2. Azionamenti elettrici per interruttori ad alta tensione
2.1. Motori a magneti permanenti
2.1.1. Equazioni fondamentali per macchina anisotropa
A livello analitico possiamo rappresentare il PMSM come una macchina elettrica a due poli con rappresentato, per semplicità di trattazione, un rotore di tipo isotropo.
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Come è possibile vedere dalla Figura 2.7, viene indicato lo schema dello statore trifase classico con le tre fasi a,a’ b,b’ e c,c’ che generano il campo magnetico rotante al traferro. Il rotore, di tipo a magneti superficiali evidenziati con il colore rosso, ha un angolo
ϑ
meccanico rispetto la fase a dello statore. Applicando la trasformata di Park [27][28][29], è possibile usare un sistema di riferimento ortogonale rotativo rispetto al movimento dello statore e sincrono con la velocità del rotore. Tale riferimento permette l’uso di grandezze costanti e semplifica l’analisi e la trattazione del modello della macchina, oltre che l’implementazione di tecniche di controllo necessarie all’elettronica di potenza che aziona il motore stesso.La figura mostra la presenza degli assi d e q, che sono rappresentativi del rotore e, in particolare, del flusso che i suoi magneti generano. L’asse d è stato scelto allineato lungo tale flusso, l’asse q è in quadratura rispetto all’asse d e dunque in ritardo di 90° elettrici, avendo scelto un verso di rotazione di tipo orario.
Considerando l’anisotropia delle macchine PMSM con rotore di tipo IPM, il flusso, o meglio, la riluttanza lungo l’asse d, risulta essere diversa e, dato che la permeabilità dei magneti è prossima a quella dell’aria, nel sistema di Figura 2.7 la permeanza dell’asse d risulta essere minore di quella lungo l’asse q. Tale differenza evidenzia la possibilità di poter generare una coppia di riluttanza in questo tipo di motori.
Gli avvolgimenti di statore sono distribuiti in modo da ottenere un angolo elettrico di 120°, dunque le tre generiche tensioni possono essere espresse come:
𝑣
𝑎(𝑡) = 𝑅𝑖
𝑎(𝑡) +𝑑𝜆
𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣
𝑏(𝑡) = 𝑅𝑖
𝑏(𝑡) +𝑑𝜆
𝑏(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣
𝑐(𝑡) = 𝑅𝑖
𝑐(𝑡) +𝑑𝜆
𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
(2.1)Dove ia, ib, ic, sono le correnti di fase; λa, λb, λc, rappresentano il flusso concatenato ad ogni fase dello
statore e R ne rappresenta la resistenza uguale tra tutti per simmetria di trattazione. L’angolo elettrico
ϑ
e viene definito come𝜗
𝑒= 𝜗𝑝
(2.2)Dove p indica il numero di poli del rotore e
ϑ
l’angolo meccanico tra l’asse allineato sulla fase a e l’asse allineato sul flusso dei magneti permanenti.Considerando il solo flusso della fase a, dato che i restanti due flussi sono distribuiti a ±120°, possiamo scrivere che:
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𝜆
𝑎,𝑚= Λ
𝑚cos (𝜗
𝑒) = Λ
𝑚cos (𝑝𝜗)
(2.3)Dove Λm rappresenta il massimo valore del flusso concatenato dai magneti.
Anche se stiamo considerando una macchina anisotropa, lo statore simmetrico di costruzione permette di ottenere un valore di auto induttanza LS (dunque l’induttanza della singola fase) e di
mutua induttanza LM (dunque l’induttanza che si viene a generare per l’interazione del campo tra le
fasi vicine) uguali, a meno di piccole differenze per cause di realizzazione strutturale.
𝐿
𝑎= 𝐿
𝑏= 𝐿
𝑐= 𝐿
𝑆𝐿
𝑀𝑎= 𝐿
𝑀𝑏= 𝐿
𝑀𝑐= 𝐿
𝑀 (2.4)Dunque è possibile identificare il valore di flusso concatenato, istante per istante, andando a sommare le due componenti, sempre facendo riferimento alla sola fase a:
𝜆
𝑎= 𝐿
𝑎𝑖
𝑎(𝑡) + 𝐿
𝑀𝑎𝑏𝑖
𝑏(𝑡) + 𝐿
𝑀𝑎𝑐𝑖
𝑐(𝑡) + 𝜆
𝑎,𝑚(𝑡)
= 𝐿
𝑆𝑖
𝑎(𝑡) − 𝐿
𝑀𝑖
𝑏(𝑡) − 𝐿
𝑀𝑖
𝑐(𝑡) + 𝜆
𝑎,𝑚(𝑡)
(2.5)Il segno del valore di mutua induttanza viene considerato negativo in quanto opposto al segno del flusso concatenato.
Per semplificare i termini, si può considerare il valore dell’induttanza di statore definita come induttanza sincrona:
𝐿 = 𝐿
𝑆+ 𝐿
𝑀 (2.6)Applicando la legge di Kirchhoff alle grandezze magnetiche della fase a nell’espressione (2.6), è possibile scrivere il flusso concatenato come:
𝜆
𝑎(𝑡) = Li
𝑎(𝑡) + Λ
𝑚cos (𝑝𝜗)
(2.7)Andando a sostituire l’espressione (2.7) nella (2.1) si ottiene:
𝑣
𝑎(𝑡) = Ri
𝑎(𝑡) + 𝐿𝑑𝑖
𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝜛
𝑒Λ
𝑚cos (𝑝𝜗 +
𝜋
2)
(2.8)L’ultimo termine della (2.8) rappresenta la forza contro-elettromotrice generata dal flusso dei magneti permanenti e concatenata alla fase a e ω rappresenta la velocità di rotazione elettrica del campo magnetico rotante.
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Passando in un sistema di riferimento stazionario, come detto in precedenza, si trovano le componenti del vettore v(t) lungo gli assi d e q, che rappresenta la terna di vettori rotanti e simmetrici dell’equazione (2.1), applicando lo stesso ragionamento anche per le restanti fasi b e c:
𝑣
𝑑= Ri
𝑑+ 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑑𝑡
− 𝜛
𝑒𝐿𝑖
𝑞𝑣
𝑞= Ri
𝑞+ 𝐿𝑑𝑖
𝑞𝑑𝑡
+ 𝜛
𝑒𝐿𝑖
𝑑+ 𝜛
𝑒Λ
𝑚(2.9)
Con queste espressioni, si può calcolare il valore di coppia elettromeccanica nel sistema di riferimento dq:
3
2(𝑣
𝑑i
𝑑+ 𝑣
𝑞i
𝑞) = 𝑇𝜛 +
𝑑𝑊
𝑑𝑡
(2.10)Dove W esprime l’energia magnetica. Nella (2.10) non sono state considerate le perdite per effetto Joule e viene espresso il bilanciamento tra l’energia elettromeccanica e la potenza elettrica convertita. Il fattore 3/2 è necessario quando si considera un tipo di trasformazione dal riferimento abc a riferimento dq, dove non viene perso il modulo della potenza convertita durante il procedimento. Andando a sostituire a dt l’equivalente dΘ/ω nella (2.10), si può modificare l’espressione ottenendo:
𝑇𝑑𝜃 =
3
2𝑝(𝜆
𝑑i
𝑞+ 𝜆
𝑞i
𝑑)𝑑𝜃 +
3
2i
𝑑𝑑𝜆
𝑑+
3
2i
𝑞𝑑𝜆
𝑞− 𝑑𝑊
(2.11)Considerando che è possibile affermare che la coppia generata è indipendente dalle variazioni di corrente e di concatenazione del flusso rispetto al posizionamento arbitrario dell’angolo dΘ[30], i due termini centrali della (2.11) sono nulli. Potendo scrivere:
dW =
𝑑𝑊𝑑𝜃
𝑑𝜃 +
𝑑𝑊
𝑑𝑖𝑑
𝑑𝑖
𝑑+
𝑑𝑊𝑑𝑖𝑞
𝑑𝑖
𝑞,
è possibile trovare l’espressione della coppia elettromeccanica come[30]:𝑇 =
3
2𝑝(𝜆
𝑑i
𝑞+ 𝜆
𝑞i
𝑑) −
𝑑𝑊
𝑑𝜃
(2.12)Generalmente, l’ultimo termine della (2.12) viene trascurato, dato che non ha un proprio valor medio durante il periodo. Per poter avere coppia massima, nelle macchine con rotore isotropo viene iniettata corrente la cui componente risulta essere tutta sull’asse q. Questo perché il vettore risultante è pari al prodotto di due componenti ortogonali tra loro: il flusso (orientato lungo l’asse d) e la corrente. Questa ulteriore assunzione, semplifica l’espressione (2.12) in:
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𝑇 =
3
2𝑝Λ𝑖
𝑞 (2.13)Andando ora a considerare la tipologia anisotropa di nostro interesse, è chiaro che la struttura rotorica vedrà un comportamento delle componenti magnetiche differenti lungo gli assi. Dunque, si avranno differenti valori di induttanza di statore e di mutua induttanza, dato che questi dipendono dalla posizione angolare meccanica del rotore.
Le espressioni per un motore a magneti permanenti anisotropo sono, in questo caso:
𝑣
𝑑= Ri
𝑑+ 𝐿
𝑑𝑑𝑖
𝑑𝑑𝑡
− 𝜛
𝑒𝐿
𝑞𝑖
𝑞𝑣
𝑞= Ri
𝑞+ 𝐿
𝑞𝑑𝑖
𝑞𝑑𝑡
+ 𝜛
𝑒𝐿
𝑑𝑖
𝑑+ 𝜛
𝑒Λ
𝑚(2.14)
Dove Ld e Lq sono rispettivamente l’induttanza sincrona diretta e l’induttanza sincrona in
quadratura.
L’espressione della coppia, partendo dall’equazione (2.12), diventa:
𝑇 =3
2𝑝Λi
𝑞+
3
2𝑝(𝐿
𝑑−L
𝑞)𝑖
𝑑𝑖
𝑞 (2.15)Il secondo addendo della (2.15) è il contributo aggiuntivo dato dalla coppia di riluttanza tipica dei motori a magneti permanenti con rotore anisotropo.
2.2. Introduzione sugli azionamenti e sui dispositivi elettronici di potenza