1.13 La divisione fra 2 polinomi
A differenza che per la moltiplicazione, la divisione fra polinomi non `e un’estensione del procedi-mento visto per la divisione fra un polinomio ed un monomio, anzi il modo di procedere `e com-pletamente diverso. Premettiamo che tratteremo soltanto divisioni fra polinomi aventi una sola lettera, in quanto la divisione fra polinomi con pi`u lettere `e decisamente pi`u difficile. Consideriamo inizialmente il seguente:
Esempio Effettuare la divisione 21 : 5
Il risultato (cio`e il quoziente) `e ovviamente 4 con resto 1.
Se volessimo effettuare la riprova (cio`e la verifica della correttezza della divisione) dovremmo mol-tiplicare il quoziente (4) per il divisore (5) e al risultato aggiungere il resto (1). Se tale operazione ha come risultato il dividendo (21) la divisione `e esatta. Vediamolo:
4 · 5 + 1 = 20 + 1 = 21 quindi la divisione `e corretta.
L’esempio ci ricorda come effettuare la verifica di una divisione:
Regola per verificare la correttezza di una divisione. Una divisione `e esatta se moltiplicando il quoziente per il divisore e sommando il resto, si ottiene il dividendo.
Torniamo adesso ai polinomi dando la seguente:
Regola per la divisibilit`a fra 2 polinomi. Un polinomio (dividendo) pu`o essere diviso per un polinomio (divisore) se e soltanto se il grado del polinomio dividendo non `e minore del grado del polinomio divisore.
Capiamo adesso come si esegue una divisione fra polinomi tramite il seguente:
Esempio
. Effettuare la divisione (3x3− 2x2+ x − 3) : (x2+ 2x − 1)
Innanzitutto osserviamo che il grado del dividendo `e 3 mentre quello del divisore `e 2, quindi la divisione pu`o essere effettuata. Mettiamo in tabella la divisione:
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1
Adesso consideriamo il monomio di grado maggiore del dividendo (3x3) e dividiamolo per il mono-mio di grado maggiore del divisore (x2). Il risultato `e 3x che mettiamo sotto il divisore:
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 3x
Adesso moltiplichiamo 3x per il primo monomio del divisore (x2), otteniamo +3x3, gli cambiamo il segno (ottenendo −3x3) e lo scriviamo sotto il monomio di grado 3 del dividendo. Ripetiamo il procedimento moltiplicando 3x per il secondo monomio del divisore (2x). Otteniamo +6x2, gli cambiamo il segno (−6x2) e lo scriviamo sotto il monomio di grado 2 del dividendo. E infine si moltiplica 3x per il terzo monomio del divisore (−1), otteniamo −3x, gli cambiamo il segno (otte-nendo +3x) e lo scriviamo sotto il monomio di grado 1 del dividendo:
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 −3x3 −6x2 +3x 3x
Adesso effettuiamo la somma:
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 −3x3 −6x2 +3x 3x
// −8x2 +4x
Abbassiamo il termine del divisore −3: 3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 −3x3 −6x2 +3x 3x
// −8x2 +4x −3
Abbiamo ottenuto il polinomio −8x2+ 4x − 3. Dal momento che `e di grado non minore del divisore dobbiamo continuare procedendo come in precedenza: si divide −8x2 per x2 ottenendo −8 che scriviamo accanto al termine trovato in precedenza (3x):
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 −3x3 −6x2 +3x 3x −8
// −8x2 +4x −3
Nuovamente moltiplichiamo il termine trovato (−8) per tutti i monomi del divisore. Cambiamo tutti i segni e i monomi ottenuti si mettono ordinatamente (cio`e ciascuno sotto il suo grado) sotto il polinomio −8x2+ 4x − 3:
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 −3x3 −6x2 +3x 3x −8
// −8x2 +4x −3 +8x2 +16x −8
Effettuiamo la somma e otteniamo:
3x3 −2x2 +x −3 x2 +2x −1 −3x3 −6x2 +3x 3x −8
// −8x2 +4x −3 +8x2 +16x −8 // +20x −11
Il polinomio 20x − 11 `e di grado minore del grado del divisore e quindi il procedimento termina. Il risultato della divisione (il polinomio quoziente) `e 3x − 8, ed il resto `e 20x − 11.
Come abbiamo visto nell’esempio numerico, per effettuare la verifica bisogna moltiplicare il quo-ziente per il divisore e al risultato sommare il resto. Se al termine abbiamo ottenuto il dividendo la divisione `e stata svolta correttamente. Verifichiamolo:
(3x − 8) | {z } quoziente · (x2+ 2x − 1) | {z } divisore + (20x − 11) | {z } resto = 3x3+6x2−3x−8x2−16x+8+20x−11 = 3x3− 2x2+ x − 3 | {z } dividendo quindi la divisione `e corretta.
L’esempio ci suggerisce 2 importanti osservazioni:
Osservazione sul grado del quoziente. Il grado del polinomio quoziente `e uguale alla differenza fra il grado del polinomio dividendo e il grado del polinomio divisore.
Osservazione sul grado del resto. Il grado del polinomio resto `e sempre minore del grado del polinomio divisore.
Per proseguire sono importanti le due seguenti definizioni:
Definizione di polinomio ordinato. Un polinomio si dice ordinato se i monomi sono disposti in modo che gli esponenti siano in ordine decrescente.
Esempi
. 3x4− 12x2+ 3x + 5 `e ordinato perch´e gli esponenti (4; 2; 1; 0) sono in ordine decrescente. . 3x4+3x+5−12x2 non `e ordinato perch´e gli esponenti (4; 1; 0; 2) non sono in ordine decrescente.
Definizione di polinomio completo. Un polinomio si dice completo se sono presenti tutti gli esponenti dal grado 0 al grado massimo.
Esempi
. 3x4− 12x2+ 3x + 5 non `e completo perch´e fra l’esponente massimo (4) e 0 manca l’esponente 3. . 3x4+ 3x3+ 5x − 12x2 non `e completo perch´e fra l’esponente massimo (4) e 0 manca l’esponente 0.
. 3x + 5 − 12x2 `e completo perch´e sono presenti tutti gli esponenti fra l’esponente massimo (2) e 0.
Nell’esempio visto di divisione fra polinomi, sia il dividendo che il divisore erano ordinati e completi. Per effettuare una divisione fra polinomi non ordinati o non completi bisogna seguire la seguente: Regola per la divisione fra polinomi non ordinati o non completi. Per effettuare una divisione fra 2 polinomi essi devono essere messi in tabella ordinati. Nel caso uno dei due (o entrambi) non siano completi bisogna mettere, al posto del grado mancante, uno 0.
Esempio
. (6x2+ 2x − 4x4) : (2x2+ 4x − 4)
Si osserva che il dividendo non `e ordinato, e quindi bisogna riscrivere la divisione con i polinomi ordinati:
(−4x4+ 6x2+ 2x) : (2x2+ 4x − 4).
Inoltre il polinomio non `e completo mancando l’esponente 3 e l’esponente 0 (il termine noto). In tabella dobbiamo mettere degli 0 in corrispondenza di queste “mancanze”:
−4x4 0 +6x2 +2x 0 2x2 +4x −4
Adesso possiamo procedere come nell’esempio precedente svolgendo la divisione fra il monomio di grado massimo del dividendo (−4x4) e quello di grado massimo del divisore (2x2). Otteniamo −2x2 che va posto nello spazio destinato al quoziente
−4x4 0 +6x2 +2x 0 2x2 +4x −4 −2x2
Adesso moltiplichiamo −2x2 per tutti i monomi del divisore, ricordando di cambiare il segno, e disponiamo i monomi ottenuti in modo ordinato sotto i relativi termini del dividendo e effettuiamo la somma:
−4x4 0 +6x2 +2x 0 2x2 +4x −4 +4x2 +8x3 −8x2 −2x2
// +8x3 −2x2
Abbassiamo il +2x ottenendo il polinomio +8x3− 2x2+ 2x. Essendo di grado non minore del di-visore dobbiamo continuare: dividiamo +8x3 per 2x2 ottenendo 4x che mettiamo accanto a −2x2. Moltiplichiamo poi 4x per tutti i monomi del divisore, ricordando di cambiare il segno, e disponia-mo i disponia-monomi ottenuti in disponia-modo ordinato sotto i relativi termini del dividendo e effettuiadisponia-mo la somma:
−4x4 0 +6x2 +2x 0 2x2 +4x −4 +4x2 +8x3 −8x2 −2x2 +4x
// +8x3 −2x2 +2x −8x3 −16x2 +16x
// −18x2 +18x
Abbassiamo lo 0 ottenendo il polinomio −18x2+ 18x. Essendo di grado non minore del divisore dobbiamo continuare: dividiamo −18x2 per 2x2 ottenendo −9 che mettiamo accanto a −2x2+ 4x. Moltiplichiamo poi −9 per tutti i monomi del divisore, ricordando di cambiare il segno, e disponia-mo i disponia-monomi ottenuti in disponia-modo ordinato sotto i relativi termini del dividendo e effettuiadisponia-mo la somma:
−4x4 0 +6x2 +2x 0 2x2 +4x −4 +4x2 +8x3 −8x2 −2x2 +4x −9 // +8x3 −2x2 +2x −8x3 −16x2 +16x // −18x2 +18x 0 +18x2 +36x −36 // 54x −36
Il polinomio 54x − 36 `e di grado minore del grado del divisore e quindi il procedimento termina. Il risultato della divisione (il polinomio quoziente) `e −2x2+ 4x − 9, ed il resto `e 54x − 36.
Osserviamo che il grado del quoziente `e uguale alla differenza fra il grado del dividendo e quello del divisore. Inoltre osserviamo che il grado del resto (1) `e minore del grado del divisore (che `e 2). Se volessimo effettuare la verifica dovremmo moltiplicare il quoziente (−2x2+ 4x − 9) per il divisore (2x2 + 4x − 4) e al risultato sommare il resto (54x − 36). Se al termine otteniamo il dividendo
(−4x4+ 6x2+ 2x) la divisione `e corretta.