Duration

La duration q, 6 rappresenta la vita media residua del titolo, espressa in anni e giorni. Per come è definita, la duration si configura come un “baricentro finanziario”, ovvero rappresenta una media degli istanti di liquidazione dei flussi monetari, ponderata dal valore attuale dei flussi stessi. La duration è al contempo un indice temporale del flusso di pagamenti di un titolo e un indice della sensibilità del suo valore di mercato alle variazioni di tasso. Consideriamo un titolo con un flusso di pagamenti 6 = r6₇, 6₈, … , 6₉s in corrispondenza delle date r₇, ₈, … , ₉s. Data la struttura dei tassi di interesse a pronti ., ₄, 5 = 1, … , , il prezzo di mercato del titolo al tempo  è pari a

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, 6 = : 641 + ., 4$ ?$" 9

4;7

La duration del titolo al tempo  è

q, 6 =∑ 94;7 4− 6_{, 6}41 + ., 4$ ?$"

q, 6 può essere interpretata come la media delle date in cui il titolo consegna denaro rispetto a , date ponderate per il valore attuale dei flussi di denaro. Alla stessa maniera, la duration del secondo ordine è definita come

q8_{, 6 =}∑ 94;7 4− 8641 + ., 4$ ?$"

, 6 Possiamo definire lo yield to maturity del titolo come segue:

, 6 = : 64#$% ?$" 9

4;7

 rende il prezzo ad oggi del titolo uguale al valore attuale del flusso di pagamenti e quindi è il tasso interno di rendimento secondo la legge di capitalizzazione esponenziale e, nel caso di uno

zero coupon bond, corrisponde al tasso spot di capitalizzazione esponenziale. Il valore del titolo

può essere anche scritto utilizzando il tasso annuale implicito . tale che  = ln1 + .. Nel caso di struttura dei tassi di interesse piatta13,  e . coincidono con lo spot rate in capitalizzazione esponenziale e composta implicito nei prezzi degli zero coupon bond osservati nel mercato. Considerando lo yield to maturity del titolo possiamo definire la duration di Macaulay

q, 6 =∑ 94;7 4− 6_{, 6}4#$% ?$"

e la duration del secondo ordine come

q8_{, 6 =}∑ 94;7 4− 864#$% ?$"

, 6

13

39

1.5.1 Duration e sensibilità del valore alle condizioni di tasso

La duration di Macaulay e la duration del secondo ordine di un titolo sono importanti in quanto misurano la sensibilità del suo valore di mercato a variazioni infinitesime dello yield to maturity del titolo o del tasso equivalente in capitalizzazione composta e, nel caso di struttura dei tassi di interesse piatta, ai tassi di interesse di mercato. La derivata del prezzo del titolo rispetto allo yield

to maturity è data dalla duration moltiplicata per il prezzo del titolo cambiata di segno:

u, 6

u = − :4− 64#$% ?$"

9 4;7

= −q, 6, 6

La duration di un titolo cambiata di segno è quindi la derivata del prezzo del titolo rispetto allo

yield to maturity del titolo rapportata al suo valore. Posto  = ln1 + . abbiamo che

u, 6

u. = −1 + . q, 6, 61

7

7DPq, 6, che è pari a meno il rapporto tra la derivata prima del valore di mercato di 6 rispetto

ad . e il valore di mercato, è detta modified duration. Poiché la duration di un titolo con cedole positive è positiva abbiamo che una variazione positiva del tasso di interesse conduce ad una variazione negativa nel valore del titolo: il prezzo dei titoli obbligazionari si muove inversamente allo yield to maturity. È facile verificare anche che la derivata seconda del prezzo del titolo rispetto allo yield to maturity è data dalla duration del secondo ordine moltiplicata per il prezzo del titolo:

u8_{, 6}

u8 = :4− 864#$% ?$" 9

4;7

= q8_{, 6, 6}

La duration del secondo ordine è quindi uguale alla derivata seconda rapportata al valore di mercato del titolo. La convexity di un titolo è definita come la derivata seconda del valore di mercato rispetto ad . rapportata al valore di mercato del titolo:

v, 6 =u8, 6_{u8 , 6 =}1 ∑ 94;7 4− _∑ 4₆−  + 1641 + .$ ?$8D"

41 + .$ ?D" 9

40

Nel caso di poste positive sia la duration del secondo ordine sia la convexity sono positive. Le variazioni del prezzo di un titolo del secondo ordine sono quindi sempre positive. È possibile verificare che la convexity di un coupon bond è decrescente nella cedola e nello yield to maturity, ed è crescente nella maturity.

1.5.2 Principi di immunizzazione

Alla luce dei risultati riportati, la duration e la convexity ci permettono di calcolare in via approssimata la variazione del valore di mercato di un portafoglio di bond al variare dei tassi di interesse nel caso di struttura piatta con variazioni di medesima intensità su tutta la curva. Ipotizziamo che in  = 0 un portafoglio 6 abbia un valore di mercato pari a 0, 6, che la duration sia pari a q0, 6 e che la convexity sia pari a v0, 6, una piccola variazione ∆. del tasso . induce una variazione del valore di mercato del titolo ∆0, 6 che possiamo approssimare linearmente come

∆0, 6 ≈ −_{1 + . q0, 60, 6∆.}1

Utilizzando anche la convexity giungiamo ad una approssimazione lineare quadratica:

∆0, 6 ≅ −_{1 + . q0, 60, 6∆. +}1 1_{2 0, 6v0, 6∆.}8

Se consideriamo invece una variazione ∆ dello yield to maturity abbiamo

∆0, 6 ≅ −q0, 60, 6∆ +1_{2 0, 6q}8_{0, 6∆}8

Alla luce di quanto appena stabilito la relazione tra prezzo di un bond e tasso di interesse è negativa con concavità verso l’alto: per bassi (elevati) tassi il prezzo del bond aumenta (diminuisce) in misura significativa (limitata) al diminuire (crescere) del tasso di interesse. Nel caso di bond con opzionalità la relazione tra prezzo e tasso subisce delle variazioni in funzione del tipo di opzione: per tassi di rendimento inferiori (superiori) ad un certo livello il valore di un callable (putable) bond ha un cap (floor) in corrispondenza dello strike della Call (Put) che limita il prezzo del bond verso l’alto (il basso). Il computo della duration e della convexity (o duration del secondo ordine) permette di valutare l’effetto che una variazione delle condizioni di mercato avrebbe sul valore

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degli asset in portafoglio. Un esercizio interessante è quello di immunizzare il portafoglio eguagliando gli effetti sull’attivo e sul passivo. Conveniamo di indicare col pedice T quanto afferisce al passivo e coi pedici U, V e W quanto afferisce all’attivo; un portafoglio neutrale rispetto alla duration e alla convexity è ottenuto risolvendo il seguente sistema:

z { |}~~0 + }0+}ll0 = }€€0 }~~0_{1 + .}q~ ~+ }0 q 1 + . + }ll0 ql 1 + .l = }€€0 q€ 1 + .€ }~~0v~+ }0v+}ll0vl = }€€0v€ f

La teoria dell’immunizzazione si occupa di determinare la composizione del portafoglio dell’attivo e del passivo in modo tale che non si registri una perdita a seguito di una variazione delle condizioni di tasso. Dato un flusso in attivo 6₇, 6₈, … , 6₉ ed un flusso ₇, ₈, … , ₉ nel passivo su un asse dei tempi ₇, ₈, … , ₉, ipotizziamo che in corrispondenza dei prezzi , ₄ degli zero

coupon bond i due flussi siano in equilibrio: posto ‚, 6 = ∑9_4;76₄, ₄ e ‚,  = ∑94;74, 4, abbiamo

‚, 6 = ‚, 

Cosa si verifica se passato un tempo infinitesimo  + ƒ abbiamo una variazione „ indeterminata su tutta la curva dei tassi forward  + ƒ, , = , , + „, ∀, ≥  (shift parallelo)? Diremo che la posizione è immunizzata se ‚ + ƒ, 6 ≥ ‚ + ƒ, .

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