le membrane cellulari, le macromolecole, le ca-tene proteiche e i fasci di fibre muscolari e cerebrali rappresentano ostacoli e barriere al processo di diffusione delle molecole di acqua. La particolare struttura del tessuto e l’eventuale organizzazione degli ostacoli determina

ca-ratteristiche diverse per il processo di diffusione.

In presenza di ostacoli e barriere con una particolare organizzazione strutturale la diffusione delle particelle differisce a seconda delle direzioni nello spazio. In questi casi si parla di diffusione anisotropa.

Figura 2.10: Diversi tipi di diffusione.

In Fig. 2.10 sono riportati diversi tipi di diffusione isotropa e anisotropa in presenza di ostacoli e barriere [38]. Le membrane cellulari del fascio di fibre determinano una minore diffusione delle particelle sul piano perpendicolare al-la direzione di elongazione delle fibre. Poichè al-la presenza di ostacoli e barriere influenza il cammino libero medio di una particella, il coefficiente di diffusio-ne, D, appare sensibilmente ridotto rispetto al corrispondente coefficiente nel caso di fluido puro. Per questo motivo, in presenza di ostacoli al processo di diffusione la quantità D prende il nome di coefficiente di diffusione apparente (ADC) [39].

In ambito neurologico, la presenza di fasci di fibre compatte rappresentate dagli assoni neuronali della materia bianca rende la diffusione delle molecole di acqua fortemente anisotropa [39]. All’interno della materia bianca, ven-gono individuati due tipologie principali di diffusione: la diffusione ristretta intra-assonale e la diffusione ostacolata extra-assonale.

2.2.2 Rivelazione dei Processi Diffusivi in Risonanza