Disuguaglianza di P´ olya-Szeg˝ o

Il primo strumento di cui abbiamo bisogno `e la disuguaglianza di P´olya- Szeg˝o. Essa esprime il rapporto tra la norma p-esima del gradiente di una funzione e la stessa norma del gradiente del riordinamento decrescente della funzione stessa. Iniziamo quindi con la seguente definizione:

Definizione 5.1.1. Sia u : Rn _{→ R misurabile. Diremo che `e nulla all’infi-}

nito se vale la seguente condizione

µ({x ∈ Rn: u(x) > t}) < ∞, ∀t > 0.

Definizione 5.1.2. Sia A ⊂ Rn_{, definiamo il suo riordinamento simmetrico}

il seguente insieme

Capitolo 5 5.1.1. Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o

dove ωn rappresenta la misura (n − 1)-dimensionale della sfera in Rn e µ mi-

sura di Lebesgue. Sia u : Rn→ R non negativa nulla all’infinito. Definiamo poi u? _{il riordinamento simmetrico decrescente di u:}

u?(x) =

Z ∞

0

χ{u(x)>t}?(x)dt.

Osservazione 5.1.3. Il riordinamento simmetrico decrescente u? _{`e semicon-}

tinuo inferiormente, ed `e univocamente determinato dalla funzione di distri- buzione m(t, u) = µ({x ∈ Rn: u(x) > t}). Inoltre u e u? sono equimisurabili nel senso che vale m(t, u) = m(t, u?_{) per ogni t > 0.}

Dopo aver definito i riordinamenti decrescenti, definiremo ora il riordina- mento polare di una funzione, che chiameremo semplicemente polarizzata, ne esamineremo il rapporto col primo ordinamento definito, e dimostrere- mo una sorta di disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o sulle polarizzate, dalla quale ricaveremo la nostra versione.

Definizione 5.1.4. Siano u : Rn → R misurabile e X0 ⊂ Rn un iperpiano

affine non contenente l’origine. Posti rispettivamente X+ il semispazio con-

tenente l’origine individuato da X0, X− quello rimanente, e σ la riflessione

che permuta i due semispazi, definiamo uσ, e la chiameremo polarizzazione della funzione u, la seguente funzione

uσ(x) =        max{u(x), u(σx)} x ∈ X+, min{u(x), u(σx)} x ∈ X−, u(x) x ∈ X0. (5.1)

Lemma 5.1.5. Sia u : Rn → R una funzione uniformemente continua. Allora, per ogni riflessione σ, la polarizzazione uσ _{`e uniformemente continua}

con lo stesso modulo di continuit`a.

Dimostrazione. Per ipotesi sappiamo che per ogni  > 0 esiste δ > 0 per cui per ogni x, y ∈ Rn vale

|x − y| < δ =⇒ |u(x) − u(y)| < . Vogliamo dimostrare che vale

|x − y| < δ =⇒ |uσ_{(x) − u}σ_{(y)| < .}

Sia allora  > 0 e consideriamo due punti x, y ∈ Rn _{per cui |x − y| < δ. Se}

x, y ∈ X+, allora

Capitolo 5 5.1.1. Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o

≤ max{|u(x) − u(y)|, |u(σx) − u(σy)|} < 

perch´e σ preserva le distanze e quindi |σx − σy| = |x − y| < δ. Se invece x, y ∈ X− possiamo rimpiazzare il massimo con il minimo nel ragionamento

precedente ed ottenere lo stesso risultato. Se i due punti, infine, stanno da parti opposte, allora |σx − y| ≤ |x − y|, |x − σy| ≤ |x − y|, mentre |σx − σy| = |x − y|; dunque se |x − y| < δ abbiamo

|uσ_{(x) − u}σ_{(y)| ≤ max{|u(x) − u(y)|, |u(σx) − u(y)|, |u(x) − u(σy)|, |u(σx) − u(σy)|} < .}

Proposizione 5.1.6. Siano u, v : Rn_{→ R non negative misurabili; allora}

Z Rn u(x)v(x)dx ≤ Z Rn uσ(x)vσ(x)dx (5.2)

e l’uguaglianza vale se e solo se (u(x) − u(σx))(v(x) − v(σx)) ≥ 0 q.o. in Rn_.

Dimostrazione. Dimostriamo la (5.2) per le funzioni caratteristiche; poi la tesi si estende per linearit`a alle funzioni caratteristiche e infine con il teo- rema di Beppo Levi 6.0.12 otteniamo il caso generale. Nella dimostrazione, percorreremo i seguenti step:

• (χA)σ = χAσ, ove Aσ = [(A ∪ σ(A)) ∩ X₊] ∪ [A ∩ X₀] ∪ [(A ∩ σ(A)) ∩ X₋];

• µ(Aσ _{∩ B}σ_{) ≥ µ((A ∩ B)}σ_{) per tutti gli insiemi misurabili A, B ⊂ R}n_;

• µ(Aσ

) = µ(A) per ogni insieme misurabile A ⊂ Rn;

• µ(Aσ _{∩ B}σ_{) ≥ µ(A ∩ B) per tutti gli insiemi misurabili A, B ⊂ R}n_.

Mostriamo, come prima cosa, che vale (χA)σ(x) = χAσ(x). Sia A ⊂ Rn

misurabile; allora per definizione abbiamo

(χA)σ(x) =        max{χA(x), χA(σx)} x ∈ X+ min{χA(x), χA(σx)} x ∈ X+ χA(x) x ∈ X0

quindi (χA)σ(x) = 1 ⇔ x ∈ (A ∩ X+) ∪ (σA ∩ X+) ∪ (A ∩ X0) ∪ (A ∩ σA ∩ X−).

Quindi effettuando le operazioni di unione otteniamo che l’asserzione prece- dente `e valida se e solo se x ∈ [(A∪σA)∩X+]∪[A∩X0]∪[(A∩σA)∩X−] = Aσ.

Passiamo al secondo step della nostra dimostrazione. Questo step mostra la tesi per le funzioni caratteristiche, infatti

µ(Aσ∩ Bσ) = Z Rn χAσ_∩Bσ(x)dx = Z Rn χAσχ_Bσ(x)dx = Z Rn (χA)σ(χB)σ(x)dx

Capitolo 5 5.1.1. Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o µ(A ∩ B) = Z Rn χA(x)χB(x)dx = Z Rn χA∩B(x)dx.

Siano A, B ⊂ Rn _{misurabili. Notiamo che valgono le seguenti relazioni}

(A ∩ B)σ ∩ X+ = [(A ∩ B) ∪ (σA ∩ σB)] ∩ X+=

= [(A ∩ B) ∪ σA] ∩ [(A ∩ B) ∪ σB] ∩ X+=

= (A ∪ σA) ∩ (B ∪ σA) ∩ (A ∪ σB) ∩ (B ∪ σB) ∩ X+ = = (Aσ ∩ X+) ∩ (Bσ∩ X+) ∩ (B ∪ σA) ∩ (A ∪ σB) = = (Aσ ∩ Bσ_{) ∩ X} +∩ [(B ∪ σA) ∩ (A ∪ σB)], (5.3) (A ∩ B)σ∩ X− = (A ∩ B) ∩ (σA ∩ σB) ∩ X−= = (A ∩ σA) ∩ (B ∩ σB) ∩ X−= = (Aσ∩ X−) ∩ (Bσ ∩ X−) = Aσ ∩ Bσ∩ X−. (5.4)

Mettendo insieme (5.3) e (5.4) ricaviamo µ(Aσ_∩Bσ_∩X

+) ≥ µ((A∩B)σ∩X+)

e µ(Aσ∩Bσ_∩X

−) = µ((A∩B)σ∩X−), quindi, dato che µ(X0) = 0, otteniamo

µ(Aσ∩ Bσ_{) = µ(A}σ_{∩ B}σ_{∩ X}

+) + µ(Aσ∩ Bσ∩ X−) ≥

≥ µ((A ∩ B)σ_{∩ X}

+) + µ((A ∩ B)σ ∩ X−) = µ((A ∩ B)σ)

e questo conclude il secondo step. Sia ora A ⊂ Rn_{misurabile, e dimostriamo}

µ(Aσ) = µ(A). Notiamo che valgono le seguenti uguaglianze:

µ(A ∩ X+) = µ(σA ∩ X−) (5.5)

µ(A ∩ σA ∩ X+) = µ(A ∩ σA ∩ X−), (5.6)

dove la prima `e valida per costruzione e la seconda perch´e A∩σA `e un insieme simmetrico rispetto a X0; quindi abbiamo

µ(Aσ) = µ(Aσ∩ X+) + µ(Aσ ∩ X−) =

= µ((A ∪ σA) ∩ X+) + µ(A ∩ σA ∩ X−) =

= µ((A ∩ X+) ∪ (σA ∩ X+)) + µ(A ∩ σA ∩ X−) =

= µ(A ∩ X+) + µ(σA ∩ X+) − µ(A ∩ σA ∩ X+) + µ(A ∩ σA ∩ X−) =

= µ(A ∩ X+) + µ(A ∩ X−) = µ(A),

dove nella penultima uguaglianza abbiamo utilizzato (5.5) e (5.6). L’ultimo passo `e una conseguenza dei due passi precedenti. Questo completa la prima parte della tesi.

Mostriamo ora la seconda parte. Supponiamo valga

Z

Rn

Capitolo 5 5.1.1. Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o

Allora

Z

X−

(u(x)v(x) − min{u(x), u(σx)} min{v(x), v(σx)})dx =

=

Z

X+

(max{u(x), u(σx)} max{v(x), v(σx)} − u(x)v(x))dx. (5.7) Supponiamo per assurdo che U = {x : (u(x) − u(σx))(v(x) − v(σx)) < 0} abbia misura positiva: si noti che U = σ(U ). Nel caso u(x) > u(σx) e v(x) < v(σx) dalla (5.7) avremmo Z X−∩U (u(x)v(x) − u(σx)v(x))dx = Z X+∩U (u(x)v(σx) − u(x)v(x))dx, da cui ricaveremmo Z X+∩U (u(σx)v(σx) − u(x)v(σx))dx = Z X+∩U (u(x)v(σx) − u(x)v(x))dx, che equivale a Z X+∩U

(v(σx)[u(σx) − u(x)] + u(x)[v(x) − v(σx)])dx = 0.

Per le supposizioni fatte l’integrando `e una funzione non positiva, che per- tanto deve essere nulla quasi ovunque; quindi se x ∈ U ∩ X+

0 < v(σx) u(x) =

v(σx) − v(x) u(σx) − u(x) < 0,

che `e assurdo. Il caso u(x) < u(σx) e v(x) > v(σ) si fa alla stessa maniera. Ci`o prova che [u(x) − u(σx)][v(x) − v(σx)] ≥ 0. Viceversa, supponiamo valga (u(x) − u(σx))(v(x) − v(σx)) ≥ 0 q.o., allora nel caso u(x) ≤ u(σx) e v(x) ≤ v(σx) otteniamo Z Rn uσ(x)vσ(x)dx = Z X+ uσ(x)vσ(x)dx + Z X− uσ(x)vσ(x)dx = = Z X+ u(σx)v(σx)dx + Z X− u(x)v(x)dx ≤ ≤ Z X+ u(σx)v(σx)dx + Z X− u(σx)v(σx)dx = = Z Rn u(σx)v(σx)dx = Z Rn u(x)v(x)dx.

Capitolo 5 5.1.1. Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o

Nel caso u(x) ≥ u(σx) e v(x) ≥ v(σx) invece ricaviamo

Z Rn uσ(x)vσ(x)dx = Z X+ uσ(x)vσ(x)dx + Z X− uσ(x)vσ(x)dx = = Z X− u(σx)v(σx)dx + Z X+ u(x)v(x)dx ≤ ≤ Z X+ u(x)v(x)dx + Z X− u(x)v(x)dx = = Z Rn u(x)v(x)dx.

Lemma 5.1.7. Sia u : Rn _{→ R misurabile che si annulla all’infinito. Allora}

u = u? ⇐⇒ u = uσ _∀σ

u = u?◦ τ per qualche traslazione τ ⇐⇒ u = uσ _{o u = u}σ _{◦ σ ∀σ.}

Dimostrazione. In entrambi i casi, le implicazioni ⇒ sono semplici. Per dimostrare l’implicazione inversa nel primo caso, supponiamo per assurdo che u non sia radialmente decrescente e fissiamo due punti x1, x2 con |x1| < |x2|

ma |u(x1)| < |u(x2)|. Sia σ la riflessione che mappa x1 su x2, e lascia invariato

l’iperpiano X. Allora x1 ∈ X+ che contiene l’origine e x2 ∈ X−. Dalla

definizione segue che uσ_(x

1) = u(x2) e uσ(x2) = u(x1), mostrando che uσ 6= u,

ma questo `e assurdo. Per il secondo caso, assumiamo che u sia limitata e integrabile (grazie all’approssimazione con fat layer f= min{−1, [f − ]+}).

Dopo un’opportuna traslazione, il suo centro di massa star`a nell’origine. Dato che il centro di massa di uσ sta in X+, concludiamo che uσ = u per ogni σ.

Utilizziamo ora la prima parte della tesi per ottenere la seconda.

Lemma 5.1.8. Supponiamo che u : Rn _{→ R sia non negativa, continua e}

nulla all’infinito, e sia

Polu = {uσ1,...,σk : k ≥ 0, σi riflessioni}

ossia l’insieme di tutte le funzioni ottenibili con una successione finita di polarizzazioni di u. Allora esiste una successione {uk} ⊆ Polu per cui

uk k→∞

−−−→ u? _{uniformemente. (5.8)}

Dimostrazione. Sia H una funzione strettamente decrescente e limitata su R+ con H(t) → 0 quando t → ∞; definiamo il funzionale ausiliario

I(v) =

Z

Rn

Capitolo 5 5.1.1. Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o

Grazie al lemma 5.1.5 e al teorema di Ascoli-Arzel`a, Polu `e relativamente

compatto nello spazio delle funzioni continue che si annullano all’infinito, quindi I assume il suo massimo in una certa funzione g ∈ Polu. Mostreremo

che g = u?_{. Sia {u}

k} ⊂ Polu una successione che converge uniformemente a

g. Anche ogni polarizzata gσ sta nella chiusura di Polu perch´e uσk converge

uniformemente a gσ_{, e quindi I(g) ≥ I(g}σ_{) per la massimalit`a di g. D’altro}

canto, per la proposizione 5.1.6 vale I(g) ≤ I(gσ_{), e quindi I(g) = I(g}σ_{). La}

proposizione 5.1.6 inoltre implica che (g(x) − g(σx))(H(|x|) − H(|σx|)) ≥ 0, che vuol dire g(x) = gσ_{. Dato che x e σ erano arbitrari, possiamo usare il}

lemma 5.1.7 per vedere che g `e radiale decrescente. Dato che g `e equimisu- rabile a u (essendo limite uniforme di tali funzioni), concludiamo che g = u?, dimostrando il lemma.

Lemma 5.1.9. Siano p ∈ [1, ∞] e sia u ∈ W1,p_(Rn). Detta σ una riflessione di polarizzazione, allora |∇uσ_{| e |∇u| sono equimisurabili. In particolare,}

k∇ukLp_(Rn₎= k∇uσk_Lp_(Rn₎

Dimostrazione. Dal momento che il massimo o il minimo di funzioni in W1,p_(Rn) `e ancora in W1,p<sub>(R</sub>n), la polarizzata uσ sta in W1,p<sub>(R</sub>n). Gra- zie a un classico argomento di densit`a, `e sufficiente calcolare il gradiente per funzioni lineari a tratti lontano dalle singolarit`a. Se x ∈ X+, otteniamo per

u(x) ≥ u(σx)

∇uσ_{(x) = ∇u(x), ∇u}σ_{(σx) = ∇u(σx),}

e per u(x) ≤ u(σx)

∇uσ(x) = σ∇u(σx), ∇uσ(σx) = σ∇u(x).

Se x ∈ X−, otteniamo per u(x) ≥ u(σx)

∇uσ_{(x) = σ∇u(σx), ∇u}σ_{(σx) = σ∇u(x),}

e per u(x) ≤ u(σx)

∇uσ_{(x) = ∇u(x), ∇u}σ_{(σx) = ∇u(σx).}

Quindi, posto U+ = {x : u(x) ≥ u(σx)}, U− = {x : u(x) ≤ u(σx)} e

X··= X·∩ U·, ricaviamo k∇uσkp_Lp_(Rn₎ = Z Rn |∇uσ(x)|pdx = Z X+ |∇uσ(x)|pdx + Z X− |∇uσ(x)|pdx =

Capitolo 5 5.1.2. Compattezza e disuguaglianza di Strauss = Z X₊+ |∇u(x)|p_{dx +}Z X₊− |∇u(σx)|p_{dx +}Z X+− |∇u(σx)|p_{dx +}Z X−− |∇u(x)|p_{dx =} = Z X₊+ |∇u(x)|p_{dx +}Z X₋+ |∇u(y)|p_{dy +}Z X₊− |∇u(y)|p_{dy +}Z X₋− |∇u(x)|p_{dx =} = Z Rn |∇u(x)|pdx = k∇ukp_Lp_(Rn₎.

Per concludere la sezione, visti i risultati ottenuti fino ad ora, enunciamo e dimostriamo la disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o.

Teorema 5.1.10 (Disuguaglianza di P´olya-Szeg˝o). Sia p ∈ [1, ∞] e sia u ∈ W1,p_(Rn_{). Allora u}? _{∈ W}1,p_(Rn_{) e}

k∇u?_k

Lp_(Rn₎≤ k∇uk_Lp_(Rn₎.

Dimostrazione. Per p = ∞, u `e lipschitziana, e k∇ukL∞<sub>(R</sub>n<sub>)</sub> `e la sua costante

di Lipschitz. Dal momento che la polarizzazione per il lemma 5.1.5 preserva i moduli di continuit`a, u? <sub>`e ancora lipschitziana con la stessa costante, e in</sub>

questo caso il teorema `e provato. Sia ora p ∈ [1, ∞). Allora per il lemma 5.1.8, esiste {uk}k∈N ⊂ Polu tale che

uk → u? uniformemente, kukkLp_(Rn₎ = ku?k_Lp_(Rn₎ ∀k ∈ N.

Sia B = B(0, r) la palla di centro 0 e raggio r; allora esiste una sottosucces- sione {ukh} ⊂ {uk} per cui

uk → u? in Lp(B), ∇ukh * v in L

p_(B),

e dunque per unicit`a del limite v = ∇u? <sub>in B q.o.. Per la semicontinuit`a</sub>

inferiore della norma otteniamo k∇u?_k

Lp_(B)≤ lim inf

k→∞ k∇ukkL

p_(B)= k∇uk_Lp_(B).

Mandando r → ∞ otteniamo la tesi.

5.1.2

Compattezza e disuguaglianza di Strauss

In questa sottosezione mostreremo, grazie al lemma di Strauss, un’interessan- te propriet`a delle funzioni in H1

rad(Rn), ossia le funzioni radiali in H1(Rn),

e grazie a un lemma di compattezza determineremo quando tale spazio si immerge con compattezza in Lp_(Rn) per qualche p (teorema di Lions).

Nel documento Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg e applicazioni alle PDE (pagine 110-117)