Sia R un dominio di integrità di caratteristica zero (a) Z è definibile senza parametri in (R[X], +, ·, R), cioè nella struttura

ottenuta espandendo l’anello dei polinomi con un predicato unario per gli elementi di R.

(b) Se R è un campo, allora Z è definibile senza parametri in (R[X], +, ·). Dimostrazione. È sufficiente costruire una formula ϕ_{N(x) che definisce N} per concludere che Z è definibile mediante la formula ϕN(x) ∨ ϕN(−x). Il

predicato di divisibilità x | y è definibile nel linguaggio degli anelli mediante la formula ∃z (x · z = y), quindi può essere utilizzato senza problemi.

(a) Usando il fatto che R[X] è un dominio a fattorizzazione unica, dati due polinomi non costanti f e g tali che f | g, possiamo associare il massimo naturale n tale che (f + k) | g per ogni k ≤ n. Ogni n ∈ N può essere ottenuto

in questo modo — basta prendere f = X e g = X · (X + 1) · · · (X + n). Consideriamo la formula ϕ(x) ∃u, v¬R(u) ∧ v 6= 0 ∧ u | v ∧ ∀y (R(y) ∧ (u + y) | v) ⇒ ((u + y + 1) | v ∨ y = x) .

Ogni n ∈ N soddisfa ϕ(x). Viceversa, supponiamo che un elemento a ∈ R[X] soddisfi ϕ(x): vogliamo verificare che a ∈ N. Fissiamo u, v ∈ R[X] che testimoniano ϕ per a: se per assurdo a /_{∈ N, allora (u + n) | v per ogni n,} contro l’unicità della fattorizzazione unica.

(b) È sufficiente osservare che R è definito in R[X] da x = 0 ∨ x | 1, e poi

applicare la parte (a). _

Quindi Z è definibile in R[X] se R è definibile in R[X]. Mediante un ragionamento più elaborato si dimostra che Z è definibile in Z[X] [Rob51]. 5.C.2. Ideali. Formulare nel linguaggio degli anelli delle proprietà che coin- volgono gli ideali presenta lo stesso tipo di difficoltà che abbiamo incontrato nel formulare nel linguaggio dei gruppi la nozione di sottogruppo. Anche in questo caso si considera il linguaggio degli anelli con un ulteriore predicato unario I e si aggiunge come assioma l’enunciato

(5.1) ∃xI(x) ∧ ¬I(1) ∧ ∀x, y, z (I(x) ∧ I(y) ⇒ I(x − y) ∧ I(x · z) ∧ I(z · x)) che afferma l’insieme di verità di I(x) è un ideale proprio (bilatero). Le nozioni di ideale primo e massimale sono formulate come

∀x, y (I(x · y) ⇒ I(x) ∨ I(y)) e

∀x (¬I(x) ⇒ ∃y I(x · y − 1))

rispettivamente. Le nozioni che coinvolgono quantificazioni su ideali arbitrari non sono, in generale, nozioni del prim’ordine. Per esempio, il radicale di un ideale a di un anello commutativo unitario R è l’ideale

√

a = {x ∈ R | ∃n ∈ N (xn∈ a)} .

Quando a = {0_R} è l’ideale nullo si ottiene il nilradicale Nil(R) di R. Il nilradicale non è, in generale, un sottoinsieme definibile di R, visto che l’espressione che lo definisce è una pseudo-formula. Similmente, anche quando a è definibile, può capitare che √a non sia definibile. Una formulazione equivalente1 è data da [AM69, Prop. 1.8, Capitolo 1]

√

a =\{p | p ideale primo e p ⊇ a} ,

ma in questo caso la definizione utilizza una quantificazione su sottoinsiemi. Il radicale di Jacobson

Jac(R) =\{m | m ideale massimale}

è invece definibile, dato che è l’insieme degli x tali che 1 − x · y è invertibile, per ogni y [AM69, Prop. 1.9, Capitolo 1], cioè è l’insieme di verità della formula

∀y∃z ((1 − x · y) · z = 1) .

5.C.3. Semianelli. Talvolta è necessario lavorare con strutture più semplici degli anelli.

Definizione 5.5. Un semianello è una struttura algebrica (R, +, ·, 0) tale che (R, +, 0) è un monoide commutativo, (R, ·) è un semigruppo, l’operazione · è distributiva rispetto a + e 0 · x = x · 0 = 0 per tutti gli x ∈ R.

Se c’è un elemento 1 ∈ R che è elemento neutro per · parleremo di semianello unitario, e se l’operazione · è commutativa parleremo di semianello commutativo.

Ogni anello è un semianello. Esempi di semianelli che non sono anelli sono

• N con le operazioni usuali,

• R ∪ {+∞} con le operazioni di somma x ⊕ y def= min x, y e prodotto

x ⊗ y def= x + y, con l’ovvia convenzione che x + y = +∞ quando almeno uno tra x e y è +∞,2

• l’insieme degli ideali di un anello,

• l’insieme dei polinomi R[X] a coefficienti in un semianello R,

• una famiglia di insiemi contenente l’insieme vuoto e chiusa per unioni e intersezioni, o più in generale, un reticolo distributivo con minimo (si veda la Sezione 8.C).

Il linguaggio per i semianelli è ottenuto rimuovendo il simbolo − dal linguaggio L_anelli.

5.D. Assiomatizzabilità. Ricordiamo che una collezioneC di L-strutture si dice assiomatizzabile (al prim’ordine) se è della forma Mod(Σ) per qualche insieme Σ di L-enunciati. Se Σ può essere preso finito diremo che C è finitamente assiomatizzabile (al prim’ordine). Equivalentemente: una collezione C di L-strutture è finitamente assiomatizzabile se e solo se è la collezione di tutti i modelli di un singolo enunciato σ, cioè C = Mod(σ). Per quanto visto, i gruppi, gli anelli, i campi, sono finitamente assiomatizzabili.

2Questo semianello è di centrale importanza in un’area della matematica nota come geometria tropicale e per questo motivo R ∪ {+∞} è noto come semianello tropicale.

Aggiungendo a ciascuno di questi sistemi di assiomi tutti gli enunciati ε≥n

definiti a pagina 15 otteniamo l’assiomatizzabilità dei gruppi infiniti, degli anelli infiniti, dei campi infiniti. Per il Teorema 3.10 nessuna di queste classi di strutture è finitamente assiomatizzabile, quindi per il Teorema 3.33 le classi complementari (i gruppi finiti, gli anelli finiti, i campi finiti) non sono assiomatizzabili al prim’ordine (Esercizio 5.29).

Nelle prossime pagine (così come nel caso della distributività infinitaria nei reticoli — pagina 387 del Capitolo V) vedremo ulteriori esempi di classi assiomatizzabili al prim’ordine. Per gli esempi più sofisticati ricorreremo a qualche risultato non banale di algebra.

5.D.1. Anelli locali. Un anello commutativo unitario in cui 0 6= 1 e che ha un unico ideale massimale si dice anello locale. Questa nozione non sembre- rebbe essere formalizzabile nel linguaggio ampliato della Sezione 5.C.2, dato che stiamo quantificando su sottoinsiemi. Tuttavia un anello commutativo unitario R in cui 0 6= 1 è locale se e solo se x o 1 + x è invertibile per ogni

x ∈ R [AM69, Prop. 1.6, Capitolo 1]. Quindi gli anelli locali sono finita-

mente assiomatizzabili: basta prendere gli assiomi per gli anelli commutativi unitari Σ_{anelli c.}(vedi pagina 40) con gli ulteriori assiomi (3.12a) a pagina 38 e

∀x∃y (x · y = 1 ∨ (1 + x) · y = 1) .

5.D.2. Anelli regolari di von Neumann. Un anello con unità è regolare di von Neumann se ∀x ∃y (x = xyx), quindi si tratta di una classe as- siomatizzabile. Esempi di anelli regolari di von Neumann sono: i corpi, l’anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale su un corpo, gli anelli booleani (pag. 174). Ci sono molte formulazioni equivalenti di questo tipo di anelli [Kap95, Goo91] e alcune di queste non sono formulate al prim’ordine. Per esempio, R è regolare di von Neumann se e solo se ogni suo ideale sinistro finitamente generato è generato da un elemento idempotente. Un’altra for- mulazione equivalente nel lessico dell’algebra omologica è che ogni R-modulo sia piatto, e per questo motivo gli anelli regolari di von Neumann sono anche noti come anelli assolutamente piatti.

5.D.3. Anelli Noetheriani. Un anello commutativo unitario in cui 0 6= 1 si dice Noetheriano se ogni successione ascendente di ideali propri

J0 ⊆ J1 ⊆ J2 ⊆ . . .

si stabilizza, cioè Jn= Jn+1 per ogni n sufficientemente grande. Equivalen-

temente: un anello è Noetheriano se ogni suo ideale proprio è finitamente generato. Gli anelli Noetheriani non sono assiomatizzabili al prim’ordine, ma gli anelli che non sono Noetheriani lo sono, a patto di aggiungere al linguaggio degli anelli un predicato unario I. Infatti basta assumere Σ_{anelli c.} più l’enunciato (5.1) che certifica che l’insieme definito da I è un ideale, più

tutti gli enunciati ∀x₁, . . . , xn

 V

1≤i≤nI(xi) ⇒ ∃y (I(y) ∧ ∀z1, . . . , zn(Pni=1zi· xi 6= y))



per ogni n ≥ 1.

5.D.4. Campi algebricamente chiusi e di caratteristica fissata. I campi di caratteristica p sono finitamente assiomatizzabili — basta aggiungere l’enun- ciato p1 = 0 a Σ_campi, il sistema di assiomi per i campi (vedi pag. 40).

Se aggiungiamo a Σ_campi tutti gli enunciati n1 6= 0 per ogni n > 0, otteniamo un sistema di assiomi per i campi di caratteristica 0.

Per il Teorema 3.10 i campi di caratteristica 0 non sono finitamente assio- matizzabili e quindi i campi di caratteristica finita non sono assiomatizzabili (Esercizio 5.29).

Un campo k si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio non costante f ∈ k[X] ha una radice in k (Sezione 5.E). Una Lanelli-1-struttura

è un campo algebricamente chiuso se soddisfa Σ_campi e tutti gli enunciati ∀a₀, . . . , an(an6= 0 ⇒ ∃x (an· xn+ · · · + a1· x + a0 = 0))

per ogni n > 0. La teoria dei campi algebricamente chiusi è denotata da ACF, mentre ACF₀ e ACF_p sono le teorie dei campi algebricamente chiusi di caratteristica fissata. Per il Teorema 3.10 i campi algebricamente chiusi non sono finitamente assiomatizzabili (Esercizio 5.29).

5.D.5. Campi ordinati. Come abbiamo detto a pagina 40 un campo ordinato è una L_{anelli o.}-struttura che soddisfa Σ_{campi o.} cioè gli assiomi per i campi e la compatibilità dell’ordinamento con le operazioni. Equivalentemente (Eser- cizio 5.35) è una struttura per il linguaggio che estende L_anelli-1 mediante un predicato unario P e che soddisfa

∀x (P (x) ·∨ P (−x) ·∨ x = 0)

∀x, y (P (x) ∧ P (y) ⇒ P (x + y) ∧ P (x · y))

In altre parole: un campo ordinato è un campo F con un sottoinsieme privilegiato P , detto cono degli elementi positivi, che è chiuso per somma e prodotto, e tale che F è ripartito nei tre insiemi disgiunti P , −P e {0}.

Un campo ordinato si dice archimedeo se soddisfa il principio di Archimede ∀x∃n ∈ N 0 < x ⇒ x < 1 + · · · + 1 | {z } n
.

Questa non è una formula del prim’ordine, ma soltanto una pseudo-formula. L’esempio tipico di un campo ordinato archimedeo è R e nella Sezione 31 costruiremo campi non archimedei elementarmente equivalenti ad R. Quindi la proprietà di essere archimedeo, non è esprimibile al prim’ordine.

Definizione 5.6. Un campo ordinato si dice reale chiuso se ogni elemento