In questo capitolo verr`a esposta la master equation, attraverso cui si pu`o conoscere l’e- voluzione dell’operatore densit`a del sistema aperto, conoscendo il tipo di interazione con l’ambiente circostante. A partire da essa `e possibile ottenere la scala temporale in cui avviene la decoerenza. Ricordiamo che, ad un istante fissato, si pu`o ottenere l’opera- tore densit`a relativo ad un sistema aperto entangled con l’ambiente, anche attraverso l’operazione di traccia parziale sull’ambiente dell’operatore densit`a del sistema totale. Successivamente verr`a esposto come applicare la master equation ad un oscillatore ar- monico smorzato e si cercher`a di valutare il tasso di decoerenza per il sistema. Quanto illustrato `e tratto da [4].
3.1
Master equation in approssimazione Markoviana
L’evoluzione dell’operatore densit`a di un sistema aperto, pu`o essere descritta anche da un’equazione differenziale, l’analogo dell’equazione di Schr¨odinger per i sistemi aperti, solo nel caso in cui il sistema si pu`o definire Markoviano, vale a dire locale nel tempo. Questo significa che, considerato il sistema quantistico aperto A, l’operatore densit`a in un istante molto vicino ad un tempo fissato t, ρA(t + dt), dev’essere completamente de-
terminato da ρA(t). Il fatto che il sistema totale, cio`e la coppia sistema-ambiente AE, sia
chiuso, segua l’equazione di Schr¨odinger e quindi sia locale nel tempo, non assicura che questo valga per il singolo sistema A. La questione sorge per i sistemi aperti a causa della dispersione dell’informazione nell’ambiente, la quale pu`o, in linea di principio, tornare indietro. Si apre quindi la possibilit`a che ρA(t + dt) non sia completamente determinato
da ρA(t), cosa che si presenta se l’informazione, persa precedentemente, torna al siste-
ma A nell’intervallo di tempo considerato. Chiaramente un sistema aperto puramente Markoviano non esiste, poich´e non si pu`o rimuovere la possibilit`a che l’informazione tor-
ni indietro. Tuttavia per alcuni sistemi aperti, pu`o essere una buona approssimazione. Indichiamo con ∆tamb, il tempo che occorre affinch´e l’informazione sia completamente
persa, o anche il tempo in cui l’ambiente ’dimentica’ l’informazione ottenuta dal sistema. Trascorso questo tempo, non c’`e possibilit`a che l’informazione torni al sistema. Fissiamo un certo intervallo di tempo, che indichiamo con ∆tgrande. L’approssimazione Markovia-
na ha senso quando la scala temporale della dinamica del sistema considerato, ∆tdinamica
`
e tale che:
∆tdinamica ∆tgrande ∆tamb. (3.1)
Quest’approssimazione implica che dopo ciascun incremento infinitesimo dt nell’evolu- zione del sistema totale, AE, lo stato dell’ambiente viene sostituito con uno non pi`u entangled, in quell’istante, con il sistema A. Questo `e il significato dell’affermazione secondo cui, dopo un certo tempo, l’ambiente dimentica l’informazione ricevuta.
Superoperatore di Liouville Come riportato nel Capitolo 1, l’evoluzione infinitesima del vettore d’onda relativo ad un sistema quantistico chiuso, approssimata al primo ordine, ponendo ~ = 1, `e data da:
|ψ(t + dt)i = I − iH(t)dt |ψ(t)i , (3.2) da cui si ottiene quella dell’operatore densit`a corrispondente:
ρ(t + dt) = ρ(t) − idt[H, ρ(t)]. (3.3) Nel caso di un sistema aperto, come abbiamo imparato nel Capitolo 2, l’evoluzione di ρ `
e descritta da un canale quantistico; nel caso infinitesimo avremo:
ρ(t + dt) = εdt(ρ(t + dt)). (3.4)
Espandendo il canale quantistico εdt e fermandosi al primo ordine, si ottiene:
εdt = I + dtL, (3.5)
in cui L `e chiamato Superoperatore di Liouville. Sostituendo la nuova espressione di εdt
otteniamo:
dρ
dt = L(ρ). (3.6)
La soluzione di quest’ultima equazione differenziale `e la seguente, se L `e indipendente dal tempo:
ρ(t) = eLt(ρ(0)). (3.7) Il canale quantistico si pu`o riscrivere in funzione degli operatori di Kraus; supponendo che M0 = I + O(dt) e che i restanti Ma con a = 1, 2, ... siano dell’ordine di
√ dt, avremo: ρ(t + dt) = εdt(ρ(t)) = X a Maρ(t)M†a = ρ(t) + O(dt). (3.8)
Possiamo interpretare Macon a = 1, 2, ..., come degli operatori che determinano dei salti
quantistici che si presentano con probabilit`a O(dt) e M0 come descrivente l’evoluzione
del sistema se non avvengono dei salti. Si pu`o scrivere: M0 =I + (−iH + K)dt
Ma=
√
dtLa, a = 1, 2, ...
(3.9) in cui H e K sono operatori autoaggiunti, e H, K e La sono di ordine zero nel tempo.
L’operatore K si pu`o determinare attraverso la relazione di completezza degli operatori di Kraus, tenendo i termini al primo ordine:
I =X a M†aMa = I + dt(2K + X a L†aLa) + ... (3.10) oppure, K = 1 2 X a L†aLa. (3.11)
Sostituendo nell’equazione 3.8 otteniamo la master equation, in cui {a = 1, 2, ...}: dρ dt = L(ρ) = −i[H, ρ] + X a LaρL†a− 1 2L † aLaρ − 1 2ρL † aLa. (3.12)
Il primo termine `e hamiltoniano e determina l’evoluzione unitaria; il secondo termine invece, descrive le transizioni possibili a cui il sistema pu`o essere soggetto a causa del- l’interazione con l’ambiente. Nella rappresentazione di Heisenberg, in cui l’operatore densit`a `e indipendente dal tempo, si pu`o riscrivere la master equation a cui `e soggetto un operatore, questa volta dipendente dal tempo, associato ad una certa osservabile. L’evoluzione dell’operatore si pu`o scrivere come:
A(t + dt) = ε∗dt(A(t)) =X
a
M†aA(t)Ma, (3.13)
da cui la master equation: dA dt = L ∗ (A) = i[H, A] +X a L†aALa− 1 2L † aLaA − 1 2AL † aLa. (3.14)
Si possono ridefinire gli operatori di Kraus effettuando una trasformazione unitaria, del tipo:
L0µ=X
a
VµaLa, (3.15)
in cui Vµa sono gli elementi di una matrice unitaria. In questo caso M0 `e stato lasciato
invariato. La trasformazione unitaria determina solo un cambio di base che, chiaramente, non influenza la dinamica.
3.2
Esempi
Ora riportiamo degli esempi che ci daranno la percezione di quanto velocemente un sistema macroscopico perda la coerenza quantistica.
Oscillatore armonico smorzato Consideriamo come sistema aperto un oscillato- re armonico, il quale viene accoppiato con l’ambiente attraverso il seguente operatore hamiltoniano:
Hint =
X
k
gk(ab†k+ a†bk), (3.16)
in cui a `e l’operatore di distruzione di un quanto dell’oscillatore, b†k `e l’operatore di creazione di un fotone nel modo k e gk`e una costante di accoppiamento. Questi operatori
sono definiti da:
[a, a†] = I; (3.17)
la loro azione sugli autostati ortogonali, indicati con {|ni} `e data da: a |ni = |n − 1i√n,
a†|ni = |n + 1i√n + 1. (3.18) Supponiamo che l’ambiente sia vicino allo zero assoluto, per cui dall’oscillatore non vengono assorbiti fotoni. Se quelli emessi non interagiscono con l’oscillatore si pu`o con- siderare il sistema di tipo Markoviano. Definiamo un unico operatore L nel seguente modo:
L =√Γa, (3.19)
in cui Γ = P
kΓk `e il tasso di decadimento dell’oscillatore dal primo stato eccitato allo
stato fondamentale e Γk `e il tasso associato al modo k. Dal momento che, descrivere
un oscillatore armonico nello stato eccitato n `e analogo a descrivere n particelle non interagenti, il tasso di decadimento associato allo stato eccitato n nello stato n − 1 `e nΓ. Scriviamo la master equation:
dρ dt = −i[H0, ρ] + Γ(aρa †−1 2a † aρ − 1 2ρa † a), (3.20)
in cui H0 = ωa†a `e l’hamiltoniana dell’oscillatore. Questa equazione rappresenta lo smor-
zamento dovuto alle emissioni di fotoni. Passiamo alla rappresentazione di Heisenberg e scriviamo la master equation per l’operatore A(t):
dA dt = i[H0, A] + Γ(a † Aa†− 1 2a † aA −1 2Aa † a). (3.21)
Per risolverla poniamo a(t) = f (t)a; l’equazione diventa: df dta =iωf (t)[a †a, a] + Γf (t)(a†aa − 1 2a †aa − 1 2aa †a) =(iω +Γ 2)f (t)[a † , a]a ⇒ df dt = −(iω + Γ 2)f (t). (3.22)
La soluzione `e f (t) = e−i−Γt/2f (0); in conclusione la soluzione per a(t) `e:
a(t) = e−iωt−Γt/2a(0). (3.23) Il numero di occupazione dell’oscillatore, definito come n = a†a, decade, nella rappre- sentazione di Heisenberg, come:
n(t) = e−Γtn(0). (3.24) Γ risulta essere il tasso di smorzamento dell’oscillatore. Interpretando lo stato eccitato n di un oscillatore come n particelle non interagenti, ciascuna con probabilit`a di decadere Γ, per unit`a di tempo, abbiamo ottenuto la legge di decadimento di una popolazione di particelle. Al fine di valutare il tasso di decoerenza, definiamo il seguente stato coerente:
|αi = e|α|2/2eαa†|0i = e|α|2/2
∞ X n=0 αn √ n! |ni ; (3.25) Si pu`o mostrare che |αi `e l’autostato normalizzato di a con autovalore α. Dal momento che l’operatore a non `e autoaggiunto, due autostati coerenti con autovalori differenti, α e β, non sono ortogonali. Infatti:
| hα|βi |2 = e−|α|2e−|β|2e2Re(α∗β)= e−|α−β|2. (3.26) Si pu`o mostrare, nella rappresentazione di Schr¨odinger, che uno stato inizialmente coe- rente resta coerente, con un’ampiezza di decadimento; infatti:
|αi 7→
αe−Γt/2 . (3.27)
Consideriamo ora che lo stato iniziale dell’oscillatore sia una sovrapposizione di stati coerenti:
|ψi = Nα,β(|αi + |βi), (3.28)
in cui Nα,β `e una costante di normalizzazione; oppure scriviamo l’operatore densit`a:
ρ = Nα,β2 (|αi hα| + |αi hβ| + |βi hα| + |βi hβ|). (3.29) I termini fuori dalla diagonale decrescono esponenzialmente:
|αi hβ| → eiφ(α,β)eΓt|α−β|2/2
αeΓt/2 βeΓt/2
in cui eiφ(α,β) `e un fattore di fase. In conclusione, i termini non diagonali decadono esponenzialmente con il seguente tasso di decadimento:
Γdecorenza =
1
2Γ|α − β|
2; (3.31)
Se |α − β|2 1, il tasso di decoerenza `e molto maggiore del tasso di smorzamento. Il valore di aspettazione del numero di occupazione n in uno stato coerente `e dato da < n >= hα| a†a |αi = |α|2. Se α e β hanno dei moduli confrontabili ma fasi molto
differenti, Γdecorenza `e circa Γ < n >, che rappresenta il tasso di emissione di un singolo
fotone. Questo tasso `e pi`u grande rispetto a quello di dissipazione, se n `e grande1.
Ora consideriamo un oscillatore entangled con un ambiente che si trova a temperatura T , non nulla. Vedremo che il tasso di decoerenza `e ancora pi`u grande e che, quindi, la decoerenza avviene incredibilmente veloce per i sistemi macroscopici. Il numero di occupazione termica dei fotoni, con frequenza confrontabile con quella dell’oscillatore, `e nγ `e approssimabile a:
nγ ≈
T
~ω, (3.32)
valida per T ~ω. Per un oscillatore con energia E = ~ωnosc, si ottiene:
Γdecoerenza Γsmorzamento ∼noscnγ ∼ E ~ω T ~ω ∼mω 2x2 ~ω T ~ω ∼ x2mT ~2 ∼ x 2 λ2 T , (3.33)
in cui abbiamo sostituito a E l’energia potenziale dell’oscillatore armonico e in cui λT
`
e la lunghezza d’onda termica di De Broglie. Da quest’ultima uguaglianza si nota che il tasso di decoerenza per oggetti macroscopici `e molto elevato e che quindi il processo avviene molto velocemente.
Il gatto di Schr¨odinger Supponiamo che il sistema considerato sia composto da un atomo, che per semplicit`a tratteremo come un qubit, e da un gatto. Lo stato dell’atomo, in generale, sar`a una sovrapposizione degli stati di base ortonormali {|0i , |1i}; lo stato del gatto, invece, lo descriviamo attraverso la base di stati {|vivoi , |mortoi}. I due sistemi sono soggetti a entanglement, cio`e lo stato di vita o di morte del gatto viene correlato allo stato del qubit; in particolare, se l’atomo di trova nello stato |0i, il gatto sar`a morto, se invece l’atomo si trova nello stato |1i il gatto sar`a vivo. Come pu`o, realisticamente, uno stato dell’atomo determinare se il gatto vivr`a oppure no? Pu`o accadere se uno dei due stati dell’atomo pu`o in qualche modo determinare la rottura di una fiala di veleno, letale per il gatto. Supponiamo ora di porre il sistema in una scatola chiusa. Il paradosso
1L’azione dell’operatore n sugli autostati ortogonali {|ni} `e: n |ni = |ni n; quindi n `e l’autovalore
consiste nel fatto che `e proprio la misura a determinare il collasso in uno dei due stati dell’atomo e quindi la vita o la morte del gatto, motivo per cui appare corretto affermare che, prima di aprire la scatola, essendo l’atomo in una sovrapposizione di stati, allo stesso modo lo `e il gatto, ovvero contemporaneamente vivo e morto. Quindi supposto che lo stato iniziale del sistema sia |ψii = |vivoi |1i, dopo un certo tempo, a scatola chiusa, lo
stato del sistema composto sar`a:
|ψi = [|vivoi |1i + |mortoi |0i]/√2, (3.34) e l’operatore densit`a associato al sistema sar`a:
ρ = |ψi hψ| =1
2[|vivoi h1| |1i hvivo| + |mortoi h0| |0i hmorto| + |vivoi h0| |1i hmorto| + |mortoi h1| |0i hvivo|].
(3.35)
Come affermato in [1], la decoerenza gioca un ruolo fondamentale nel superamento del paradosso. Si deve considerare che il sistema atomo-gatto non potr`a mai essere comple- tamente isolato dall’ambiente circostante, quindi, l’informazione sulla sovrapposizione si disperder`a nell’ambiente. Il fenomeno risulta in uno smorzamento che far`a decrescere esponenzialmente i termini diagonali dell’operatore densit`a. In breve tempo, questi an- dranno a zero. In prima approssimazione infatti, il sistema atomo-gatto si pu`o trattare come l’oscillatore armonico di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente. Per que- sto motivo, l’ignoranza dell’osservatore prima di aprire la scatola sar`a di tipo classico, poich´e lo stato del gatto non sar`a mai in una sovrapposizione di stati neppure prima della misura, eccetto per un tempo brevissimo di decoerenza, ma sar`a o vivo o morto.
Conclusioni
Ripercorriamo i passi appena compiuti. Con l’obiettivo di spiegare il fenomeno della decoerenza, abbiamo ripreso brevemente i postulati della meccanica quantistica descri- venti i sistemi perfettamente isolati, poi ridefiniti attraverso l’operatore densit`a. Questo strumento ci ha permesso di avere un formalismo adatto a descrivere i sistemi quantistici aperti, sistemi pi`u realistici, in cui `e contemplata la possibilit`a di scambiare energia e informazione con l’ambiente circostante e di cui abbiamo riportato i postulati. Abbiamo utilizzato il fenomeno dell’entanglement per descrivere le interazioni tra il sistema con- siderato e l’ambiente. Parallelamente ci siamo concentrati sul meccanismo della misura, generalizzandola rispetto alla misura come proiezione ortogonale. La teoria dei sistemi aperti tratta la misura come qualunque altra interazione con l’ambiente che determina la perdita di coerenza quantistica, in cui lo strumento di misura, cos`ı come l’ambiente, `e considerato un sistema quantistico. Questa teoria, quindi, permette di sapere perch´e il collasso dello stato di un sistema quantistico pu`o avvenire in stati ben definiti, seppure prima di conoscere il risultato della misura, ignoti. `E risultato possibile anche stimare il tempo in cui la decoerenza si manifesta e in cui un oggetto quantistico interagente con l’ambiente, perde la possibilit`a di essere in una sovrapposizione di stati. Questo significa che, dopo un brevissimo tempo di decoerenza, la non conoscenza dell’osservatore assume un carattere classico poich´e a tutte le alternative possibili sono associate probabilit`a clas- siche. `E proprio questa considerazione che permette di affermare che la classicit`a emerge dall’interazione di sistemi di per s´e quantistici, con l’ambiente. Quantitativamente, il tempo di decoerenza si pu`o ottenere attraverso l’equazione differenziale che descrive l’e- voluzione dell’operatore densit`a di un sistema aperto, la master equation per sistemi locali. Abbiamo visto, inoltre, che il fenomeno risulta irreversibile, cio`e determina un aumento di entropia, se il sistema e l’ambiente sono entangled. Tuttavia, la teoria non spiega per quale motivo si ha esperienza di un solo risultato tra quelli possibili, domanda a cui, ad esempio, l’interpretazione a Molti Mondi, tenta di rispondere. Per approfondire la questione, si consulti [3].
Bibliografia
[1] Isaac L. Chaung, Michael A. Nielsen. Quantum computation and Quantum information, Cambridge University Press, 2010.
[2] A. Friedman, L. Susskind. Meccanica quantistica, il minimo indispensabile per fare della (buona) fisica, Raffaello Cortina Editore, 2015.
[3] Gian C. Ghirardi. Un’occhiata alle carte di Dio, Il Saggiatore, 1997.
[4] J. Preskill. Quantum Information, California Institute of Technology, 2015. [5] R. Zucchini. Quantum Mechanics: Lecture Notes, 2019.
[6] Wojciech H. Zurek. Decoherence and the transition from Quantum to Classical- Revisited, Los Alamos Science Numero 27, pagina 2, 2002.