EQUAZIONI GENERALI DELLA SEA

Capitolo 2 : ANALISI STATISTICA DELL’ENERGIA

2.1 Introduzione.

Dopo aver introdotto i concetti elementari che stanno alla base dell’analisi statistica dell’energia in questo capitolo andremo a vedere come possiamo applicare questa teoria a sistemi più complessi.

Inizialmente vedremo come si imposta una generica analisi SEA e come si ricava il sistema di equazioni in cui le incognite sono le energie di ogni sottosistema individuato. Successivamente nel Paragrafo 2.4focalizzeremo l’attenzione sui sottosistemi, ne daremo una definizione e vedremo come, a partire da una struttura complessa, sia possibile determinare da quali sottosistemi essa sia formata. Nei capitoli successivi poi approfondiremo tutte le altre grandezze caratteristiche di tale tipo di analisi.

2.2 Equazioni generali della SEA.

Si consideri un generico sistema complesso e lo si divida in sottosistemi, (successivamente daremo una spiegazione completa per spiegare cosa intendiamo per sottosistema, Paragrafo 2.4) dove per ora con sottosistema indichiamo un generico elemento costitutivo. Dalla teoria di base dell’analisi statistica dell’energia sappiamo che per ognuno di essi possiamo scrivere una equazione che a regime uguaglia la potenza in ingresso e quella in uscita:

Quindi per un generico sottosistema , sollecitato da una forzante esterna che interessa una precisa banda in frequenza di centro , abbiamo che:

 Riceverà dall’esterno una certa potenza ;

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 Dissiperà una certa potenza dove con ηi indichiamo lo smorzamento che caratterizza il sottosistema ( = 2 ) e lo identifichiamo come coefficiente di perdita per smorzamento (DLF, Damping Loss Factor);

 Scambierà con il sottosistema la potenza _→ dove prende il nome di coefficiente di perdita di accoppiamento (CLF, Coupling Loss Factor). Allora, sempre per il generico sottosistema, abbiamo che l’equazione di equilibrio tra le potenze diventa:

_{→ →} ovvero:

dove in quest’ultima abbiamo messo in evidenza la potenza netta scambiata tra i generici sottosistemi e . Sfruttando le relazioni di base riportate precedentemente possiamo ricavare l’espressione che lega tra loro la potenza in ingresso e le energie dei sottosistemi:

( )

Considerando ad esempio un sistema formato da 3 sottosistemi abbiamo che possiamo rappresentarlo semplicemente come in Figura 2.1:

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È chiaro che qualora uno dei sottosistemi non dissipi energia o non comunichi con determinati sottosistemi basta semplicemente assumere nulli i rispettivi coefficienti o

.

Le equazioni che ne derivano sono:

oppure riscrivendole in forma matriciale:

in cui ricordiamo che tra i vari coefficienti d perdita per accoppiamento vale la relazione

Noti tutti i coefficienti di perdita per smorzamento e di accoppiamento, note le potenze in ingresso dall’esterno per ogni sottosistema e nota la frequenza centrale della banda di sollecitazione possiamo semplicemente ricavare le energie che interessano i singoli sottosistemi mediante una semplice inversione di matrice. Una volta ricavata l’energia possiamo poi ricondurci ad altre grandezze di interesse ingegneristico come la velocità media, la deformazione media e la tensione media come messo in evidenza da Lyon [41]. A questo punto, a partire delle equazioni precedenti possiamo generalizzare il problema per un sistema formato da m sottosistemi [56]. Per esso la formulazione matriciale è:

[ ]{ } { }

In cui [ ] è la matrice dei coefficienti di perdita, { } è il vettore delle energie dei sottosistemi e { } è il vettore delle potenze in ingresso.

Riscrivendo il tutto in forma estesa per mettere in evidenza le singole componenti otteniamo:

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In generale quindi, dato un certo sistema, la procedura di studio mediante l’analisi statistica dell’energia prevede di:

 Suddividere il sistema nei diversi sottosistemi;

 Identificare le bande di sollecitazione: solitamente si divide il dominio in frequenza della forzante in ottave o in terzi di ottava (si veda Paragrafo 2.6);

 Identificare per ogni banda le grandezze caratteristiche di ogni sottosistema: coefficienti di perdita di accoppiamento (CLF)e per smorzamento (DLF), densità modale e impedenze o ammettenze;

 Conoscere le potenze in ingresso tramite calcolo o misurazioni sperimentali. Nei paragrafi seguenti spiegheremo il significato di tutte le grandezze necessarie per l’analisi e vedremo come ricavare delle formule per stimarle.

2.2.1 Ulteriori considerazioni sulla matrice dei coefficienti di perdita.

Prima di proseguire nella trattazione è doveroso notare alcuni particolari. Innanzitutto la matrice del sistema scritto come nel caso precedente non è simmetrica e di conseguenza il flusso di potenza non sarà reciproco rispetto alle energie totali dei sottosistemi [56]. D’altra parte il sistema può essere reso semplicemente simmetrico moltiplicando ogni colonna per il rispettivo numero di modi di vibrare del sottosistema e dividendo la corrispondente energia sempre per il numero di modi. Questo ci permette di ottenere un sistema simmetrico ricordando la precedente relazione di reciprocità dei coefficienti di perdita di accoppiamento:

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27 Otteniamo:

Come viene riportato nell’articolo [56] questa formulazione ci permette nuovamente di sottolineare che il flusso di potenza dipende dall’energia modale media e che lo scambio tra sottosistemi avviene da quello con energia modale media più elevata, ma non è detto che sia quello con energia più elevata, verso quello con energia modale media minore. Tale risultato lo avevano individuato anche precedentemente. È giusto ricordare che una delle ipotesi alla base della teoria prevede che all’interno di una banda l’energia sia equamente distribuita tra i modi, in modo tale che con il termine energia modale media indichiamo la quota parte di energia che attribuiamo a un determinato modo del sottosistema.

In secondo luogo la matrice così definita ha la proprietà di essere simmetrica e definita positiva: tutti gli elementi diagonali sono positivi mentre gli extra-diagonali sono positivi o nulli qualora un CLF fosse nullo. Tale fatto assicura che la matrice sia sempre invertibile, cosa che con la precedente formulazione non era scontata. Per di più, nel caso gli accoppiamenti siano deboli, cioè nel caso in cui siano minori rispetto al coefficiente di smorzamento, allora la matrice è anche diagonalmente dominante. Questo comporta che il problema è ben condizionato e relativamente insensibile al valori dei CLF, che quindi anche se non vengono ricavati con estrema precisione influenzano poco i risultati in termini di energia [56].

Un terzo metodo che viene solitamente utilizzato per risolvere il problema, e che qui citiamo per completezza di trattazione, prevede di moltiplicare ogni colonna del problema iniziale per la densità modale e di dividere le energie per tale quantità.

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