DISCIPLINA: MATEMATICA
Docente: Prof. Angelo Francesco Paolo Magatti
Nota preliminare: a causa del lungo periodo di assenza del docente titolare della cattedra il programma di matematica effettivamente svolto è stato forzatamente ridotto rispetto a quanto preventivato all’inizio dell’anno scolastico.
Competenze raggiunte alla fine dell’anno per la disciplina
1. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi.
2. Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico rappresentandole anche sotto forma grafica.
3. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi.
4. Formalizzare e rappresentare relazioni e dipendenze
5. Padroneggiare gli strumenti fondamentali atti a costruire modelli
6. Elaborare informazioni utilizzando al meglio metodi e strumenti di calcolo
7. Analizzare un problema ed individuare il modello matematico più adeguato alla sua risoluzione 8. Individuare elementi variabili/costanti
9. Controllare la coerenza di eventuali soluzioni del modello con le limitazioni poste dal problema.
Conoscenze o contenuti (UDA disciplinari) 1. Le funzioni e le loro proprietà
Conoscere:
• la definizione di funzione matematica e la classificazione delle funzioni reali di variabile reale;
• il campo di esistenza delle funzioni elementari;
• le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca;
• le definizioni di funzione crescente, decrescente, pari, dispari.
2. I limiti delle funzioni Conoscere:
• le definizioni di intervallo, intorno, punto di accumulazione, punto isolato;
• la definizione di limite, sia mediante il concetto di “intorno”, sia mediante gli ε/δ;
• i teoremi fondamentali sui limiti.
3. Il calcolo dei limiti Conoscere:
• la definizione di funzione continua
• i teoremi relativi alle operazioni sui limiti
• l’esistenza delle forme di indecisione
• la definizione di infinitesimo e di infinito
• i limiti notevoli (in particolare delle funzioni !"# !! e !!!!!)
• le forme di indecisione e i relativi metodi risolutivi
• la definizione di asintoto
• la relazione esistente tra limite e asintoto
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• i teoremi sulle funzioni continue
• i tipi di discontinuità
4. Le successioni e le serie numeriche Conoscere:
• la definizione di successione
• i vari tipi di successioni e di progressioni
• la definizione di limite di una successione
• i teoremi sui limiti delle successioni
• la definizione di serie numerica
• la definizione di serie geometrica
• il principio di induzione
• le definizioni di serie convergente, divergente, indeterminata
5. La derivata di una funzione Conoscere:
• la definizione di rapporto incrementale e il relativo significato geometrico
• la definizione di derivata e il relativo significato geometrico
• la definizione di funzione derivabile
• le derivate delle funzioni elementari
• il significato di funzione derivata
• i teoremi relativi alla derivata di somma / di prodotto / di quoziente di funzioni derivabili
• la definizione di differenziale
• il procedimento di calcolo delle derivate di funzioni composte e inverse
• la relazione tra continuità e derivabilità
6. I teoremi del calcolo differenziale Conoscere:
• i teoremi fondamentali sul calcolo differenziale (Rolle, Lagrange, Cauchy)
• il teorema di De L’Hospital
7. I massimi, i minimi e i flessi. Problemi di massimo e di minimo Conoscere:
• la definizione di massimo e di minimo relativo e assoluto
• la definizione di funzione crescente, decrescente, monotona
• la condizione necessaria per l’esistenza di massimi e minimi relativi
• la definizione di funzione concava e convessa
• la definizione di punto di flesso
8. Lo studio di funzione
Conoscere come prerequisiti tutti i punti precedenti.
9. Gli integrali indefiniti Conoscere:
• la definizione di primitiva di una funzione continua
• la definizione di integrale indefinito
• la proprietà dell’integrale indefinito
• le primitive delle funzioni elementari
• i metodi di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti
• i metodi di integrazione delle funzioni razionali fratte
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10. Gli integrali definiti e l’integrazione numerica Conoscere:
• il concetto di area del trapezoide
• la definizione di integrale definito
• le proprietà dell’integrale definito
• la relazione tra integrale indefinito e definito
• la definizione di funzione integrale
• il teorema della media
• il teorema fondamentale del calcolo integrale
• il significato geometrico dell’integrale definito
• la definizione di lunghezza dell’arco di una curva
• la definizione di integrale improprio (di vario tipo)
• la definizione di volume di solido di rotazione
Abilità
1. Le funzioni e le loro proprietà Saper:
• determinare il dominio, gli zeri, il segno e altre caratteristiche delle funzioni reali di variabile reale.
• stabilire se una funzione è pari o dispari.
• tradurre graficamente le informazioni raccolte.
2. I limiti delle funzioni Saper:
• individuare gli estremi di un intervallo, i punti isolati e i punti di accumulazione di un insieme.
• procedere alla verifica di limite
• abbozzare il grafico di una funzione che verifica limiti assegnati.
• dedurre i limiti significativi dal grafico di una funzione assegnata.
3. Il calcolo dei limiti Saper:
• calcolare i limiti utilizzando i teoremi studiati
• riconoscere le forme di indecisione
• confrontare infiniti e infinitesimi
• risolvere le varie forme di indecisione utilizzando i limiti notevoli studiati
• dimostrare il limite notevole sin(x)/x
• abbozzare il grafico di una funzione dopo averne calcolato i limiti agli estremi del dominio
• stabilire l’esistenza di asintoti verticali e orizzontali
• stabilire se una funzione è continua in un punto e in un intervallo
• riconoscere il tipo di discontinuità
• sfruttare la continuità delle funzioni elementari per procedere al calcolo dei limiti
• studiare la continuità/discontinuità di una funzione 4. Le successioni e le serie numeriche
Saper:
• verificare e calcolare il limite di una successione
• determinare il carattere di una serie a termini positivi
• determinare la somma di serie geometriche convergenti 5. La derivata di una funzione
Saper:
• calcolare il rapporto incrementale in un punto
• calcolare la derivata prima delle funzioni elementari in un punto, applicando la definizione
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• calcolare la derivata delle funzioni applicando le regole di derivazione
• determinare l’equazione della retta tangente alla funzione in un suo punto
• calcolare le derivate di ordine superiore al primo
• riconoscere la natura dei punti di non derivabilità
• calcolare la derivata di funzioni composte e inverse
• dimostrare il teorema che lega continuità e derivabilità
• analizzare la continuità e la derivabilità di una funzione 6. I teoremi del calcolo differenziale
Saper:
• verificare se una funzione soddisfa le ipotesi dei teoremi studiati
• dimostrare i teoremi di Rolle e Lagrange
• risolvere una forma di indecisione applicando il teorema di De L’Hospital 7. I massimi, i minimi e i flessi. Problemi di massimo e di minimo
Saper:
• identificare gli intervalli di monotonia di una funzione
• individuare i massimi e i minimi relativi di una funzione
• individuare gli intervalli in cui una funzione è concava o convessa
• individuare i punti di flesso
• tradurre in termini analitici un problema proposto
• impostare la funzione risolvente e procedere alla ricerca del massimo/minimo che ne rappresenta la soluzione nei casi più semplici
8. Lo studio di funzione Saper:
• procedere allo studio di una funzione (dal dominio fino allo studio della derivata seconda)
• tracciare il grafico corrispondente alle informazioni raccolte
• dedurre il grafico della derivata da quello della funzione e viceversa.
9. Gli integrali indefiniti Saper:
• calcolare l’integrale indefinito immediato di una funzione assegnata
• applicare i metodi di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti
• applicare i metodi di integrazione delle funzioni razionali fratte.
10. Gli integrali definiti Saper:
• calcolare l’integrale definito immediato di una funzione assegnata
• distinguere tra integrale definito e area della regione piana delimitata da una curva e dall’asse x
• procedere allo studio di una funzione integrale
• calcolare il volume di un solido ottenuto dalla rotazione di un arco di curva piana
Obiettivi minimi
● Saper determinare il campo di esistenza di una funzione
● Saper calcolare i limiti agli estremi del campo di esistenza interpretandoli graficamente.
● Saper riconoscere i vari tipi di discontinuità.
● Saper ricavare il grafico probabile di una funzione.
● Saper operare trasformazioni su grafici di funzioni.
● Saper calcolare derivate.
● Saper interpretare graficamente il segno di una derivata.
● Saper tracciare il grafico di una funzione studiata per via analitica o per via sintetica.
● Saper risolvere integrali definiti, indefiniti.
● Saper applicare il calcolo integrale al calcolo di aree e volumi
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Metodologie
Lezione frontale, Problem Solving, Discussione guidata, Metodo deduttivo.
Durante l’anno scolastico agli studenti sono state proposte numerose occasioni di verifica individuale, prevalentemente scritte, con prova strutturata costituita da quesiti a risposta aperta.
Nella valutazione degli studenti sono stati considerati, oltre ai risultati delle verifiche scritte e orali, i
seguenti aspetti: la correttezza del comportamento, la pertinenza degli interventi e delle domande poste, le capacità di attenzione, ascolto, studio, la puntualità nell’esecuzione dei compiti a casa, la serietà
nell’impegno a scuola e a casa e l’assidua presenza alle lezioni anche nei momenti di verifica.
Alla classe è stato offerto un percorso di approfondimento per la preparazione dell’esame di stato di dieci ore durante i mesi di aprile/maggio in orario pomeridiano. Sono in programma per la fine di maggio interrogazioni orali e un’eventuale seconda simulazione della prova scritta di matematica.
Criteri di valutazione
Quadro di corrispondenza dei voti ai livelli di conoscenze, abilità e competenze.