Dinamica caotica

I risultati della strumentazione e raccolta dei dati dal mulino Mixer/Mill 8000 è stata affiancata da un lavoro di analisi dei dati e modellazione tramite simulazione numerica.

Grazie allo studio effettuato, è stato possibile capire che le trasformazioni di fase, e la frequenza con cui avvengono, sono intimamente collegate all’energia trasferita durante gli eventi collisionali che avvengono all’interno del reattore.

L’efficienza del trasferimento dipende, in ultima analisi, dal grado di elasticità della collisione, la quale ha effetti sulle caratteristiche generali della dinamica dei mulini.

Al crescere dell’elasticità, la dinamica cambia da periodica ad aperiodica. Tale comportamento è stato proficuamente caratterizzato con l’aiuto dell’analisi dinamica non lineare, realizzando un modello del mulino e delle traiettorie di una singola sfera, costituente il corpo molitore, che impattavano elasticamente sulle pareti interne del reattore.

Investigazioni preliminari avevano già messo in luce la possibilità d’instaurarsi di regimi caotici durante i trattamenti di macinazione ad opera del mulino, cosi come di regimi con dinamica regolare, come dimostrato da misure dirette dei valori medi del numero delle collisioni e della loro energia d’impatto. Da qui l’importanza dello studio della transizione da regime periodico a caotico per capirne i motivi del perché avvenga e in quali situazioni, in modo da poter efficacemente evitare il manifestarsi.

La modellizzazione è partita con un descrizione analitica del moto del reattore. Basandosi su di esso la dinamica del sistema reattore-sfera è poi stata riprodotta tramite una simulazione computerizzata. Il moto della giara, costituente il corpo del reattore, è stata descritta come una rototraslazione sincrona rispetto ad un sistema fisso di assi cartesiani.

La maggior componente di movimento consiste in un’oscillazione angolare armonica sul piano verticale, accoppiata ad una rotazione sincrona sul piano equatoriale, come mostrato in Fig. 4.1.1.

Si utilizzano due sistemi cartesiani, il primo inerziale di coordinate (X;Y;Z), è centrato sul fulcro eccentrico del mulino, mentre il secondo, non inerziale e di coordinate (x;y;z), ha la sua origine coincidente con il baricentro della giara e si muove con essa.

L’oscillazione periodica del braccio meccanico sul piano verticale e la sua rotazione sul proprio asse, R, sono descritte dalle seguenti equazioni:

θ = θ̥ cos (ωt + δ) (1)

α= α̥ sen (ωt + δ) (2)

dove θ̥ e α̥ sono le ampiezze dei movimenti angolari, ω=2πν con ν la frequenza di oscillazione e

l’angolo α hanno un differenza di fase pari a π/2. La massima ampiezza angolare di θ̥ e α̥ corrisponde a 15°, mentre la lunghezza del braccio R è pari a 100 mm.

Figura 4.1.1 Movimento del reattore Mixer/Mill della Spex.

Il moto della giara sul piano verticale (X;Z) e su quello equatoriale (X;Y).

Figura 4.1.2 Sistema di riferimento inerziale (X;Y;Z), e non inerziale (x;y;z).

Una volta completata la descrizione analitica del reattore, son state effettuate varie simulazioni modificando di volta in volta il valore del coefficiente di restituzione, relativo agli urti sfera-giara.

Le serie temporali delle coordinate non inerziali della sfera, risultanti dalle soluzioni numeriche delle equazioni del moto, son state analizzate per caratterizzare il comportamento dinamico della sfera.

C’è da dire che la sfera all’interno del reattore in condizioni operative, si comporta ne più ne meno come una sorta di oscillatore forzato - smorzato. Il forzamento è dovuto al moto del reattore, che permette alla sfera di muoversi in entrambe le direzioni lungo l’asse della giara, mentre lo smorzamento è connesso con l’elasticità degli impatti e con la dissipazione dell’energia cinetica che ha luogo durante ciascuna collisione.

Tenendo costante la frequenza di oscillazione del moto della giara e cambiando il grado di elasticità degli impatti, tramite il coefficiente di restituzione, si può cambiare la capacità di smorzamento dell’oscillatore. La dinamica del sistema è stata così studiata prendendo il coefficiente di restituzione come parametro di riferimento per caratterizzare il comportamento dinamico dell’intero sistema.

Si è cosi visto che in condizioni di impatti perfettamente anelastici, la frequenza delle collisioni risulta essere semplicemente il doppio della frequenza di oscillazione del mulino, pari a circa 14 Hz, e si raggiunge una certa regolarità nei movimenti della sfera.

Quando il coefficiente di restituzione è 0,4 si ha che la frequenza delle collisioni raggiunge un massimo, vedi Fig. 4.1.3.

Figura 4.1.3. Frequenza media delle collisioni in funzione del coefficiente di restituzione.

Se però facciamo salire tale valore fino a 0,8 si hanno repentini salti di frequenza passando da circa 39 Hz a 55 Hz. Per valori tra 0.9 ed 1, si ha un secondo salto improvviso e la frequenza arriva a valori di 138 Hz, tale risultato supporta l’idea che per tali valori del coefficiente di restituzione si abbia una dinamica non più regolare.

Si ha quindi che per bassi valori del coefficiente di restituzione si presenta un regime di collisioni anelastiche e le traiettorie della sfera esibiscono un comportamento periodico.

Come il coefficiente di restituzione sale, gli spostamenti della sfera lungo i tre assi x,y e z perdono gradualmente di regolarità, fino a mostrare un carattere fortemente aperiodico finché il sistema non entra in un regime di collisioni elastiche. Questa transizione consiste in una complessa sequenza di alternanze tra dinamiche periodiche e aperiodiche, mentre si osserva inoltre la comparsa di regimi caotici.

Ulteriori simulazioni hanno mostrato che la variazione dei parametri θ̥ , α̥ e ν, non ha alcun effetto sulla transizione da regime caotico a regime periodico.

Per contro, una nuova comprensione della dinamica dl corpo molitore è stata acquisita disaccoppiando i modi di oscillazione sul piano verticale da quello sul piano equatoriale. È apparso chiaro infatti, che il sistema manifesta un persistente carattere caotico quando è attivo il solo modo d’oscillazione sul piano equatoriale mentre quello sul piano verticale è bloccato.

In questo caso la dinamica della sfera diviene completamente insensibile alle variazioni del coefficiente di restituzione all’interno dell’intero campo di variazione tra zero e 1.

Viceversa, una transizione da un regime periodico ad uno caotico, ancora influenzato dal variare del coefficiente di restituzione, si osserva quando è attivo il solo modo oscillatorio sul piano verticale, ed il reattore si muove, virtualmente, come se si trovasse in uno spazio bi-dimensionale.