In questa prima parte siamo interessati a studiare le soluzioni di equazioni P (X) = 0 dove P (X) ∈ Q[X]; in altri termini siamo interessati alle estensioni finite di Q. Avremo quindi da considerare estensioni finite di campi L/K dove K è un’estensione finita di Q.
Sarà fondamentale assumere che tutti i campi considerati sono sotto campi di un grande campo Ω (l’universo); cioè che ogni polinomio P (X) ∈ K[X] ha tutte le sue radici in Ω. Come Ω possiamo prendere un qualsiasi campo algebricamente chiuso contenente il campo base Q; tradizionalmente si prende Ω = C, anche se sarebbe più naturale prendere Ω = Q, la chiusura algebrica di Q. Per noi sarà Ω = Q.
Per riassumere:
Tutti i campi considerati nel seguito sono estensioni algebriche finite di Q e sono tutti sotto campi del campo algebricamente chiusoΩ (Ω = Q). In particolare tutti i polinomi considerati hanno tutte le loro radici inΩ.
2.2.1 Separabilità.
Il lettore si convincerà facilmente che non c’è alcun problema nel rimpiazzare Q con un qualsiasi campo di caratteristica zero. Le cose invece non vanno così bene se si rimpiazza Q con un campo di caratteristica p > 0. Questo è dovuto al fatto che nel studiare le soluzioni di P (X) = 0, è opportuno distinguere i casi secondo cuiP (X) abbia o meno radici multiple.
Sech(K) = 0 e se P (X) ∈ K[X], allora P (X) ha una radice multipla se e solo se P (X) e P0(X) hanno una radice comune. In particolare se P (X) è irriducibile suK, P (X) non ha radici multiple in K (Esercizio 10).
In caratteristicap > 0, questo ragionamento non regge più perché la deriva-ta può essere identicamente nulla senza che il polinomio sia una cosderiva-tante, per esempio seP (X) = Xp− a e ch(K) = p, allora P0(X) = 0. Questo fenomeno porta delle complicazioni (cf Esercizio 11).
Per tenere conto di questo fenomeno si introduce la nozione di separabilità (separare le radici).
Definizione 2.18. Sia L/K e a ∈ L. L’elemento a ∈ L è separabile su K se esiste un polinomioP (X) ∈ K[X], senza radici multiple, tale che P (a) = 0. L’estensioneL/K è separabile se ogni a ∈ L è separabile su K.
Non avremo molto da preoccuparci della separabilità nel caso delle esten-sioni di Q (ma dovremo ricordarcene quando avremo a che fare con campi di caratteristicap > 0, per esempio campi finiti):
28 2 La corrispondenza di Galois.
Dimostrazione. Siaa ∈ L. Il polinomio minimo Ma(X) ∈ K[X] è irriducibile e quindi non ha nessuna radice in comune con la sua derivata, pertantoMa(X)
non ha radici multiple (inK). ut
2.2.2 Teorema dell’elemento primitivo.
Se K/L è un’estensione algebrica finita allora possiamo scrivere L nella for-ma: L = K(α1, ..., αn) dove α1, ..., αn ∈ L sono algebrici su K. Infatti se [L : K] = n e se (α1, ..., αn) è una base del K-spazio vettoriale L, og-ni elemento α ∈ L si scrive: α = P aiαi, ai ∈ K. Viceversa ogni poli-nomio P ai1i2...inαi1
1αi2
2...αin
n , ai1i2...in ∈ K si esprime nel modo precedente perché ogni monomio αi1
1αi2
2...αin
n è combinazione lineare degli αi. Quindi L = K[α1, ..., αn] e pertanto L = K(α1, ..., αn) (perché, appunto, gli αi sono algebrici su K, cf Lemma 2.12). Si dice che L è stato ottenuto aggiungendo (l’espressione è di Galois) a K gli elementi α1, ..., αn (cioè si è esteso K con l’aggiunta degliαi).
Il teorema dell’elemento primitivo permette di semplificare drasticamente la situazione.
Teorema 2.20. (Teorema dell’elemento primitivo)
Sia L/K un’estensione finita con ch(K) = 0. Allora esiste α ∈ L tale che L = K(α).
In queste condizioni [L : K] = deg(Mα(X)) dove Mα(X) è il polinomio minimo di α su K.
Dimostrazione. Induzione su n = dimK(L). Se n = 1 non c’è nulla da di-mostrare. Supponiamo l’asserto vero per le estensioni diK di dimensione < n. Sia L/K con [L : K] = n. Prendendo una base di L su K possiamo scrivere L = K(α1, ..., αn) = K0(αn) con K0 = K(α1, ..., αn−1). Siccome [K0: K] < n, per ipotesi di induzioneK0= K(a), a ∈ K0. In conclusione ci siamo ricondotti a dimostrare il teorema perL = K(a, b).
Siano Ma(X), Mb(X) i polinomi minimi di a, b su K. Questi polinomi fattorizzano completamente in Ω: Ma(X) = Q(X − ai) (a1 = a), Mb(X) = Q(X − bj) (b1 = b). Inoltre ai 6= al se i 6= l perché ch(K) = 0 (idem per i bj). Sia R = {(ai−a)
(b−bj) | i, j > 1}. Prendiamo t ∈ K \ (K ∩ R) (K è infinito perché ch(K) = 0) e poniamo z = a + tb. Per concludere basta mostrare che K(a, b) = K(z).
Sia H(X) = Mb(z−X
t ) ∈ K[z](X). Abbiamo H(a) = 0. Sia D(X) ∈ K[z](X) il M.C.D. di H(X) e Ma(X). Abbiamo deg(D(X)) ≥ 1 perché D(a) = Ma(a) = 0. Le altre radici di H sono rj = a + t(b − bj). Per la scelta dit, rj 6= ai sei, j > 1. Concludiamo che D(X) = X − a ∈ K[z](X). Quindi −D(0) = a ∈ K[z]. Siccome b = (z − a)/t anche b ∈ K[z]. Pertanto K(a, b) = K(z).
2.2 Estensioni separabili, teorema dell’elemento primitivo. 29
Osservazione 2.21. La dimostrazione precedente mostra che basta scegliere t inK al di fuori dell’insieme finito K ∩ R. Visto che (sotto le nostre ipotesi) K è infinito, abbiamo solo l’imbarazzo della scelta. SeK fosse un campo finito, ci sarebbe un problema. Il teorema dell’elemento primitivo è ancora vero se ch(K) > 0, sotto opportune ipotesi di separabilità.
Un elementoz ∈ L tale che L = K(z) si chiama elemento primitivo (su K). Da quanto precede un elemento generico diL ha una forte tendenza ad essere un elemento primitivo. Cercheremo di precisare questo discorso più avanti.
Osserviamo che seK ⊂ F ⊂ L e se L = K(z), allora L = F (z) (perché K(z) ⊂ F (z) ⊂ L).
30 2 La corrispondenza di Galois.
Esercizi.
Esercizio 10
1. Sia L un campo e siano P (x), Q(x) ∈ L[x]. Si assume P (x) irriducibile. Mostrare che seP e Q hanno una radice in comune (in qualche estensione diL), allora P | Q in L[x].
2. Sia k un campo di caratteristica zero e sia P (X) ∈ k[X] un poli-nomio irriducibile. Mostrare cheP (X) non ha radici multiple (in qualsiasi estensione dik).
Esercizio 11
1. Siaf (x) ∈ k[x] e sia L/k un campo di spezzamento di f . Mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:
a) f ha una radice multipla in L
b) esisteα ∈ L tale che f (α) = f0(α) = 0 c) esisteM (x) ∈ k[x] tale M | f e M | f0
2. Si dice che f (x) è separabile su k se ogni fattore irriducibile di f non ha radici multiple inL. Se f è irriducibile mostrare che f è inseparabile (non separabile) se e solo sech(k) = p > 0 e f (x) = g(xp).
3. SiaK con ch(K) = p. Mostrare che se x, y ∈ K, allora (x + y)p= xp+ yp
(usare la formula del binomio). Concludere cheΦ : K → K : x → xp è un morfismo di campi (Φ è il morfismo di Frobenius).
4. Sia K0 ' Fp il campo primo di K (quello dato dalla caratteristica, cioè l’intersezione di tutti i sotto campi diK). Sia KΦ= {z ∈ K | Φ(z) = z}. Mostrare cheKΦ= K0.
5. Sia K = Fp e sia f (x) ∈ K[x]. Mostrare che se f (x) = g(xp), allora f non è irriducibile (usare il punto precedente o il piccolo teorema di Fermat per mostrare chef = hp). Concludere che ognip(x) ∈ K[x] è separabile. Nota: Si può mostrare che se K (ch(K) > 0) è algebrico su il suo cam-po primo allora ogni p(x) ∈ K[x] è separabile. Ma esistono polinomi inseparabili in caratteristicap.
Esercizio 12 Sia K un campo quadratico (cioè K è un’estensione di Q con [K : Q] = 2).
1. Mostrare che ogni elemento diK \ Q è primitivo.
2. Più generalmente se[K : Q] = p dove p è un numero primo, mostrare che ogni elemento diK \ Q è primitivo.
Esercizio 13 Dare un’esempio di un’estensione K/Q di grado 4 (i.e. [K : Q] = 4) con un elemento α ∈ K non primitivo.
Esercizio 14 Sia K = Q(√2,√5) e sia ξ =√2 +√5. 1. Mostrare cheK = Q(ξ)
2.2 Estensioni separabili, teorema dell’elemento primitivo. 31
2. Determinare[K : Q]
3. Determinare Mξ(X), il polinomio minimo di ξ su Q (osservare che ξ2= 7 + 2√2√5).
Esercizio 15 Sia K(α)/K un’estensione algebrica.
1. Mostrare che l’applicazione: mα : K(α) → K(α) : z → αz è un endomorfismo delK-spazio vettoriale K(α).
2. Mostrare che il polinomio caratteristico dell’endomorfismo mα è il poli-nomio minimo,Mα(X), di α su K.
Esercizio 16 Sia K(α)/K un’estensione algebrica. Sia z ∈ K(α) e sia r = [K(α) : K(z)]. Si ricorda che se B = (y1, ..., yq) è una base del K-spazio vettoriale K(z) e se (v1, ..., vr) è una base del K(z)-spazio vettoriale K(α), alloraC = (yivj) è una base del K-spazio vettoriale K(α).
1. Sia M la matrice del K-endomorfismo: mz : K(z) → K(z). Allora PM(X) = |X · Id − M | = Mz(X) (Esercizio 15). Sia M = (aij). Quindi zyi = P
laliyl. Considerare zyivj e scrivere mat(mz; C, C). Concludere che il polinomio caratteristico,Cz(X), del K-endomorfismo: mz: K(α) → K(α) è dato da: Cz(X) = Mz(X)r.
2. Concludere che il grado di ogni z ∈ K0 = K(α) divide [K0 : K]; inoltre z è primitivo se e solo se Mz(X) = Cz(X). (Il grado di z è il grado del polinomio minimo diz su K.)