La seconda quantit`a che `e stata considerata, per studiare la transizione MBLD, `e l’en- tropia di bipartizione della catena di bosoni. Come gi`a discusso, nella fase localizzata l’entropia degli autostati obbedisce a una legge dell’area, mentre nella fase ergodica segue l’usuale legge del volume. Nel caso di sistemi unidimensionali, come quello qui studiato, sostituendo d = 1 nell’eq 2.29 la legge del volume assume la forma S ∝ L e si ottiene che la legge dell’area diventa S = const., ovvero S rimane constante e, aumentando L, non varia. Questo non sorprende se si considera che in una catena di ogni segmento di catena `e collegato al resto della catena tramite due siti, indipendentemente dalla lun- ghezza del segmento stesso. Il punto in cui l’andamento dell’entropia passa da una legge all’altra identifica il punto in cui avviene la transizione MBLD del sistema. Se in punto W , variando , si pu`o passare da una legge allora il sistema ha una mobility edge. La mobility edge del sistema pu`o essere identificato con il valore di (o EL) in cui avviene questo cambiamento.
Per studiare come l’entanglement scala con le dimensioni del sistema `e risultato conve- niente bipartirlo in due sottocatene A e B di lunghezza
LA= L−12 , LB= L+12 se L `e dispari LA= LB= L2 se L `e pari
cos`ı da massimizzare la lunghezza del sottosistema su cui `e calcolata l’entropia.
Il calcolo dell’entropia, in funzione del parametro , `e stato effettuato considerando per ogni realizzazione di disordine α, l’autostato |ψni con n pi`u vicino al target prefissato
targ e calcolandone l’entropia Sα(targ, L) di bipartizione su A .
Le quantit`a che sono state studiate come indicatori della transizione sono la media dell’entropia hSi (, W, L) = 1 DL X α Sα(, W, L) (3.15) e la deviazione standard σS(, W, L) = s 1 DL X α (Sα(, W, L)− hSi (, W, L)2 (3.16)
In seguito, dove no n necessario, lasceremo implicita la dipendenza da L di queste quantit`a.
La Figura3.7mostra l’entropia media hSi del sistema a = 1, per vari valori di L. Per disordine sufficientemente basso W < 18 l’entropia aumenta visibilmente con L mentre per W > 18 l’entropia diventa indipendente da L e le incertezze sono consistenti con un fit ad una costante. Questo conferma ulteriormente l’esistenza di una fase MBL per il sistema. Il fatto che W ≈ 18 disti molto dalla zona di transizione individuata con la statistica dei livelli `e conseguenza del fatto che questo punto non `e una buona stima del punto di transizione. Nell’ipotesi di una transizione MBLD continua, l’entropia alla transizione deve necessariamente crescere linearmente con L, poich´e a causa della conca- vit`a dell’entropia gli altri andamenti possono essere esclusi come discusso nel Capitolo2. Per per trovare il confine tra le due fasi `e necessario considerare l’entropia media per sitohsi (, W ) ottenuta dividendo l’entropia S per il numero di siti nel sottosistema A. Nel limite L → ∞, nella fase estesa, hsi (, W ) tende ad un valore termico sth(, W ),
Figura 3.7: Entropia di bipartizione del sistemahSi a fissato al variare del disordine W e della lunghezza della catena L. Nella figura in alto sono rappresentate le curve di hSi (W ) al variare di L. Nella figura in basso sono rappresentate le curve di hSi (L) al
Figura 3.8: Entorpia di bipartizione per sito del sistema in funzione del disordine W a fissato = 1 lunghezza della catena L. L’inserto riporta le curve per L pari, dopo un
ulteriore media sugli vicino al target.
In Figura 3.8 sono riportati i risultati ottenuti per hsi per vari valori di L. Nella fase localizzatahsi tende effettivamente a 0, mentre in quella delocalizzata, a causa di effetti di taglia finita non `e possibile vedere la saturazione di hsi ad un valore costante, ed in particolare i valori dispari di L hanno un’entropia pi`u alta di quelli per L dispari. In particolare per = 1, come si vede dall’inserto in figura, abbiamo trovato che le curve per L pari e quelle L dispari si incontrano in due punti distinti. Questi punti di crossing ci danno una stima della zona di transizione consistente tra loro 8 . W . 9. Tale risultato `e in accordo con le predizioni date dalla statistica dei livelli.
Abbiamo trovato che l’entropia media si presta meglio di hri ad uno studio della tran- sizione in funzione dell’energia. Per ottenere risultati quantitativi sulla transizione e trattare i valori di L tutti insieme, `e stato necessario ricorre ad un analisi di finite size scaling, che `e presenta nel capitolo successivo.
La distribuzione di probabilit`a dell’entropia P (S(, W )), riportata in Figura3.9, si com- porta diversamente a seconda della fase in cui si trova il sistema. Nella fase ergodica P (S(, W )) ha un picco ben pronunciato, che aumentando L, si restringe in accordo con l’ETH secondo il quale S dipende solo dall’Energia. Nella fase localizzata invece il valore di S tende ad una costante finita e la forma della distribuzione non varia significativa- mente con L. Vicino alla transizione MBLD ogni singolo autostato pu`o essere localizzato
(a) Fase ergodica (b) Fase intermedia
(c) Fase Localizzata
Figura 3.9: Distribuzione di probabilit`a dell’entropia di bipartizione per alcuni valori del disordine W . Sono fissati = 1 e f = 1.
o delocalizzato a seconda dei dettagli della particolare realizzazione di disordine da cui proviene, dando origine ad una distribuzione che si allarga aumentando L.
Come gi`a osservato in un recente lavoro di Kj¨all et al. [53], il parametro pi`u adatto a cogliere questa variazione di P (S(, W )) `e la deviazione standard dell’entropia σS. Nel
limite termodinamico σS rimane finita o tende a zero in entrambe le fasi del sistema e
diverge solo alla transizione. La transizione di fase pu`o quindi essere individuata deter- minando il punto in cui vi `e questa divergenza. In Figura3.10`e riportato l’andamento di σS a centro banda, dove si vede che, fissato W , σS(L) `e crescente nella zona 6 . W . 12,
ed in particolare il picco pi`u elevato (L = 11) si trova in 6.5 . W . 9. Il primo intervallo individua la zona in cui avviene la transizione MBLD, ed `e accordo con i risultati degli altri indicatori. Poich´e la posizione del picco si sposta con L, non possiamo dire lo stesso per il secondo intervallo che quindi rappresenta solo una stima della zona di transizione.
Figura 3.10: Deviazione standard dell’entropia in funzione di dell’intensit`a di disordine W per vari valori di L. Sono fissati f = 1 e U = 2.
Anche in questo caso, per ottenere risultati quantitativi, `e stata necessaria un’analisi di finite scaling.