Quando non si hanno informazioni a priori sulla geometria da considera- re, un’analisi di sensitivit`a per il funzionale (3.1) ha poco significato, poich`e considera lo sforzo lungo una direzione arbitraria. Una quantit`a pi`u signifi- cativa per valutare il Wall Shear Stress quando non se ne conosce la direzione `e invece la sua norma. Il funzionale che considereremo ora `e dunque
J2(u, p) =
Z
Σkσn − (n
Tσn)nkψ(x) dΣ (3.9)
Osserviamo che a differenza di (3.1), `e non lineare. Il codice utilizzato per le simulazioni con la geometria cilindrica non pu`o essere usato anche in questo caso. Cerchiamo dunque di esprimere il funzionale e la sua sensitivit`a in maniera pi`u opportuna. Indichiamo per semplicit`a w =−σn. Il funzionale
(a) x
pu`o essere scritto
J2(w) =
Z
Σpkw − (w · n)nk
2ψ(x) dΣ
Deriviamo l’espressione precedente ∂J2 ∂w(δw) = Z Σ 1 2 1 pkw − (w · n)nk2 2 (w− (w · n)n, δ(w − (w · n)n)) ψ dΣ = 3 X j=1 Z Σ 1 kw − (w · n)nk(w− (w · n)n, δw − (δw · n)n) ψ dΣ = 3 X j=1 Z Σ wj− (w · n)nj kw − (w · n)nkδwjψ dΣ = 3 X j=1 Z Σ ˜ ψj(u, p)δwjdΣ avendo posto ˜ ψj(u, p) = wj− (w · n)nj kw − (w · n)nkψ (3.10)
La condizione al contorno per il problema aggiunto consiste quindi nell’im- porre su Σ φ= 3 X j=1 ˜ ψj(u, p)ej
Abbiamo testato questa nuova procedura sulla geometria cilindrica, in quan- to per il problema di Poiseuille i funzionali J1 e J2 si equivalgono, essendo
il WSS non nullo solo nella componente z. I risultati di sensitivit`a ottenuti sono gli stessi presentati finora.
3.4.1 La biforcazione carotidea
Abbiamo applicato il codice implementato e le tecniche descritte ad una geometria reale, proveniente da una TAC di una carotide destra in un pazien- te con patologie vascolari. Tali dati sono stati forniti al laboratorio MOX del Politecnico di Milano dalla Divisione di Chirurgia Vascolare e di Radiologia del Policlinico di Milano, grazie ad una collaborazione con la Fondazione IRCCS C`a Granda.
In Figura3.10riportiamo la soluzione del sistema di Navier Stokes calco- lata con questa geometria, avendo posto un profilo di Poiseuille in ingresso. `
E evidente la situazione patologica del paziente: `e chiaramente visibile una stenosi in corrispondenza della biforcazione, la quale causa una zona di bas- sa pressione e alta velocit`a. Se osserviamo anche il campo degli sforzi a
parete in Figura 3.11 vediamo chiaramente come la zona affetta da stenosi sia quella a WSS pi`u alto.
Calcoliamo dunque la sensitivit`a del funzionale J2 introdotto nel para-
grafo precedente rispetto alla velocit`a massima in ingresso. Consideriamo 2 regioni, una sul lato esterno del vaso (Figura 3.4.1) e una sulla parete all’interno vicino al punto di biforcazione (Figura 3.4.1). Indichiamo ri- spettivamente con JA
2 il funzionale sulla parete esterna corrispondente alla
funzione peso con i parametri • x0 = 0.3, y0 = 0.75 e z0= 1.97
• d0 = 0.15.
e con J2B quello corrispondente ai parametri • x0 = 0.38, y0 = 0.62 e z0 = 2.08
• d0 = 0.13.
Le soluzioni dei 2 problemi duali corrispondenti sono visibili nelle Figure
3.12 e 3.13 e le sensitivit`a rispetto alla velocit`a in ingresso sono riportate nella tabella3.5. Vediamo come i valori di sensitivit`a siano molto alti. Come gi`a visto nel caso del cilindro, essi saranno una stima per eccesso del valore esatto. Sottolineiamo inoltre che essi indicano di quanto aumenterebbe lo sforzo a parete nel caso si raddoppiasse la velocit`a in ingresso, ed essendo il problema non lineare, `e possibile che l’aumento sia notevole.
Tabella 3.5: Sensitivit`a di J2 rispetto alla velocit`a massima in inflow per la
geometria carotidea
∂J2
∂η(δη) J2
A 1329.82 25.3977 B 2244.41 35.0178
Riportiamo infine in Figura 3.14 le mappe di sensitivit`a sulle sezioni di inflow. In entrambi i casi sono evidenti le due zone gi`a discusse per quanto riguarda la componente z.
(a) Velocit`a - sezione longitudinale
(b) Velocit`a - slice trasversali
(c) Pressione
(a) Lato interno
(b) Lato esterno
(a) Velocit`a aggiunta
(b) Pressione aggiunta
Figura 3.12: Soluzione aggiunta del sistema duale nella carotdide con JA 2
(a) Velocit`a aggiunta
(b) Pressione aggiunta
Figura 3.13: Soluzione aggiunta del sistema duale nella carotdide con JB 2
(a) JA 2
(b) J2B
Conclusioni e sviluppi futuri
Il presente lavoro ha permesso un inquadramento teorico generale del- l’analisi di sensitivit`a del Wall Shear Stress in applicazioni emodinamiche. Sebbene ci si sia concentrati su perturbazioni di dati al bordo, il procedi- mento introdotto pu`o essere applicato per l’analisi della sensitivit`a rispetto a qualunque parametro del problema.
L’analisi di sensitivit`a si `e confermata essere una tecnica computazional- mente vantaggiosa in quanto richiede sempre la risoluzione di sistemi lineari invece che non lineari. Inoltre, la possibilit`a di riutilizzare la soluzione del problema aggiunto ne fa una tecnica estremamente versatile. La soluzione aggiunta, infatti, contiene gi`a tutte le informazioni relative alla dipendenza del funzionale dai parametri, per cui una volta determinato il funzionale di interesse, a partire dalla soluzione duale `e possibile calcolare la sensiti- vit`a rispetto a qualunque parametro, semplicemente risolvendo un problema lineare o calcolando dei residui.
Un ulteriore risultato di questo lavoro `e stato l’arricchimento della libre- ria Lif eV di tutti gli algoritmi necessari al calcolo delle sensitivit`a presen- tate, aprendo un possibile nuovo ramo di sviluppo. L’analisi `e stata estesa anche a geometrie reali, sia dal punto di vista teorico, sia implementativo.
Dalle analisi presentate si `e osservata inoltre una forte dipendenza dei risultati dalla mesh utilizzata. Poich`e si stanno trattando perturbazioni piccole dei parametri, `e necessario ridurre al minimo il contributo degli errori numerici per ottenere un risultato affidabile. Potrebbe perci`o risultare utile accompagnare l’analisi ad una adattivit`a di griglia.
Tra i possibili sviluppi di questo lavoro vi sono l’estensione a problemi tempo-dipendenti, quali le equazione di Navier Stokes non stazionarie, o la trattazione della sensitivit`a rispetto a perturbazione dei parametri di tipo aleatorio, oppure l’analisi di sensitivit`a rispetto alla geometria, dati gli errori inevitabili nella ricostruzione da immagini TAC. Infine, la sensitivit`a rispetto ai parametri di discretizzazione, con eventuale adattazione di griglia.
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