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Dipendenza dei parametri del timing circuit dalle resistenze

3. TIMING CIRCUIT E OUTPUT CIRCUIT: SIMULAZIONE LTSPICE

3.3 Dipendenza dei parametri del timing circuit dalle resistenze

La presenza del timing circuit ci permette di regolare la frequenza di stimolazione ( 1

π‘‡π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘œπ‘™π‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’) del cuore, pur mantenendola fissa, variando le resistenze che compongono il

β€œtiming circuit”. L’analisi della variazione del parametro del periodo di stimolazione Γ¨ stata fatta variando una singola resistenza alla volta mentre le altre mantengono il valore di progetto e dividendo il periodo in periodo basso (π‘‡π‘™π‘œπ‘€ cioΓ¨ quando 𝑉𝑑 = π‘‰π‘™π‘œπ‘€) e periodo alto (π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž cioΓ¨ quando 𝑉𝑑 = π‘‰β„Žπ‘–π‘”β„Ž).

Iniziamo l’analisi dalla resistenza 𝑅1 che interviene nella carica del condensatore e quindi

πœπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž = 𝑅1βˆ— 𝐢1. Dall’espressione della πœπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž possiamo subito affermare che una

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tempo in cui la 𝑉𝑑 Γ¨ pari a π‘‰π‘™π‘œπ‘€. Come si puΓ² vedere dalle figure, infatti, il periodo in cui la 𝑉𝑑 = π‘‰π‘™π‘œπ‘€ Γ¨ π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 1.1 sec quando 𝑅1 = 4.7𝑀Ω (Figura 36), mentre nel caso in cui 𝑅1 = 1𝑀Ω otteniamo un π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 0.24 𝑠𝑒c (Figura 37). Un aumento della 𝑅1, invece,

produce un aumento di π‘‡π‘™π‘œπ‘€, infatti, con una 𝑅1 = 6 𝑀Ω otteniamo un π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 1.45 𝑠𝑒𝑐 (Figura 38)

Figura 36: durata del periodo basso (cioΓ¨ 𝑉𝑑 = π‘‰π‘™π‘œπ‘€) π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 1.1 𝑠𝑒𝑐 con i valori di progetto

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Figura 38: durata del periodo basso π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 1.4 𝑠𝑒𝑐 con 𝑅1 = 6 𝑀Ω

La successiva modifica al β€œtiming circuit” riguarda la variazione della resistenza 𝑅2, che come detto in precedenza, interviene nella scarica del condensatore 𝐢1. Di conseguenza, basandosi sullo studio fatto nel quale πœπ‘ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž = 𝑅2βˆ— 𝐢1 un aumento di questa resistenza porterebbe a una aumento del periodo alto (π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž ), mentre diminuendola, otteniamo una diminuzione della durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž. CiΓ² puΓ² essere visto, rispettivamente, nelle Figure 40 e 41.

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Figura 40: durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž = 8.85 π‘šπ‘ π‘’π‘ con una 𝑅2 = 15 π‘˜β„¦ (cioΓ¨ aumento del valore

della resistenza)

Figura 41: durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž = 0.43 π‘šπ‘ π‘’π‘ con una 𝑅2 = 500 Ω (diminuzione del valore della

resistenza)

Per quanto riguarda le possibili variazioni del periodo al variare delle resistenze 𝑅3 e 𝑅4 dobbiamo considerare che queste resistenze, in particolare il loro partitore, determinano la tensione di soglia per l’interdizione o saturazione dei transistor Q1 e Q2 senza che siano

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variate le πœπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž e πœπ‘ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž (𝑅1 e 𝑅2 invariate). Queste due resistenze, appunto, incidono sulla tensione di base del transistor Q1che comporterΓ  lo β€œspegnimento” o ”accensione” dei transistor. Le tensioni di commutazione sono le stesse scritte precedentemente, cioΓ¨

π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž = (π‘‰β„Žπ‘–π‘”β„Žβˆ— 𝑅4

(𝑅3+ 𝑅4)

⁄ ) + 𝑉𝑏𝑒 π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ (per la commutazione alto-basso) e

π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ = (π‘‰π‘™π‘œπ‘€βˆ— 𝑅4 (𝑅

3+ 𝑅4)

⁄ ) + 𝑉𝑏𝑒 π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ (per la commutazione basso-alto).

Dalla formula di π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ scritta sopra Γ¨ facile capire che un aumento (diminuzione) della 𝑅3 genera una diminuzione (aumento) della tensione di base del transistor Q1 (π‘‰π‘Ž). Mentre per

la 𝑅4 scrivendo l’espressione precedente in modo differente in modo da evidenziare la dipendenza dalla resistenza si ottiene, con passaggi matematici, π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž = (π‘‰β„Žπ‘–π‘”β„Žβˆ—

1 (𝑅3

𝑅4+ 1)

⁄ ) + π‘‰π‘π‘’π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’. In questa espressione Γ¨ piΓΉ semplice capire la dipendenza di

π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž da 𝑅4, infatti un aumento (diminuzione) della resistenza 𝑅4 Genera un aumento

(diminuzione) della π‘‰π‘Ž. Iniziando l’analisi dal periodo alto π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž dobbiamo determinare come varia in relazione ad una variazione delle resistenze 𝑅3 e 𝑅4, mantenendo 𝑅1 e 𝑅2 costanti. L’aumento della 𝑅3 genera, come giΓ  anticipato, una diminuzione della tensione

π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž. Essendo la πœπ‘ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž costante (la 𝑅2 non Γ¨ variata) la β€œvelocità” con cui si scarica 𝐢1

Γ¨ uguale al caso di progetto. La diminuzione della tensione π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž provoca un aumento del π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž (Figura 42) perchΓ© il condensatore deve raggiungere una tensione minore per avere una commutazione alto-basso. Viceversa la diminuzione di 𝑅3 genera un aumento della

π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž e quindi una diminuzione del π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž, questo perchΓ© il condensatore deve

raggiungere una tensione maggiore, sempre rispetto al caso di progetto, per avere la commutazione alto-basso (Figura 43).

Nel caso di un aumento della 𝑅4 otteniamo un aumento della π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž e di conseguenza, per le stesse motivazioni del caso della resistenza 𝑅3, otteniamo una diminuzione di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž

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(Figura 44). Viceversa, diminuendo la 𝑅4 avremo una diminuzione della π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž e quindi un aumento di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž (Figura 45).

Figura 42: durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž = 2 π‘šπ‘ π‘’π‘ con una 𝑅3 = 30 π‘˜β„¦ (aumento del valore della

resistenza)

Figura 43: durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž = 0.76 π‘šπ‘ π‘’π‘ con una 𝑅3 = 11 π‘˜β„¦ (diminuzione del valore della

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Figura 44: durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž = 0.97 π‘šπ‘ π‘’π‘ con una 𝑅4 = 15 π‘˜β„¦ (aumento del valore della

resistenza)

Figura 45: durata di π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž = 4.1 π‘šπ‘ π‘’π‘ con una 𝑅4 = 3 π‘˜β„¦ (diminuzione del valore della

resistenza)

Nel caso del π‘‡π‘™π‘œπ‘€ (fase in cui i transistor sono interdetti e il condensatore si carica) la tensione di β€œaccensione” Γ¨ sempre determinata dall’espressione precedente della π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€,

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π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ = (π‘‰π‘™π‘œπ‘€βˆ— 𝑅4 (𝑅

3+ 𝑅4)

⁄ ) + 𝑉𝑏𝑒 π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ cioΓ¨ (commutazione basso-alto). In

questa fase l’aumento delle resistenze non incide solo sul partitore resistivo come nel caso del π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž. L’aumento della resistenza 𝑅3 genera un aumento del valore della π‘‰π‘™π‘œπ‘€ di alcuni π‘šπ‘‰. Questa resistenza compone il ramo di carica di 𝐢1, ma il suo aumento non incide sulla

πœπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž vista la differenza, di ordini di grandezza, con la 𝑅1 (Figura 46). Oltre a questi

β€œeffetti” c’è anche una dipendenza di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ da π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž. Infatti, l’aumento di 𝑅3 comporta una

scarica maggiore di 𝐢1 durante il π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž, ovvero il raggiungimento di una tensione minore da parte del condensatore, che si ripercuote sul π‘‡π‘™π‘œπ‘€. Infatti l’inizio di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ avviene ad una π‘‰π‘Ž inferiore al caso di progetto. Nonostante la diminuzione della π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ di qualche π‘šπ‘‰ la maggior scarica del condensatore, durante il π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž, provoca un aumento di π‘‡π‘™π‘œπ‘€. Quindi possiamo dire che: l’aumento di 𝑅3 comporta un aumento del π‘‡π‘™π‘œπ‘€ causato dalla maggior scarica del condensatore (Figura 47). Viceversa, la diminuzione di 𝑅3 comporta un aumento

del fattore dovuto al partitore resistivo e una diminuzione della π‘‰π‘™π‘œπ‘€, ottenendo come effetto complessivo l’aumento della π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ . La diminuzione di 𝑅3 durante il π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž comporta una

minor scarica di 𝐢1 e conseguentemente un valore superiore di π‘‰π‘Ž rispetto al caso di progetto. Questo permette la diminuzione di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ quando si diminuisce 𝑅3 (Figura 48). Lo stesso tipo di ragionamento lo si puΓ² applicare al caso della 𝑅4. Le tensioni di soglia perΓ² dipendono in maniera diversa da questa resistenza e grazie a passaggi matematici possiamo evidenziarne la dipendenza scrivendo le seguenti formule:

π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ = (π‘‰π‘™π‘œπ‘€βˆ— 1 (𝑅3 𝑅4+ 1) ⁄ ) + 𝑉𝑏𝑒 π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ e π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž = (π‘‰β„Žπ‘–π‘”β„Žβˆ— 1 (𝑅3 𝑅4+ 1) ⁄ ) +

𝑉𝑏𝑒 π‘ π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’. L’aumento di 𝑅4 genera un aumento sia di π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž π‘™π‘œπ‘€ sia di π‘‰π‘™π‘œπ‘€. Nella fase di

π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž l’aumento della 𝑅4 aveva comportato un aumento di π‘‰π‘Žπ‘‘β„Ž β„Žπ‘–π‘”β„Ž e una minor scarica di 𝐢1 che generano una π‘‰π‘Ž π‘–π‘›π‘–π‘§π‘–π‘Žπ‘™π‘’ per il π‘‡π‘™π‘œπ‘€ maggiore rispetto al caso di progetto. Questo permette la diminuzione del π‘‡π‘™π‘œπ‘€ quando la 𝑅4 aumenta (Figura 49). Con lo stesso tipo di ragionamento si puΓ² capire che la diminuzione di 𝑅4 produce l’aumento di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ (Figura 50).

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Figura 46: andamento della 𝑉𝐢1 con 𝑅3 = 30 π‘˜β„¦ (in blu) e con 𝑅3 di progetto (in giallo)

Figura 47: durata di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 1.2 𝑠𝑒𝑐 con una 𝑅3 = 30 π‘˜β„¦ (aumento del valore della

resistenza)

Figura 48: durata di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 0.91 𝑠𝑒𝑐 con una 𝑅3 = 11 π‘˜β„¦ (diminuzione del valore della

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Figura 49: durata di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 0.96 𝑠𝑒𝑐 con una 𝑅4 = 15 π‘˜β„¦ (aumento del valore della

resistenza)

Figura 50: durata di π‘‡π‘™π‘œπ‘€ = 1.4 𝑠𝑒𝑐 con una 𝑅4 = 1 π‘˜β„¦ (diminuzione del valore della

resistenza)

Riepilogando:

o Aumentare (diminuire) la 𝑅3 diminuisce (aumenta) la frequenza di stimolazione (Figura 51 e 52);

o Aumentare (diminuire) la 𝑅4 aumenta (diminuisce) la frequenza di stimolazione (Figura 53 e 54);

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Figura 51: andamento di 𝑉𝑑 con 𝑅3 = 30 π‘˜β„¦ (in verde) e con 𝑅3 di progetto (in blu)

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Figura 53: andamento di 𝑉𝑑 con 𝑅4 = 15 π‘˜β„¦ (in verde) e con 𝑅4 di progetto (in blu)

Figura 54: andamento di 𝑉𝑑 con 𝑅4 = 3 π‘˜β„¦ (in verde) e con 𝑅4 di progetto (in blu)

In ultimo si Γ¨ verificata l’incidenza di una resistenza di carico (R10) che subisce delle variazioni, essa incide sulle Ο„carica e πœπ‘ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž del condensatore 𝐢3. Nel caso della Ο„carica avremo che aumenta (diminuisce) all’aumentare (diminuire) di 𝑅10. Si puΓ² vedere, infatti, una tensione minore nel caso di una 𝑅10 = 10π‘˜β„¦ (Figura 55). Nel caso della Ο„scarica, un

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aumento (diminuzione) di questa resistenza rende meno (piΓΉ) β€œveloce” l’andamento della tensione (Figura 56).

Figura 55: andamento della 𝑉𝑅10 con 𝑅10 = 10π‘˜β„¦ (in verde) e con 𝑅10 = 1π‘˜β„¦ (in blu), lo sfasamento che si puΓ² notare tra le due forme d’onda Γ¨ dovuto al transitorio iniziale. Con una 𝑅10 = 10π‘˜β„¦ si ha un transitorio di minore durata rispetto al caso di una 𝑅10 = 1π‘˜β„¦.

Figura 56: andamento della 𝑉𝑅10 con 𝑅10 = 10 π‘˜β„¦ (in blu) e con 𝑅10= 1π‘˜β„¦ (in verde), lo sfasamento che si puΓ² notare tra le due forme d’onda Γ¨ dovuto al transitorio iniziale. Con una 𝑅10 = 10π‘˜β„¦ si ha un transitorio di minore durata rispetto al caso di una 𝑅10 = 1π‘˜β„¦.

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Infine si Γ¨ verificata la differenza tra l’energia erogata dal generatore calcolata in maniera teorica e quella calcolata grazie all’uso del simulatore LTSPICE. Per il calcolo teorico Γ¨ stato approssimato l’andamento esponenziale con un andamento lineare nel π‘‡β„Žπ‘–π‘”β„Ž e si Γ¨

considerata una corrente nulla nel π‘‡π‘™π‘œπ‘€. Il calcolo Γ¨ stato fatto sommando l’area del rettangolo di altezza 3.3 π‘šπ‘Š e l’area del triangolo di altezza 2.3 π‘šπ‘Š ed entrambi con base pari a 1.3 π‘šπ‘ π‘’π‘ (prelevando i precedenti valori dalla simulazione della potenza). La somma delle due aree, data formula (3.3 βˆ— 1.3) +2.3βˆ—1.3

2 , produce un risultato pari a 5.8 ¡𝐽. Mentre

l’energia calcolata dal software Γ¨ pari a 3.39 ¡𝐽 (Figura 57). Come ci si aspettava a seguito delle approssimazioni, abbiamo valori leggermente diverti tra calcoli teorici e pratici.

Figura 57: determinazione dell’energia necessaria per il singolo spike. Il segno meno

dell’energia Γ¨ dovuto al valore negativo della corrente del generatore. Il segno di quest’ultima Γ¨ alle convenzioni del software che considera positiva una corrente entrante nel generatore. Quindi il segno meno va tradotto come una corrente uscente. Il valore dell’energia rappresenta il valore erogato.

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