Nella moderna teoria della computazione i problemi principali riguardano le il tempo e lo spazio necessario per risolvere un determinato problema (teoria della complessità com- putazionale). Un’altra risorsa importante per la computazione è l’energia richiesta per la risoluzione di un certo problema. Sorprendentemente di scopre che la computazione, classica o quantistica, può essere svolta senza consumo di energia e ciò è strettamente correlato con la reversibilità della computazione. Se consideriamo le porte logiche pos- siamo osservare che spesso non sono reversibili. Si pensi alla porta NAND che ha due bit come input e uno come output. Lo stato in ingresso non può essere univocamente determinato dalla conoscenza del bit in uscita. Infatti si ha:
0 NAND 0 = 1 0 NAND 1 = 1 1 NAND 0 = 1
1 NAND 1 = 0, (3.23)
e allo stato di output 1 possono corrispondere diversi stati di input. La porta NAND è dunque irreversibile. La porta NOT, al contrario, è reversibile.
Un modo per intendere la reversibilità computazionale è intendendola in termini di perdita di informazione. Se una porta logica è irreversibile allora deve essere stata neces- sariamente eliminata dell’informazione in ingresso. Contrariamente, nelle porte logiche irreversibili, l’informazione non viene perduta dal momento che lo stato in input può sempre essere recuperato tramite lo stato di output. Il collegamento tra la reversibilità della computazione e la perdita di informazione è dato dal Principio di Landauer. Esistono due forme di questo principio che sono analoghe.
Prima forma: Supponiamo che un computer elimini un bit di informazione. L’energia dissipata nell’ambiente è almeno pari a kBT ln2, dove kB è la costante di Boltzmann e T
è la temperatura dell’ambiente in cui si trova il computer.
Seconda forma: Supponiamo che un computer elimini un bit di informazione. L’en- tropia dell’ambiente cresce almeno di kBln2, dove kB è la costante di Boltzmann.
Al giorno d’oggi i computer esistenti dissipano più energia del minimo teorico previ- sto da Landauer. Questo principio illumina un punto di vista interessante: se tutta la
computazione potesse essere svolta in modo reversibile allora, teoricamente, i computer potrebbero senza dissipare energia, dal momento che nessun bit viene cancellato. Ma è effettivamente possibile fare una computazione universale senza cancellare informazio- ne? La risposta deve essere sì, dal momento che le leggi fisiche sono fondamentalmente reversibili.
Un modo per capire intuitivamente il Principio di Landauer è tramite il seguente esperimento mentale. Supponiamo di avere una molecola in un contenitore. Posso inter- pretare tale molecola come informazione immaginando che rappresenti un bit che assume valore 0 se la molecola si trova nel lato sinistro del contenitore e 1 se si trova nel lato destro. Nonostante si tratti di un gas con una sola molecola possiamo applicare comun- que le leggi della termodinamica. Immaginando di comprimere il gas fino a dimezzarne il volume possiamo calcolare la variazione di entropia relativa a questo processo. Usando le equazioni classiche della termodinamica
dE = δQ + δL δS = δQ
T , (3.24)
dove T rappresenta la temperatura del bagno termico in cui si trova il contenitore, possiamo calcolare il lavoro svolto durante questa trasformazione isoterma integrando δL = −pdV tra V e V /2, dove V rappresenta il volume del contenitore e p la pressione, intesa in questo contesto come la media temporale su molteplici urti della molecola contro le pareti. Troviamo quindi L = kBT ln2 da cui si ha ∆Sgas = kBT ln2. Dal momento che
l’entropia totale non può decrescere si ha ∆Samb ≥ kBT ln2, in accordo con il Principio[1].
Come anticipato questo Principio permette di risolvere il paradosso del diavoletto di Maxwell. Per dividere le molecole veloci da quelle lente, il diavoletto deve effettuare misure per determinare la velocità delle molecole. Il risultato di tale misura deve essere in qualche modo immagazzinato nella memoria del diavoletto. Dal momento che nessuna memoria è illimitata il demone deve, prima o poi, eliminare informazione per poterne immagazzinare di nuova. Per il Principio di Landauer l’atto di cancellazione di infor- mazione produce un aumento di entropia che è almeno pari alla diminuzione di entropia causata dall’azione del diavoletto assicurando così la validità del secondo principio della termodinamica.
Il Principio può essere letto in una ottica diversa: una operazione logica reversibile può, teoricamente, essere eseguita con un sistema fisico che lavora in un modo termodi- namicamente reversibile. Genericamente, però, anche una operazione logica irreversibile può essere interpretata come un processo termodinamico reversibile poiché rappresenta il trasferimento, reversibile, di entropia dal sistema all’ambiente. A questo proposito contro il Principio di Landauer sono state mosse numerose obiezioni, principalmente a causa del legame che tale principio ha con la seconda legge della termodinamica. In particolare, dal momento che il principio non risulta indipendente dalla seconda legge, ciò significa che è insufficiente o non necessario per risolvere il paradosso di Maxwell.
Altre critiche affermano che il principio è essenzialmente falso, o privo di significato, e si basano principalmente sui seguente punti:
1) Dal momento che non esiste un legame tra le grandezze termodinamiche, come calore e lavoro, e la reversibilità delle operazioni logiche il principio è privo di significato;
2) È falso dal momento che tutte le manipolazioni di dati, reversibili o non, richiedono una dissipazione di energia almeno pari a kBT ln2, e in genere anche molto di più,
per essere portata a termine da un apparato fisico;
3) È falso perché, in linea teorica, è possibile svolgere operazioni logiche irreversibili in un modo termodinamicamente reversibile.
Nonostante queste critiche l’importanza del principio resta indiscussa. Permette in- fatti di salvare in modo esattamente sufficiente il secondo principio della termodinamica. Il Principio ha permesso di spiegare perché il diavoletto non può funzionare senza affi- darsi alla semplice spiegazione "non può funzionare perché viola il secondo principio". Per una lettura più approfondita è possibile consultare la referenza [2].