Equazioni del moto

La seconda importante scelta da attuare è quella riguardante le equazioni del moto che governano la fisica del problema. Esistono moltissimi aspetti che ne influenzano la scelta e le eventuali ipotesi semplificative che è possibile attuare; tra questi, il principale è la scelta di quanti corpi considerare per la realizzazione del modello

4.2 – Equazioni del moto

gravitazionale, ovvero se optare per un problema a 2, 3 o 𝑛 corpi. Risulta altresì importante definire il sistema di riferimento e il tipo di coordinate, in quanto esso influenza non solo la forma delle equazioni in caso il sistema non sia inerziale, ma modifica anche la definizione del vettore di stato. Il modello potrà poi includere la presenza di perturbazioni di varia entità e origine come già osservato in precedenza.

4.2.1 Problema degli n-corpi

Quando la missione prevede la permanenza della sonda in uno spazio soggetto a diverse forze gravitazionali dovute a differenti masse, la scelta più opportuna ricade nel modello degli 𝑛-corpi già presentato nel cap. 3. Alcuni possibili situazioni dove questo modello è ideale sono le missioni verso la Luna, oppure verso Saturno e Giove, caratterizzati da grandi masse e da molti satelliti naturali, alcuni di essi con dimensioni comparabili a quelle della Luna terrestre. Un caso invece di problema dei tre corpi ristretto è quello dei punti di librazione (anche detti punti di Lagrange), ovvero punti nello spazio dove vi è un equilibrio nell’attrazione gravitazionale di due corpi e un satellite è in grado di orbitare attorno a quel punto senza fare uso di propellente. Gli esempi appena citati non sono però connessi al caso in esame, pertanto ulteriori approfondimenti sarebbero superflui.

Un caso intermedio è quello delle missioni interplanetarie, dove la sonda attraversa diverse regioni dello spazio caratterizzate da differenti masse principali: alla partenza e all’arrivo essa si trova nei pressi di un pianeta e la gravità di quest’ultimo sarà sicuramente più significativa di tutte le altre, pertanto il modello a due corpi ristretto sarà sufficientemente accurato. Nella fase di trasferta interplanetaria il satellite si troverà invece in campo eliocentrico e si può assumere che l’unica massa rilevante sarà quella del Sole e ancora una volta si potrà usare il modello a due corpi. Al confine della sfera di influenza, invece, la forza attrattiva del pianeta e del Sole saranno confrontabili e sarà opportuno utilizzare un modello a tre corpi. Questa tecnica è chiamata patched conic approximation ed è lo standard per la risoluzione delle missioni interplanetarie.

4.2.2 Problema dei due corpi

Questo modello è già stato introdotto e approfondito nel cap. 3ed è, come già detto, una semplificazione del modello a 𝑛-corpi. Esso viene usato, in particolare la sua variante ristretta, quando si analizza il moto di un satellite che si trova in un campo gravitazionale dove la forza attrattiva di uno dei corpi celesti è sufficientemente maggiore delle altre. È il caso ad esempio di un satellite orbitante la Terra, oppure in campo eliocentrico e sufficientemente distante da altri corpi. Vista la massa molto piccola della sonda, nel seguito si sottintende che il modello a due corpi considerato sarà proprio quello ristretto.

Uno dei vantaggi principali di questo modello è, oltre alla sua semplicità, la possibilità di considerare come origine del sistema di riferimento inerziale la massa del corpo più grande, ad esempio il Sole. Questo semplifica notevolmente il problema in quanto le equazioni stesse sono semplici ed in ogni caso facilmente estendibili ad altri sistemi di riferimento. La posizione e la velocità del satellite saranno quindi espresse attraverso una terna di coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche.

Un altro possibile approccio al problema è la soluzione mediante i parametri orbitali già presentati nella sez. 3.4. Questa opzione è di facile comprensione fisica e presenta il vantaggio di avere chiara la posizione del corpo senza passare attraverso un vettore di stato, ma è complesso estenderla ad altre forme e sistemi di riferimento.

Tenendo conto della presenza di accelerazioni di origine perturbativa, le equazioni che descrivono la variazione nel tempo dei parametri stessi sono descritte in [26, Capitolo 9] e risultano di derivazione piuttosto complessa. Il problema diventa ancor maggiore se si considera la presenza di molte singolarità, rendendole di interesse pratico piuttosto limitato.

Esistono altresì i parametri orbitali modificati equinoziali, i quali non hanno un significato fisico preciso ma non presentano le singolarità tipiche dei parametri orbitali classici. Le equazioni in questo caso risultano ancora complesse (si veda [30, Capitolo 6] per ulteriori dettagli) ma facilmente implementabili e sono di particolare utilità quando si analizzano trasferte interplanetarie con swing-by con altri corpi.

A titolo di confronto, inTab. 4.1 è possibile analizzare i pro e i contro di ogni soluzione proposta.

Tabella 4.1. Confronto tra tre possibili approcci al problema a due corpi ristret-to [29].

Coordinate

inerziali Parametri orbitali

classici Parametri orbitali equinoziali modificati

Significato fisico Normale Alto Basso

Estensibilità ad altre forme Facile Difficile Difficile

Singolarità No Sì No

Complessità delle equazioni Bassa Alta Media

4.2.3 Scelta delle equazioni del moto

Alla luce di quanto visto e delle informazioni presentate nel cap. 2, è possibile scegliere quale set di equazioni del moto risulti più opportuno per la missione in esame. Poiché per ipotesi il satellite inizia il suo viaggio al di fuori della sfera di influenza della Terra e la massa degli asteroidi è relativamente bassa, il modello a due corpi ristretto con un sistema di riferimento inerziale centrato nel Sole risulta la