Esercizi sui sistema di biomatematica

y′(t) = t− y2,

y(0) = 0 , ^(6.3.0.27)

ha una soluzione (globale) in t∈ [0, +∞).

6.4 Esercizi sui sistema di

biomatemat-ica.

Le equazioni di Lotka - Volterra si possano scrivere come segue: dx dt ^{= (A}− By)x, (6.4.0.28) dy dt ^{= (Cx}− D)y dove       

y, ´e la popolazione della specie predatore; x, ´e la popolazione della specie preda;

t, ´e il tempo;

A, B, C, D , sono i parametri positivi di interazione tra le specie. Problema 6.4.0.1. Sia A = B = C = D = 1 nel sistema di Lotka -Volterra. Se I ⊆ R ´e un intervallo aperto con 0 ∈ I e

117

´e una soluzione del problema di Cauchy dx

dt ^{= (1}− y)x, dy

dt ^{= (x}− 1)y (6.4.0.29)

x(0) = 1/2, y(0) = 1/2

allora la traiettoria rimane sempre nel primo quadrante. Suggerimento. Vedere che ogni traiettoria

(x(t), y(t)) che ´e soluzione del sistema

dx

dt ^{= (1}− y)x, dy

dt ^{= (x}− 1)y (6.4.0.30)

x(0) = x0, y(0) = y0

con punto di partenza

(x0, y0)∈ U = {(x, y) ∈ R², 0 < x, 0 < y} rimane sempre in U. Infatti, se t₁ ´e tale che

(x(t₁), y(t₁))

´e sulla frontiera, possiamo supporre per esempio x(t1) = 0, 0 < y(t1) = y^∗. Adesso possiamo usare il fatto che

e

x(t) = 0, ey(t) = Ce^−t ´e una soluzione del

dx

dt ^{= (1}− y)x, dy

dt ^{= (x}− 1)y (6.4.0.31)

Le due soluzioni

(x(t), y(t)), (ex(t), ey(t))

sono due soluzioni del problema di Cauchy (6.4.0.31), ovviamente questo ´e assurdo perche il Teorema di Cauchy afferma che la soluzione ´e unica. La contradizione dimostra che la curva (x(t), y(t)) rimane semptre nel I quadrante.

Problema 6.4.0.2. (modello Rosenzweig - Macarthur) Vedere se il problema di Cauchy u^′₁(t) = u1(1− u1)− _{1 + u}^u1u2 1 (6.4.0.32) u^′₂(t) =−u2 u1u2 1 + u₁^. con dati inziali

u1(0) = 1/10, u2(0) = 1/10 rimane sempre nel I quadrante.

Problema 6.4.0.3. (modello Rosenzweig - Macarthur) Vedere se il problema di Cauchy u^′₁(t) = u1(1− u1)− _{1 + u}^u1u2 1 (6.4.0.33) u^′₂(t) =−u2+ ^u1u2 1 + u1 . con dati inziali

u₁(0) = 1/10, u₂(0) = 1/10

rimane sempre nel I quadrante ed esiste costant C > 0 tale che u1(t) + u2(t)≤ C.

Suggerimento. Suppogniamo che per ogni C > 0 la traiettoria interseca il segmento aperto

119

cio´e esiste (il primo) t1 tale che

u1(t1) + u2(t1) = C, u₁^′(t1) > 0, u^′₂(t1) > 0. (6.4.0.34) Prendendo la somma delle equazioni in (6.4.0.35), si orriene

u^′₁(t1)+u^′₂(t1) = u1(t1)(1−u1(t1))−u2(t1) = u1(t1)(1−u1(t1))−C+u1(t1). Ponendo

G(u) = u(2− u) si vede che la funzione ´e limitata superiormente

G(u)≤ G(1) = 1. Se C > 1 otteniamo

u^′₁(t1) + u^′₂(t1) < 1− C < 0 e questo ´e in contradizione con (6.4.0.34).

Problema 6.4.0.4. (modello Rosenzweig - Macarthur) Vedere se il problema di Cauchy u^′₁(t) = u1(1− u1)− ^u1u2 1 + u1 (6.4.0.35) u′ 2(t) =−u2+ ^u1u2 1 + u1 . con dati inziali

u1(0) = 1/10, u2(0) = 1/10 ha soluzione globale?

Problema 6.4.0.5. Sia A = B = C = D = 1 nel sistema di Lotka -Volterra. Vedere se il problema di Cauchy

dx dt ^{= (1}− y)x, dy dt ^{= (x}− 1)y (6.4.0.36) x(0) = 1/2, y(0) = 1/2 ha una soluzione x(t), y(t)∈ C([0, ∞)) ∩ C1((0,∞)) globale ?

Chapter 7

Equazioni lineari

7.1 Equazione lineare omogenea a

coefi-cienti costanti

Si consideri l’equazione lineare omogenea

z(n)(x) + a₁z(n−1)(x) +· · · + anz(x) = 0 (7.1.0.1) dove aj sono costanti.

Per trovare tutte le soluzioni si devono trovare le radici dell’equazione caratteristica associata:

λⁿ+ a1· λn−1+ a2· λn−2+· · · + an−1· λ + an = 0. (7.1.0.2) Lemma 7.1.0.1. Se le radici λ_j di (7.1.0.2) sono tutte distinte, allora tutte le soluzioni del problema omogeneo (7.1.0.1) sono della forma:

z(t) =

n

X

j=1

C_je^λj·x, dove Cj sono costanti.

Se il polinomio caratteristico

P_n(λ) = λⁿ+ a₁ · λⁿ⁻¹+ a₂· λⁿ⁻²+· · · + an−1· λ + an

ha coefficienti reali ed ha solo radici reali, allora si puo fare la decom-posizione Pn(λ) = (λ− λ1)^m1 · · · (λ − λk)^mk, (7.1.0.3) dove λ1 < λ2 <· · · < λk e m1+ m2+· · · + mk = n.

La fattorizzazione (7.1.0.3) permette a dire che la molteplicita di λ1 e m1 e la molteplicita di ogni radice λj ´e mj per j = 1,· · · , k.

Lemma 7.1.0.2. Se l’equazione caratterisitica (7.1.0.2) ha radice reale λ1

con molteplicita‘ m₁ , allora (7.1.0.1) ha soluzioni

e^λ1x, xe^λ1x

· · · x^m1−1e^λ1x

Lemma 7.1.0.3. Se le radici

λ1 < λ2 <· · · < λk

di (7.1.0.2) sono tali che λ_j ha molteplicit´a m_j per j = 1,· · · , k, allora tutte le soluzioni del problema omogeneo (7.1.0.1) sono della forma:

z(x) = C1,0e^λ1·x+ C1,1 x e^λ1·x+· · · + C1,m1−1 x^m1−1 e^λ1·x+ +C2,0e^λ2·x+ C2,1 x e^λ2·x+· · · + C2,m2−1 x^m2−1 e^λ2·x+ +· · · + +C_k,0e^λk·x+ C_k,1 x e^λk·x+· · · + Ck,mk−1 x^mk−1 e^λk·x= k X j=1 mXj−1 ℓj=0 Cℓj,j x^ℓj e^λj·x, dove C_ℓj,j sono costanti.

123

Problema 7.1.0.1. Trovare le soluzioni dell’equazione z⁽³⁾− z^′+ 2z = 0

Soluzione. L’equazione caratteristica ´e λ³− λ + 2 = 0. Abbiamo l’identita

λ³− λ + 2 = (λ − 1)²(λ + 2). Le radici della equazione caratterisitica sono

1, 2

con milteplicita 2 e 1. Applicando Lemma 7.1.0.3 si trova che le soluzioni sono combinazioni lineari di

e^t, te^t, e^2t cioe

z(t) = C1,0e^t+ C1,1te^t+ C2e^2t.

In generale il polinomio puo avere k soluzioni reali λ1,· · · , λk

ed s soluzioni complessi

µ1, µ2,· · · , µs.

Se il polinomio Pn(λ) ha coefficienti reali e µ ´e una sua radice comp-lessa, allora µ ´e anche sua radice. Cosi deduciamo che s ´e pari, s = 2p, p naturale e possiamo ragruppare tutte le radici complessi come segue

µ₁, µ₁, µ₂, µ₂,· · · , µp, µ_p.

La fattorizzazione (7.1.0.3) puo avere una forma piu generale: Pn(λ) = (λ− λ1)^m1

· · · (λ − λk)^mkQ(λ), (7.1.0.4) dove

Q(λ) = (λ− µ1)^q1(λ− µ1)^q1

· · · (λ − µp)^qp(λ− µp)^qp

Lemma 7.1.0.4. Se

µ1 = α1+ iβ1, µ1 = α1− iβ1

hanno molteplicit´a 1 allora due soluzioni di (7.1.0.1) sono e^α1xcos(β1x), e^α1xsin(β1x)

Problema 7.1.0.2. Trovare le soluzioni dell’equazione z⁽³⁾− z(2) + z^′− z = 0

Soluzione. L’equazione caratteristica ´e λ³− λ²+ λ− 1 = 0. Abbiamo l’identita

λ³− λ²+ λ− 1 = (λ − 1)(λ¹+ 1). Le radici sono

1, i,−i Le soluzioni sono combinazioni lineari di

e^t, cos t, sin t cioe

z(t) = C₁et+ C₂cos t + C₃sin t.

Lemma 7.1.0.5. Se l’equazione caratterisitica (7.1.0.2) ha radice com-plessa

µ1 = α1 + iβ1

con molteplicita‘ q₁ , allora soluzioni di (7.1.0.1) sono le combinazioni lineari di

e^α1xcos(β1x) xe^α1xcos(β1x) x²e^α1xcos(β1x) · · · x^q1−1e^α1xcos(β1x) e^α1xsin(β₁x) xe^α1xsin(β₁x) x²e^α1xsin(β₁x) · · · x^q1−1e^α1xsin(β₁x)

125

Lemma 7.1.0.6. Se l’equazione caratterisitica (7.1.0.2) ha k radici reali

λ1,· · · , λk

ed 2p soluzioni complessi

µ1, µ1,· · · , µp, µp, allora tutti soluzioni di (7.1.0.1) sono

z(x) = z_λ1(x) + z_λ2(x) +· · · + zλk(x)(x)+ +zµ1(x) + zµ2(x) +· · · + zµp(x), dove

zλ1, zλ2,· · · , zλk

sono le soluzioni costruiti in Lemma 7.1.0.2, mentre zµ1(x), zµ2,· · · , zµp

sono le soluzioni costruiti in Lemma 7.1.0.5.

Problema 7.1.0.3. Trovare le soluzioni dell’equazione y⁽⁴⁾− 4y⁽³⁾+ 7y^′′− 6y^′+ 2 = 0 Suggerimento. L’equazione caratteristica ´e

λ⁴− 4λ³+ 7λ²− 6λ + 2 = 0. Abbiamo l’identita

λ⁴− 4λ³+ 7λ²− 6λ + 2 = (λ − 1)²((λ− 1)²+ 1). Le soluzioni sono combinazioni lineari di

7.1.1 Il metodo delle variazioni delle costanti per

equazioni a coefficienti costanti di ordine n

Si consideri l’equazione lineare non - omogenea

y⁽ⁿ⁾(t) + a1y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · · + any(t) = f (t) (7.1.1.5) dove aj sono costanti reali.

Nella sezione 7.1 abbiamo studiato le soluzioni del problema omo-geneo (7.1.0.1). partendo delle soluzioni dell’equazione caratteristica

λⁿ+ a1λⁿ⁻¹+· · · + an = 0. (7.1.1.6) Possiamo trovare soluzioni del problema omogeneo.

In alcuni casi si puo trovare un metodo piu’ veloce per costruire una soluzione.

Il caso f (t) = P_m(t). Sia:

f (t) = P_m(t),

dove Pm(t) ´e un polinomio di grado m. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo

u(t) = Qm(t),

dove Qm(t) ´e un polinomio formale di grado m. Se λ = 0 ´e una soluzione dell’equazione caratteristica di molteplicit´a r, allora si deve cercare una soluzione del tipo:

u(t) = t^rPm(t).

Il caso f (t) = A.eαt. Sia:

f (t) = A· e^αt

dove A ´e una costante data. Se α non ´e una radice dell’equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

Il metodo delle variazioni delle costanti per equazioni lineari 127

dove B ´e una costante da determinare. Nel caso α sia radice dell’equazione caratteristica di molteplicit´a r si cerca una soluzione del tipo:

u(t) = t^r· B · eαt. Il caso f (t) = Pm(t).eαt.

Sia:

f (t) = Pm(t)· eαt

dove P_m(t) ´e un polinomio di grado m. Se α non ´e una radice dell’equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

u(t) = Q_m(t)· eαt

dove Qm´e un polinomio di grado m. Nel caso α sia radice di molteplicit´a r si cerca una soluzione del tipo:

u(t) = t^r· Qm(t)· eαt

Il caso f (t) = Pm(t) cos(βt)eαt+ Qm(t) sin(βt)eαt

Se f possiede una delle seguenti espressioni:

f (x) = P_m(t) cos(βt)e^αt+ Q_m(t) sin(βt)e^αt,

dove Pm(t) e Qm(t) sono polinomi di grado m, allora se α+iβ non ´e una radice dell’equazione caratteristica si cerca una soluzione particolare del tipo:

u(t) = R_m(t) cos(βt)e^αt+ S_m(t) sin(βt)e^αt

dove R_m(t) e S_m(t) sono polinomi di grado m da determinare. Nel caso α + iβ sia radice di molteplicit´a r si cerca una soluzione del tipo:

7.2 Esercizi sulle equazioni lineari di

Nel documento Analisi Matematica 1. Differenziabbilit´a. Integrazione. Equazioni ordinarie (pagine 117-129)