2.2 Modelli di portafoglio con Copula
2.2.4 Dynamic D-vine model (Almeida, Czado, and Manner,
ner, 2016)
Questo lavoro `e stato uno dei primi ad utilizzare le copulae al fine di analiz- zare l’eventuale presenza di una struttura di dipendenza variabile nel tempo attraverso su un numero elevato di variabili.
Gli autori, nel loro studio, sviluppano due modelli diversi combinando il meto- do del pair-copula construction nel primo caso con una copula autoregressiva stocastica (SCAR, stochastic autoregressive copula), mentre nel secondo con un modello GAS (Generalized Autoregressive Score).
Per semplicit`a, prendiamo in considerazione due serie storiche (yi,t, yj,t) con
t = 1, . . . T la cui funzione di distribuzione `e data da:
con uit, ujt ∈ [0, 1] che rappresentano i valori trasformati delle variabili yit ed
yjt attraverso l’utilizzo della loro funzione di distribuzione inversa e θti,j ∈ Θ
indica il parametro time-varying della copula C.
Nell’approccio SCAR (Hafner and Manner (2012) e Almeida and Czado (2012)) il parametro della copula segue un processo autoregressivo di ordine (1) dato da
θijt = µij + φij(θ ij
t−1− µij) + σijzij,t,
dove zij,t rappresenta i termini di innovazioni distribuiti secondo una normale
standardizzata. Ulteriori assunti sono |φij| < 1 e σij > 0 indispensabili ai fini
della stazionariet`a e dell’identificazione del modello.
La specificazione della dinamicit`a studiata attraverso l’utilizzo di un mo- dello GAS (Creal, Koopman, and Lucas (2013)) presenta la seguente formula- zione:
θtij = ωij + φijθt−1ij + δijsijt−1, (2.2.4.1)
dove sijt costituisce il vettore dello score al quale viene applicato un fattore di scala
sijt = Sij,t▽ij,t,
in cui la funzione score `e pari a
▽ij,t =
∂lnc(yi,t, yj,t; ωij, Ft−1)
∂θijt
dove ωij = (ωij, φij, δij). Sij,tindica una matrice di scala ed `e data dalla radice
quadrata dell’inversa della matrice di informazione.
Combinando la formulazione D-vine con i modelli dinamici appena descritti, la funzione di densit`a della copula multivariata pu`o essere riscritta come
c(y1, . . . , yn; θt) := n−1 ∏ j=1 n−j ∏ i=1 cl(i,j)(F (yi|yi+1:i+j−1; θ l(i,j) t ), F (yi+j|yi+1:i+j−1); θ l(i,j) t ), (2.2.4.2)
dove l(i, j) = i, i+j|i+1 : i+j−1 e θt= {θ l(i,j
t ; j = 1, . . . , n−1, i = 1, . . . , n−1}
`e il vettore dei parametri time-varying della copula. La tipologia di copula corrispondente a l(i, j) pu`o essere scelta in maniera del tutto indipendente da altri indici l(r, s).
La stima del modello D-vine-GAS viene effettuata con il metodo di massima verosimiglianza attraverso la procedura a due stadi descritta in precedenza. In questo caso i parametri delle copulae bivariate vengono ricavati utilizzando la formulazione (2.2.4.1) per poi essere inseriti nell’equazione (2.1.4.3) per il calcolo delle pseudo osservazioni da utilizzare nei tree successivi.
La stima del modello SCAR-DVine risulta essere pi`u difficoltosa rispetto alla precende. L’interesse principale si concentra sulla stima del vettore dei parametri ω := (µ, φ, σ). Poniamo Θ = {θt}Tt−1. La funzione di verosimi-
glianza del vettore dei parametri ω pu`o essere ottenuta integrando la seguente funzione: L(yi, yj; ω) = ∫ T ∏ t=1 f (yi,t, yj,t, θ|θt−1, ω)dΘ
La risoluzione di questo integrale viene effettuata attraverso delle simulazioni di Monte Carlo utilizzando la tecnica efficient importance sampling introdotta da Richard and Zhang (2007).
Le performance dei due modelli vengono analizzate all’interno di due diversi dataset. Il primo `e composto dalla serie dei rendimenti settimanali dell’indice MSCI per gli Stati Uniti, Regno Unito, Europa, Canada e Giappone per il periodo 7/Gen/1971 - 10/Ott/2013. Le tipologie di copulae utilizzate utilizzate sono la Gaussiana, la Gumbel e la Clayton con le rispettive versioni ruotate e time-varying.
La scelta delle copulae all’interno dei primi tree `e ricaduta ampiamente sulle versioni time-varying sia per il modello SCAR-DVine sia per il GAS-DVINE. La reale utilit`a dei due modelli viene esaminata attraverso il confronto con il modello DCC con copula Gaussiana ed un modello con copula R-vine (Tabella
1.4)
Tabella 2.2.1: In-and out-of-sample fit
Model LL BIC Pred. LL # param.
SCAR-DVine 2645.39 -5153.96 515.48 18
GAS-DVine 2912.41 -5093.15 464.43 26
DCC 2030.75 -3970.29 479.50 12
RVine (Constant) 2089.42 -4057.22 404.74 16
La tabella presenta la bont`a di adattamento in-sample e out-of sample dei modelli analizzati in termini di log-verosimiglianza (LL), BIC e log- verosimiglianza prevista (Pred. LL). Le colonne LL e BIC coprono il perio- do in-sample dal 07/Gen/1971 al 30/Giu/2009. Pred. LL viene calcolata per il periodo out-of-sample dal 6/Lug/2009 al 10/Ott/2013. L’ultima colonna indica il numero di parametri di ogni modello.
Dalla tabella 1.4 si nota subito che, nel porzione in-sample del campione, i due modelli analizzati raggiungono dei risultati decisamente migliori rispetto al modello DCC ed R-Vine. Nel porzione out-of-sample, invece, il DCC ottiene delle buone performance, ma il modello SCAR risulta ancora essere il migliore Il secondo dataset `e costituito dalle serie dei rendimenti giornalieri di 29 asset quotati nel DAX30 nel periodo dal 1/Gen/2008 al 31/Dic/2013. I primi 4 anni rappresentano il periodo in-sample mentre gli anni 2012 e 2013 sono utilizzati per valutare le previsioni.
A differenza di quanto visto precedentemente, in questo dataset il modello con copula RVine ottiene degli ottimi risultati raggiungendo il valore pi`u elevato di log-verosimiglianza ma a causa dell’elevato numero di parametri al suo interno il criterio informativo BIC risulta essere pi`u alto rispetto al modello SCAR- DVine. I due modelli rimanenti ottengono risultati decisamente peggiori.
Lo studio appena riportato mette in luce la necessit`a di modelli che pren- dono in considerazione una qualche dinamica temporale dei parametri di di- pendenza.
Tabella 2.2.2: In-and out-of-sample fit
Model LL BIC Pred. LL # param.
SCAR-DVine 10195.17 -18986.86 5567.36 203
GAS-DVine 9200.46 -17294.72 4378.58 160
DCC 9984.34 -17147.47 4513.32 408
RVine (Constant) 10587.76 -18368.54 4128.80 406
La tabella presenta la bont`a di adattamento in-sample e out-of sample dei modelli analizzati in termini di log-verosimiglianza (LL), BIC e log- verosimiglianza prevista (Pred. LL). Le colonne LL e BIC coprono il periodo in-sample dal 01/Gen/2008 al 31/Dic/2011. Pred.LL viene calcolata per il pe- riodo out-of-sample dal 1/Gen/2012 al 31/Dic/2013. L’ultima colonna indica il numero di parametri di ogni modello.