Effetti sulla fase e sull’ampiezza

La fase dell’onda si ottiene da dφ du ^{= ηµν} ˜ k^(0)µ∂^˜νφ = −˜k(1)0+ ni_k˜(1)i k  = (Φ + Ψ) , (4.23)

dove abbiamo derivato lungo la geodetica imperturbata. Integrando, con φ_e = 0, la (4.23) diventa

φ(u) = Z u

ue

du⁰ (Φ + Ψ) (u⁰), (4.24)

che è l’effetto Shapiro comunemente associato alla propagazione dei fotoni [7]. L’ampiezza dell’onda si ottiene da

d du^{ln(A) = −} 1 2^∇˜α ˜ k^α. (4.25)

Sia

A = A₀(1 + ξ),

con ξ dello stesso ordine di Φ e Ψ. Allora l’equazione (4.25), esplicitando la derivata covariante e fermandoci al primo ordine nelle perturbazioni, diventa

−2^dξ du ⁼



∂₀^˜k⁽¹⁾⁰+ ∂_i^˜k_k⁽¹⁾ⁱ+ ∂_i^˜k_⊥⁽¹⁾ⁱ+ ˜Γ^α_αβ^˜k^(0)β. (4.26) I vari termini al primo ordine si scrivono come

∂0˜_k(1)0= ∂0(−2Φ + IiSW) , ∂_i^˜k_k⁽¹⁾ⁱ= ^d du^{(Ψ − Φ + IiSW) − ∂0(Ψ − Φ + IiSW) ,} ∂_i^˜k_⊥⁽¹⁾ⁱ= − ⊥^ij Z u ue du⁰ ∂_i∂_j(Φ + Ψ) (u⁰), ˜ Γ^(1)α_αβk^˜(0)β = ^d du^{(Φ − 3Ψ) .} Sommando tutto, la (4.26) diventa

−2^dξ du ^{= −∂0(Φ + Ψ) −} d du^{(2Ψ − IiSW) − ⊥} ij Z u ue du⁰ ∂_i∂_j(Φ + Ψ) (u⁰), e, integrando, ξ(u) = Ψ|^u_ue+¹ 2 ^⊥ ij Z u ue du⁰⁰ Z u00 ue du⁰ ∂i∂j(Φ + Ψ) (u⁰). (4.27) Notiamo che l’effetto Sachs-Wolfe integrato si è cancellato. Infine, inserendo quanto trovato nella (4.3), si ottiene

¯ h_µν(u) = A₀e_µν 1 + Ψ|^u_ue+¹ 2 ^⊥ ij Z u ue du⁰⁰ Z u⁰⁰ ue du⁰∂_i∂_j(Φ + Ψ) (u⁰) ! exp i  Z u ue du⁰ (Φ + Ψ) (u⁰)  . (4.28)

Conclusioni

Nel primo capitolo abbiamo studiato come si procede per linearizzare le equazioni di campo di Einstein sotto l’approssimazione di campo debole, la quale prevede che la metrica imperturbata sia quella di Minkowski. Come abbiamo detto più volte, tale procedimento risulta efficace per lo studio di molti fenomeni, ma non è affatto generale. Dunque nel secondo capitolo abbiamo studiato come si può generalizzare il metodo lineare espandendo le equazioni di Einstein a partire da una metrica imperturbata generica [3]. In questo modo, lasciando arbitraria la scelta della gauge, abbiamo ottenuto la (2.10), che è un’equazione generale per la perturbazione nello spazio curvo. Essa si può semplificare, a seconda del fenomeno fisico che si vuole studiare, scegliendo la forma della metrica imperturbata e di conseguenza fissando la gauge in maniera opportuna. È questo il metodo che abbiamo utilizzato nel terzo capitolo per studiare lo scattering di un’onda gravitazionale da parte di un debole campo gravitazionale di una lente [4] [5]. Abbiamo cercato la soluzione dell’equazione semplificata con il metodo della funzione di Green e sotto l’approssimazione di Born, interessandoci poi nel dettaglio al caso di una lente puntiforme.

L’effetto dello scattering da parte di una lente puntiforme è descritto dalla (3.11), che risulta valida quando il raggio di Schwartzchild della lente è minore della lunghezza dell’onda incidente divisa per un fattore di 2π, per parametri d’impatto sufficientemente grandi. Se il parametro di impatto è molto grande e, in particolare, è anche più grande del raggio di Einstein, allora vale la (3.12), indipendentemente dalla lunghezza d’onda.

Nel quarto capitolo abbiamo fatto un’ipotesi aggiuntiva sulla perturbazione, in par-ticolare abbiamo supposto che la scala entro cui essa varia sostanzialmente fosse molto minore del raggio di curvatura. Questo ci ha permesso di semplificare ulteriormente l’e-quazione generale per la pertrurbazione nello spazio curvo e di adottare l’approssimazione dell’ottica geometrica [7]. Abbiamo notato una stretta analogia con le onde elettroma-gnetiche, in particolare i gravitoni e i fotoni seguono delle geodetiche nulle nella stessa metrica. Questo ci ha permesso di ricavare l’effetto Sachs-Wolfe integrato per i gravitoni che si propagano nella metrica FRW perturbata scalarmente, analogamente a quanto av-viene per i fotoni della radiazione cosmica di fondo [9] [10]. L’equazione (4.22) descrive la correzione al redshift gravitazionale. La (4.28) descrive la forma generale dell’onda gravitazionale che ha attraversato le disomogeneità.

Le recenti rivelazioni dirette di onde gravitazionali da parte dell’osservatorio statu-nitense LIGO, hanno aperto una nuova finestra d’indagine dell’universo. Grazie agli

ulteriori osservatori VIRGO, KAGRA e possibilmente un ulteriore interferometro in In-dia [14], alle migliorie agli interferometri già attivi e allo sviluppo di nuovi metodi di rivelazione, la precisione con cui verranno misurate le onde gravitazionali sarà sempre maggiore. Si può dunque pensare che sarà possibile estrarre da esse informazioni sulla materia attraversata, sfruttando ad esempio i due effetti che abbiamo studiato in questa tesi. L’effetto dello scattering può fornire informazioni su corpi che si trovano lungo il cammino di un’onda gravitazionale, mentre dall’effetto Sachs-Wolfe integrato si possono ottenere informazioni sull’espansione dell’universo.

Combinando le informazioni che si possono ottenere dalle onde gravitazionali con quan-to già si riesce ad ottenere dalle onde elettromagnetiche, sarà possibile avere un quadro più dettagliato dell’universo che ci circonda. In aggiunta, eventuali esperimenti di verifica degli effetti delle disomogeneità dell’universo sulla propagazione delle onde gravitaziona-li, costituirebbero potenzialmente degli ulteriori test di validità della relatività generale. Ad esempio, l’effetto Sachs-Wolfe integrato, per i gravitoni e per i fotoni, proverebbe che le onde gravitazionali si propagano nella stessa metrica delle onde elettromagnetiche [7].

Bibliografia

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[5] R. Takahashi, T. Suyama, S. Michikoshi, Scattering of Gravitational Waves by the Weak gravitational Fields of Lens Objects, Astronomy & Astrophysics 438.1, L5-L8, (2005)

[6] M. Gasperini, Relatività Generale e Teoria della Gravitazione, Springer, (2015) [7] P. Laguna, S. Larson, D. Spergel, N. Yunes, Integrated Sachs-Wolfe effect for

gravitational radiation, The Astrophysical Journal Letters 715.1, L12, (2010)

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[9] T. Pyne, S. M. Carroll, Higher-order Gravitational Perturbations of the Cosmic Microwave Background, Phys. Rev. D, 53.6, 2920, (1996)

[10] S. Mollerach, S. Matarrese, Cosmic Microwave Background anisotropies from second order gravitational perturbations, Phys. Rev. D, 56.8, 4494, (1997)

[11] K. A. Malik, D. Wands, Cosmological perturbations, Phys. Reports 475.1, 1-51, (2009)

[12] R. A. Hulse, J. H. Taylor, Discovery of a Pulsar in a Binary System, Astrophys. J. 195, L51 (1975)

[13] J. H. Taylor, J. M. Weisberg, A New Test of General Relativity - Gravitational Radiation and the Binary Pulsar PSR 1913+ 16, Astrophys. J. 253, 908 (1982) [14] B. P. Abbott et al., Observation of Gravitational Waves From a Binary Black Hole

Merger, Phys. Rev. Lett. 116.6, 061102, (2016)

Ringraziamenti

Grazie agli amici di una vita, che hanno condiviso con me davvero tante avventure e che non smettono mai di farmi ridere ogni giorno.

Grazie agli amici degli utimi tempi con cui ho condiviso questo fantastico percorso, che si sono presi con me un sacco di birre al Fora e che, grazie anche ai nostri preziosi dialoghi a pranzo, hanno reso tutto questo possibile.

Grazie alla Musica, la mia seconda anima; al mio unico e grande maestro che mi ha insegnato davvero tanto su di Lei, e non solo; ai Tacita, i miei compagni del gruppo, splendidi amici con cui ho condiviso le più grandi emozioni.

Grazie alla persona speciale che mi sta accanto, che anche solo con piccoli gesti di affetto, mi fa capire ogni giorno quanto l’amore può essere grande.

Grazie alla mia indimenticabile tata, che mi ha accudito negli anni più importanti della mia vita.

Grazie a mio Babbo che mi ricorda sempre che sono il secondo più forte, dopo lui; a mia Mamma che combatte per me e mi difende dal giorno della mia nascita; a mio fratello, la mia fonte di consiglio e ispirazione, che mi insegna che la vita deve essere dinamica e che non ci si deve stancare mai.