Nella restante parte del capitolo verranno analizzati e confrontati tra loro i risultati ottenuti dalla simulazione dei diversi modelli. Le analisi sono ripartite in 3 sezioni in base alla metrica considerata: il numero medio di cluster, la distanza media tra due opinioni e il numero di iterazioni necessario al raggiungimento di una situazione di equilibrio. All’interno di ciascuna sezione si partir`a dall’analizzare il modello base per poi prendere in considerazione le varie modifiche.
Il numero medio di cluster AB-model
Prima di analizzare gli effetti del parametro fondamentale dell’AB-model, γ, va sot- tolineato come le simulazioni effettuate confermano le conclusioni riportate in [FOR04],
(a) 0.2 ≥ ≤ 1.0 (b) 0.2 ≥ ≤ 0.4
Figura 4.2: Confronto tra rete random e rete scale-free per il DW-model (γ = 0).
[Wei04], [SM04], [Sˆır+19] per quanto riguarda l’applicazione del DW-model su parti- colari topologie. Anche in questo caso, infatti, per γ = 0 la thereshold per il consenso `e la stessa in entrambe le reti e la dinamica sostanzialmente non cambia al variare della topologia. Inoltre, la dinamica `e la stessa anche nel mean-feald. La diversit`a nel numero di cluster `e semplicemente data dal numero di nodi considerato che in questo caso `e pi`u basso di quello utilizzato nei precedenti lavori e dalla densit`a della rete. Infatti, se la densit`a fosse molto bassa e il grafo fosse composto da componenti discon- nesse, chiaramente non si potrebbe raggiungere il consenso perch´e su ogni sottografo si verificherebbe una dinamica a s´e. Dai grafici in figura 4.2 si pu`o notare come, nel presente caso, la thereshold per il raggiungimento del consenso `e intorno a = 0.3, mentre fino a ≤ 0.275 si ottengono due cluster. Anche questo risultato `e in linea con quelli riportati nei lavori precedentemente citati. Ad esempio [FOR04] individua una thereshold universale in = 0.5.
L’obiettivo dell’analisi dell’AB-model su reti random e reti scale-free `e verificare in quale modo il passaggio da una rete completa, con Lmax link, ad una rete con una
particolare topologia e L < Lmax link, possa influenzare lo stato finale, facilitando
o rendendo pi`u difficile il raggiungimento del consenso o della polarizzazione. Dai grafici si pu`o notare come il numero di cluster sia direttamente proporzionale a γ e inversamente proporzionale a , sia quando il modello viene applicato ad una rete random (figura 4.3) che quando viene applicato ad una rete scale-free (figura 4.4).
In [Sˆır+19] si `e visto come nel mean field il numero di cluster per ≥ 0.2 e γ ≤ 1.6 rimane sempre al di sotto di 3. Una differenza importante che emerge applicando il
Figura 4.3: Numero medio di cluster. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model su una rete random in funzione dei due parametri del modello ( e γ). Come si pu`o notare il numero di cluster aumenta con γ e diminuisce con .
modello a reti complesse `e che questo non accade. Il numero di cluster, infatti, cresce fino ad arrivare ad un intorno di 80. Nel mean field si riscontra inoltre che, per > 0.4, viene sempre raggiunto il consenso e la presenza di un filtraggio sempre pi`u forte non produce pi`u alcun effetto sulla distribuzione finale delle opinioni. Invece, sulle reti analizzate nel presente lavoro, esiste sempre un valore di γ a partire dal quale le opinioni non riescono pi`u a convergere in uno o pochi cluster, ma rimangono distribuite quasi uniformemente all’interno della popolazione. Questo perch´e l’effetto dell’algorithmic bias, che riduce il numero di nodi con cui un agente interagisce, combinato con la topologia della rete che riduce ulteriormente le possibilit`a di contatto tra gli individui, impedisce a dei veri e propri cluster di opinioni di formarsi.
In questo caso, piccoli gruppi di agenti connessi si avvicinano tra loro, senza per`o concentrarsi intorno ai due, tre valori diversi delle opinioni, come accade invece nel mean field. Bisogna per`o sottolineare come questo effetto potrebbe anche essere dovuto al numero massimo di iterazioni scelto, che in alcuni casi viene raggiunto, come si vedr`a
Figura 4.4: Numero medio di cluster. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model su una rete scale-free in funzione dei due parametri del modello ( e γ). Come si pu`o notare anche in questo caso il numero di cluster aumenta con γ e diminuisce con .
nel paragrafo 4.2, stoppando le simulazioni prima che una configurazione stabile sia raggiunta.
Questo significa che un numero maggiore di interazioni avrebbe potuto portare ad una minor frammentazione nella situazione finale. Questo accade soprattutto per 1.2 ≤ γ ≤ 1.6 perch´e, come gi`a sostenuto in [Sˆır+19], l’effetto dell’algorithmic bias sulla frammentazione agisce non solo impedendo il consenso, ma anche rallentandone il raggiungimento anche nei casi in cui sarebbe possibile.
Per mostrare tale situazione `e stata riportata la dinamica sulle due reti per ∈ {0.2, 0.3, 0.4} fino a γ = 1.6 nella figura 4.5 e nella figura 4.6 da cui risulta evidente l’evoluzione della dinamica.
Figura 4.5: Evoluzione delle opinioni per ∈ {0.2, 0.3, 0.4} fino a γ = 1.6 su una rete random.
Figura 4.6: Evoluzione delle opinioni per ∈ {0.2, 0.3, 0.4} fino a γ = 1.6 su una rete scale-free.
Andando ad analizzare le differenze nei risultati ottenuti sulle due diverse reti si nota che, in generale, sono in linea con il mean feald, pur essendoci delle piccole differenze
Figura 4.7: Numero medio di cluster. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model su una rete random in funzione dei due parametri del modello ( e γ), ponendo come restrizione γ ≤ 1.2, in modo da riuscire ad apprezzare meglio la dipendenza da della misura.
tra la rete random e la rete scale-free. Nella rete random, (con pr = 0, cio`e senza che ci sia la possibilit`a di rewiring degli archi) andando ad analizzare il numero di cluster per valori di γ ≤ 1.2 (per cui ncluster ≤ 3), si nota come per = 0.2 il risultato finale della dinamica porta sempre alla polarizzazione delle opinioni, con un numero di cluster che va da 2.0 a 2.4 al crescere di γ. Invece, per = 0.3, il numero di cluster `e pi`u influenzato da γ: si parte infatti da una situazione di consenso per γ = 0 fino ad arrivare ad una di polarizzazione; mentre per ≥ 0.4 per i valori di γ considerati si raggiunge sempre il consenso. Si nota comunque un leggero aumento nel numero medio di cluster, che rappresenta il fatto che il cluster che si forma non contiene in realt`a tutti i nodi, ma ce ne sono altri che rimangono “esclusi” e formano dei piccoli cluster, andando pertanto ad aumentare il valore della cluster participation ratio (si veda il grafico in figura 4.7).
Nel grafo BA notiamo sostanzialmente gli stessi pattern di crescita del numero medio di cluster in funzione di e di γ. Come si pu`o vedere dalla figura 4.8, la maggior
Figura 4.8: Numero medio di cluster. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model su una rete scale-free in funzione dei due parametri del modello ( e γ), ponendo come restrizione γ ≤ 1.2, in modo da riuscire ad apprezzare meglio la dipendenza da della misura.
parte delle considerazioni fatte in precedenza per la rete ER valgono anche in questo caso, in quanto le due distribuzioni sono sostanzialmente equivalenti. Tuttavia, una differenza che si riscontra `e che il numero medio di cluster nella rete scale-free `e sempre leggermente maggiore rispetto alla rete random. Per notare meglio questo aspetto nella figura 4.9 sono stati rappresentati i valori per entrambe le reti. Fissato , si nota come le curve della rete random (in blu nella figura) e della rete scale free (in arancione) sono comunque molto vicine per γ ≤ 1.2. Invece, per γ ≥ 1.4, sulla rete scale-free si creano un numero elevato di cluster (tra i 10 e gli 80), mentre sulla rete random il passaggio avviene in maniera pi`u graduale con un numero di cluster che per γ = 1.4 `e ancora contenuto. Nonostante questo, per γ ≥ 1.8 il numero di cluster risulta essere maggiore nella rete ER.
Andando poi a considerare la dinamica su una topologia di rete che evolve in re- lazione alla dinamica delle opinioni, si pu`o constatare nella figura 4.10a che nel grafo ER, per ≤ 0.4 la frammentazione aumenta, anche se in modo non significativo, per
Figura 4.9: Numero medio di cluster nelle due diverse reti per diversi valori di . Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model sulla rete random (in blu) e sulla rete scale free (in arancione) in funzione di γ.
pr = 0.5 (la linea arancione in figura), cio`e con una probabilit`a random di rewiring, e pr = 1.0 (indicata dalla linea verde), cio`e scegliendo sempre di eseguire il rewiring del- l’arco quando due agenti si trovano in disaccordo. Per valori di γ ≥ 1.4 e in particolare per γ = 1.6 l’evoluzione della topologia aumenta di molto il numero di cluster.
Andando ad osservare meglio il numero di cluster per γ ≤ 1.2 (vedi figura 4.10b) si pu`o notare come non ci sia un rapporto ben definito tra il numero di cluster e la probabilit`a di rewiring: per alcune combinazioni di e γ, infatti, presenta una maggiore polarizzazione il modello base, per altre il modello con il rewiring casuale e per altre il modello dove avviene sempre il rewiring. Sicuramente si nota come all’aumentare di γ nei modelli in cui la topologia si evolve il numero di cluster tende ad aumentare, tanto che in alcuni casi si passa dai 2 cluster del modello base a 3 cluster. Si nota inoltre come sostanzialmente la dinamica sia la stessa: per = 0.2 si ha sempre polarizzazione (anche se con il rewiring si arriva fino ad un numero effettivo di cluster di 2.6 e quindi in realt`a ci sono 3 cluster finali, di cui per`o due contengono un numero maggiore di nodi rispetto al terzo); per = 0.3 si parte dal consenso nel DW-model per arrivare a
(a) γ ≤ 1.6 (b) γ ≤ 1.2
Figura 4.10: Numero medio di cluster nella rete random per diversi valori di e γ ≤ 1.6. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model sulla rete random (in blu), con una probabilit`a random di rewiring degli archi (in arancione) e facendo sempre il rewiring degli archi (in verde), in funzione di γ.
circa 2 cluster e infine per = 0.4 si arriva sempre al consenso.
Nel grafo BA, dal momento che anche nell’AB-model all’aumentare di γ si riscon- trava gi`a una maggiore frammentazione, l’inserimento di pr > 0 non produce grosse differenze. Sicuramente dalla figura 4.11a si pu`o notare come il rewiring contribuisca ad un aumento della frammentazione all’aumentare di γ, anche se poco significativo. Sui valori per γ ≤ 1.2 (si veda figura 4.11b), per`o, si possono fare le stesse constatazioni fatte in precedenza per la rete random. La probabilit`a di rewiring degli archi, infatti, non sembra incidere in maniera netta sul numero di cluster.
Bisogna anche sottolineare come, essendo i valori calcolati su una media di 10 iterazioni, alcuni valori potrebbero essere influenzati da singole esecuzioni con risultati pi`u “estremi” in positivo o in negativo. Per avere un’idea pi`u precisa della dipendenza del numero di cluster dai parametri , γ e pr sarebbe sicuramente pi`u significativo calcolare la media su un numero maggiore di esecuzioni.
(a) γ ≤ 1.6 (b) γ ≤ 1.2
Figura 4.11: Numero medio di cluster nella rete scale-free per diversi valori di e γ ≤ 1.6. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’AB-model sulla rete random (in blu), con una probabilit`a random di rewiring degli archi (in arancione) e facendo sempre il rewiring degli archi (in verde), in funzione di γ.
sia essa random o scale-free) non cambia sostanzialmente la dinamica delle opinioni e le topologie di rete considerate nel presente lavoro non mostrano delle sostanziali dif- ferenze nel numero di opinion cluster che si ottengono una volta raggiunto l’equilibrio, producendo dei risultati in linea con il mean feald analizzato in [Sˆır+19].
Algorithmic bias on simplicial complexes: gli effetti della peer-pressure Nel modello ABSC-model, come spiegato nel paragrafo 3.2.1, viene introdotta una dinamica di gruppo in cui 3 nodi possono interagire contemporaneamente se forma- no un sottografo completo. In questa dinamica si viene ad inserire il fenomeno della peer-pressure qualora due nodi formino una maggioranza. Nel presente modello, se i tre nodi sono concordi si avvicinano tra loro adottando l’opinione media del gruppo, altrimenti il terzo nodo viene attirato dagli altri e adotta l’opinione media della mag- gioranza. L’introduzione di questo nuovo tipo di interazione genera dei cambiamenti nella distribuzione finale delle opinioni. Andando ad analizzare il numero medio di cluster si nota che, mentre nel modello base per = 0.2 la dinamica non porta mai al consenso (come si pu`o vedere dalle figure 4.7 e 4.8), ma si formano due distinti cluster di opinioni, con l’introduzione della peer-pressure il numero di cluster si riduce a parit`a di parametri e viene raggiunto il consenso anche per = 0.2 (vedi figura 4.12). In ogni caso, si pu`o vedere chiaramente che l’algorithmic bias spinge comunque sempre verso la frammentazione e al suo aumentare diventa sempre pi`u difficile che sulle reti venga raggiunto il consenso. Rispetto al modello base, per`o, il numero di cluster che si ottiene per valori elevati di γ, quando la distribuzione diventa frammentaria, `e molto inferiore (numero medio di cluster inferiore a 10).
(a) ER
(b) BA
Figura 4.12: Numero medio di cluster. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’ABSC-model sulla rete random e sulla rete scale-free in funzione dei due parametri del modello ( e γ).
Un’altra considerazione generale che si pu`o fare `e che, anche in questo modello che introduce la peer-pressure, sulla rete scale free la distribuzione finale delle opinioni `e sempre leggermente pi`u frammentaria, a parit`a di parametri, probabilmente per via che la densit`a media in questa rete `e inferiore a quella della rete random utilizzata per le simulazioni (nella figura 4.13 si pu`o vedere come le curve della rete scale-free, che sono quelle tratteggiate, siano sempre al di sopra di quelle della rete random). Sempre dalla figura 4.13 sembrerebbe che anche in questo modello l’evoluzione della topologia della rete con il rewiring degli archi porti in media ad un aumento della frammentazione delle opinioni nella configurazione finale. La curva che indica il modello in cui viene effettuato il rewiring ogni volta che c’`e una situazione di conflitto ha quasi in tutti i casi, valori superiori rispetto a quelli ottenuti con una probabilit`a di rewiring random (in arancione) e al caso senza rewiring (in blu).
Quest’analisi suggerisce come l’inserimento di interazioni di gruppo e la modella- zione della peer-pressure in un bounded confidence model con algorithmic bias faciliti il consenso e riduca l’effetto “frammentante” del parametro γ, che comunque rimane. Questi dati contraddicono l’idea comune secondo cui la peer pressure dovrebbe favorire invece la polarizzazione, come ricordato in [HK20], ma anzi il consenso viene raggiun- to anche con parametri pi`u “sfavorevoli”. Questa ovviamente non `e una conclusione di valore assoluto in quanto, specialmente in un modello con opinioni continue come questo, la modellazione della peer-pressure non `e un task banale e soprattutto non ha una soluzione univoca.
Figura 4.13: Numero medio di cluster confrontato tra le due reti e per i diversi valori di pr, fissato al variare di γ. Il grafico mostra il numero medio di cluster nell’ABSC- model sulla rete random e sulla rete scale-free (linea tratteggiata) per pr = 0 (in blu), con pr = 0.5 (in arancione) e pr = 1.0 (in verde).
Nel successivo modello, ABSC2-model (descritto nel paragrafo 3.2.1), `e stato rein- trodotto l’algorithmic bias nella scelta del simplesso (o triangolo) su cui avviene l’in- terazione: una volta estratti tutti i triangoli a cui la coppia di nodi partecipa, la scelta del terzo partner avviene secondo l’equazione 2.19 in base alla distanza dall’opinione del primo nodo selezionato per l’interazione (n1). Si pu`o vedere come in questo mo-
dello aumenti nuovamente la frammentazione per γ ≥ 1.2, a prescindere dal setting del modello. Come nel modello precedente, anche in questo caso l’introduzione della probabilit`a di rewiring porta comunque ad un aumento della frammentazione.
Nell’ultimo modello analizzato, ABSC3-model, si parte dal modello precedente e si introduce una modifica: dopo aver scelto il primo nodo per l’interazione n1 randomica-
mente e dopo aver scelto un secondo nodo n2 secondo l’equazione 2.19 e infine un terzo
nodo n3, come descritto in 3, si va a cercare se ci sia una maggioranza su una qualunque
delle coppie che formano il simplesso. In termini di numero di cluster a convergenza, questa modifica non introduce sostanziali differenze rispetto al precedente e valgono le stesse considerazioni.
Per concludere confrontando i setting dei diversi modelli sulla stessa rete con stesso p, possiamo dire che per pr = 0.0 (in assenza di rewiring degli archi) sulla rete ER l’aggiunta della possibilit`a di interazioni a 3 e la modellazione della peer-pressure sem-
brano facilitare il raggiungimento del consenso, quantomeno fino a γ ≤ 1.2, come si pu`o constatare dalla figura 4.14. Inoltre, per γ ≥ 1.6 la frammentazione maggiore si ha invece in ABSC2-model, in cui fino a = 0.4 non viene raggiunto il consenso (per gli altri modelli la thereshold `e 0.3). In ogni caso il numero massimo di cluster `e 3. Nella rete scale-free per γ ≥ 1.6 nel modello base si raggiunge sempre un numero pi`u alto di cluster. Tuttavia andando ad analizzare γ ≤ 1.2 (si veda figura 4.15) si nota come in alcuni casi i modelli con le interazioni di gruppo generano un numero maggiore di cluster.
Un’altra cosa che si nota dai grafici in figura 4.14 e 4.15 `e come all’aumentare del parametro di bounded confidence i modelli tendono a dare all’incirca tutti gli stessi risultati, ad evidenziare come l’apertura mentale degli agenti sia un parametro de- terminante nella dinamica delle opinioni. Nei modelli con la peer-pressure, infatti, tale parametro indica anche il range entro cui due nodi sono considerati “concordi” e formano una maggioranza.
Figura 4.14: Numero medio di cluster confrontato tra i diversi modelli e per i diversi valori di pr fissato al variare di γ per la rete random.
Figura 4.15: Numero medio di cluster confrontato tra i diversi modelli e per i diversi valori di pr fissato al variare di γ per la rete scale-free.
La distanza media tra le opinioni
Sempre per quanto riguarda l’AB-model, nel presente paragrafo verr`a analizzata la distanza media tra le opinioni, come misura del grado di consenso/polarizzazione/ frammentazione.
Come per la precedente misura, anche in questo caso valgono le stesse considera- zioni fatte in [Sˆır+19] per il mean field, ovvero che all’aumentare del numero di cluster aumenta l’average pairwise distance tra opinioni, a dimostrazione del fatto che la to- pologia della rete non influisce molto sulla distanza finale che presentano le opinioni, che dipende quasi esclusivamente dal numero di cluster e quindi da e γ.
(a) ER
(b) BA
Figura 4.16: Distanza media tra le opinioni nell’AB-model (pr = 0.0) nella rete random e nella rete scale-free.
di quelle viste per il numero medio di cluster, tuttavia una volta raggiunta la fram- mentazione non `e detta che un aumento nel numero di cluster indichi un aumento della pairwise distance significativo, perch´e mentre aumentano di numero, i cluster si avvicinano tra loro. In particolare, quando si raggiunge il consenso la distanza media `e inferiore a 0.10 (chiaramente `e minore pi`u il consenso `e “perfetto”, diventa pari a 0 quando tutti i nodi possiedono la stessa opinione), quando il numero di cluster `e 2 la distanza media si attesta tra 0.10 e 0.13, infine quando γ ≥ 1.4 e la situazione finale `e frammentaria e la distanza media tra le opinioni arriva fino a 0.17.
Confrontando l’average pairwise distance del modello in analisi con quella ottenuta per il mean field riportata in [Sˆır+19], si pu`o riscontrare che nel modello su reti la distanza `e sempre inferiore, a parit`a di parametri e soprattutto a parit`a di numero di cluster. Inoltre bisogna sottolineare come, per γ ≥ 1.4 nel modello base si arriva ad una distanza media tra opinioni anche di 0.2 con un numero di cluster inferiore a 3. Invece, sulle reti random e scale free la distanza rimane inferiore poich´e le opinioni non si raggruppano in cluster ben distanziati tra loro, ma rimangono quasi uniformemente distribuite. Quindi, mentre l’average pairwise distance `e idonea ad indicare il passaggio da consenso a polarizzazione, non `e altrettanto adeguata a caratterizzare una crescente frammentazione.
Andando ad aggiungere la possibilit`a di rewiring, la distanza media tra le opinioni non subisce dei grandi cambiamenti e rimane sempre nello stesso rapporto col numero di cluster.
Nell’ABSC-model, per quanto riguarda la distanza media tra le opinioni che si ha a convergenza valgono le stesse considerazioni fatte per il modello base, in quanto