Equazioni meccaniche

La dinamica che regola la velocità del primo sistema è data dalla seguente equazione dinamica:

(5) Da qui si deduce che la coppia prodotta dal motore può essere così definita:

Te = 𝐽 (6) Con

T1 = (7) e

(8)

La dinamica del secondo blocco sarà dettata dalla seguente equazione:

(9) (10)

Il termine T2 corrisponde alla coppia trasmessa al secondo sistema. 𝐾 𝐾 (11)

La coppia che viene trasmessa all‟ultimo blocco è data dalla somma di TE2 e di TV2, quindi T3. La coppia T3, diviso il termine K2 ⌊ ⌋, da origine a una forza che entra nel blocco 3, indicata con F3. Questa forza viene però ridotta dal termine LOAD, ossia dal carico. La risultante di questa sottrazione da origine alla forza netta che agisce sul sistema e dividendo tale valore per la massa del sistema, ballscrew e spoiler, si ottiene un‟accelerazione e da essa la velocità e lo spostamento S3 dell‟attuatore. L‟accelerazione che si ottiene può essere così definita:

96 *

𝐿 + (12)

Per ovvie ragioni, se vogliamo che la velocità sia positiva, il primo termine deve essere maggiore del carico. Nei momenti in cui l‟attuatore deve passare da una certa posizione verso una inferiore, la velocità dovrà essere negativa e di conseguenza la forza del carico maggiore di quella applicata dall‟azionamento. Il carico che proviene dallo spoiler, ha sempre lo stesso segno; la forza che deve sviluppare l‟attuatore è sempre rivolta verso l‟alto. Per arrivare alla condizione di avere una forza in senso contrario, bisognerebbe che la velocità dell‟aria sia maggiore di quella dell‟aereo, il che si può verificare quando l‟aereo è fermo in parcheggio o per assurdo, stia viaggiando a una velocità minore del vento nella stessa direzione della rotta o stia viaggiando in retromarcia, condizioni non possibili nella realtà.

Nela figura 6.4.5.1 viene riportato il sistema meccanico implementato al simulink, dove si possono notare i due ingressi costituiti dalla coppia e dal carico, indicati con “motor torque” e “load”, e l‟uscita indicata con “theta”. L‟uscita identifica l‟angolo di attacco dello spoiler. Tale circuito differisce da quello indicato nella figura 6.4.1 solamente nell‟ultimissima parte, dove partendo da S3 si determina l‟angolo di attacco. Il metodo per la determinazione dell‟angolo viene spiegato nel prossimo paragrafo. Nella tabella 6.4.5.1 vengono riportati i valori dei coefficienti che caratterizzano il sistema meccanico.

Figura 6.4.5.1 Schema del sistema meccanico al simulink.

J1 2.78 *10^-7 kgm² J2 4.65 * 10^-7 kgm²

M 30 kg

Fr 0.0029 Nms

K1 12

Tabella 6.4.5.1 Valori dei coefficienti implementati nel sistema meccanico.

E1 ₂₄₅₁ E2 ₂₄₅₁ V1 _0.06 V2 _0.34 K2 _0.005

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6.5 Considerazioni sul sistema

Per determinare l‟angolo, dobbiamo conoscere il punto in cui viene applicato l‟attuatore sulla superficie da muovere. Nelle figure 6.5.1 viene rappresentato in maniera molto schematica lo spoiler usato nella simulazione, con riportato l‟attuatore anch‟esso in maniera schematica. Con riferimento a tale figura, viene indicato con C il punto di applicazione dell‟attuatore, che si trova a metà della larghezza dello spoiler, indicata con AB e a metà della lunghezza, indicata con BC. L‟angolo, indicato con Θ, viene determinato in funzione dello spostamento lineare dell‟attuatore, secondo la seguente formula:

Θ = arcsin

⁽¹³⁾

Nelle figure 6.5.1 viene rappresentato in maniera schematica lo spoiler, visto di lato e da sopra, dove si può notare il perno di rotazione in A, il punto di applicazione dell‟attuatore C e l‟angolo Θ, che indica angolo di attacco. Per semplicità, la traiettoria del punto C viene pensata come una retta e non come un arco. Lo spostamento massimo che l‟attuatore può compiere corrisponde a 85.5 [mm], trovandosi a metà della larghezza totale, che coincide con l‟angolo di attacco massimo di 20°. Quando lo spoiler si trova totalmente retratto, il suo angolo è pari a zero e lo spostamento S3 anch‟esso pari a zero. Quindi il valore dell‟angolo che può risultare è un valore compreso tra zero e 20°, mentre per lo spostamento S3 tra 0 e 85.5 [mm].

Il punto di applicazione nel centro è stato scelto in maniera casuale, non tenendo conto delle complicazioni che si possono verificare nel posizionamento dell‟attuatore nel caso reale per vari problemi di natura tecnica, quali spazio disponibile, facilità di intervento nel caso di riparazioni e manutenzioni, e protezione del dispositivo da agenti atmosferici. Inoltre, durante il movimento dello spoiler, si assume che non ci siano variazioni nella sua forma, cioè la superficie non subisca deformazioni di natura elastica dovuta alla forza esercitata dall‟aria e dall‟accelerazione imposta dal sistema di azionamento. Altra semplificazione posta è l‟assenza di attriti meccanici sia nella cerniera in cui l‟attuatore è collegato con lo spoiler, punto C, sia nella cerniera di collegamento A, dove lo spoiler viene connesso su una struttura fissa dell‟aereo e attorno al quale può ruotare. Vista la complessità nel determinare il centro di pressione, cioè il punto nel quale si trova applicata la risultante delle forze dovute all‟azione dell‟aria, si ipotizza che questo coincida con il punto C, qualunque sia l‟angolo di attacco.

Nel nostro caso, la risultante è principalmente dettata dalla portanza, che rappresenta la quasi totalità della forza dovuta all‟effetto dell‟aria. Il valore della forza resistente è in tutti i casi inferiore al 10 % della portanza. Tale considerazione non è più valida qualora si è in presenza dello stallo, ma nel caso studiato si considera che questo non si verifichi.

Quindi, per riassumere, la risultante della forza ha direzione perpendicolare al piano orizzontale, e si trova nella stessa direzione della forza esercitata dall‟attuatore, cioè nel

98 punto C. Le due forze, quella dell‟azionamento e quella esercitata dal fluido hanno la stessa direzione di attuazione e agiscono sullo stesso punto.

A B 500 1 7 1 250 20 C Θ Load 500 3 0 0 0 A B C D

c

Figura 6.5.1 Figura schematica dello spoiler visto di lato a sinistra e visto da sopra a destra.