Fattori che influenzano la determinazione del coefficiente d

2.2.1.1 Lunghezza del campione

Come abbiamo visto in precedenza, dagli studi di Firoozabadi, Thomas e Todd (1995) e di Civan e Evans (1998), si è giunti alla conclusione che la determinazione della permeabilità k e del coefficiente di flusso non-Darcy β sia influenzata dalla lunghezza del campione.

Civan e Evans (1998) hanno condotto sperimentazioni per evidenziare l’effetto che la lunghezza del campione esercita sulla determinazione del coefficiente di flusso non-Darcy, in particolar modo nei campioni a bassa permeabilità nei quali si ha una caduta di pressione maggiore.

Essi hanno impiegato una serie di campioni di arenaria di diverse lunghezze per generare dati sperimentali che correlassero la caduta di pressione differenziale e la portata al fine di calcolare β e k, ricorrendo all’approccio delle pseudo- pressione.

I valori ottenuti sono poi stati espressi in funzione della lunghezza del campione (1,2,3 e 4 pollici) per determinare la sensibilità di tali valori alla

lunghezza del campione stessa. Nella figura 2.3 seguente risulta chiaro che la permeabilità media e il coefficiente non-Darcy dipendono da tale lunghezza . I valori rappresentativi di permeabilità e coefficiente non-Darcy sono stati ottenuti estrapolando dal grafico precedente i valori limite di queste due grandezze, cioè i valori a cui le due grandezze si stabilizzano aumentando la lunghezza del campione.

Figura 2.3. Effetto della lunghezza del campione sui dati sperimentali (Civan e Evans 1998).

Come si può vedere la lunghezza rappresentativa del campione necessaria per ottenere delle misure accurate è 10 cm.

Comunque occorre notare che i valori di e k~ β~ estrapolati nell’esempio sono i valori medi di k e β per il materiale poroso, e non i valori locali di k e β misurati in vari punti del campione. Si può inoltre notare che gli errori provocati dal non usare la lunghezza rappresentativa sono rilevanti. Se, per esempio si utilizza un campione di 1 pollice invece di uno di 10cm l’errore su β sarebbe pari al e l’errore su k sarebbe pari al .

% 21 %

15 −

In seguito sono stati simulati dei dati per due formazioni, una ad alta permeabilità, l’altra a bassa permeabilità risolvendo l’equazione Di Forchheimer con il metodo numerico di Runge-Kutta.

Nel primo caso si è ipotizzato di avere un campione con k = 600md e β = 3·105 cm-1 ad una temperatura di 290 K. I dati simulati sono stati ottenuti per campioni lunghi 1,2,4,8 pollici e di diametro 1 pollice.

I dati sono poi stati inseriti prima nella legge di Forchheimer con le pressioni al quadrato [2.15], e poi in quella con le pseudo-pressioni [2.23], e successivamente si è proceduto al confronto dei risultati ottenuti.

I dati, così ottenuti, si dispongono sulla stessa retta per diverse lunghezze dei campioni, si ottengono sempre i valori ipotizzati di permeabilità e del coefficiente di flusso non-Darcy impiegati per generare i dati simulati usati nei calcoli sia per l’approccio delle pressioni al quadrato che per quello con le pseudo pressioni.

In questo caso l’effetto della lunghezza del campione non è stato osservato, poiché all’interno dei campioni ad alta permeabilità si manifestano piccole variazioni della pressione del gas.

Nel secondo caso si è ipotizzato di avere un campione a bassa permeabilità con k=0,02 md e β = 2,6 1010 cm-1,m sottoposto alle stesse condizione e con le stesse dimensioni procedendo in maniera analoga al caso precedente.

Le permeabilità e il coefficiente di flusso non-Darcy sono stati determinati secondo l’equazione con le pseudo-pressioni [2.23], che fornisce una migliore rappresentazione lineare dei dati rispetto all’equazione con le pressioni al quadrato [2.15].

Estrapolando per una lunghezza rappresentativa del campione pari a 30 cm otteniamo nuovamente i valori ipotizzati per generare i dati simulati usati nei calcoli (figura 2.4).

Se, per esempio si utilizza un campione di 1 pollice invece di uno di 30cm l’errore su β sarebbe pari al 13% e l’errore su k sarebbe pari al 4%.

Figura 2.4. Effetto della lunghezza del campione sui dati simulati (Civan e Evans 1998).

2.2.2 Effetto Klinkenberg

Milton-Tayler (1993) ha effettuato uno studio per chiarire come la costante di slip e il coefficiente di flusso dipendano dal tipo di gas flussato, dal mezzo poroso e dalle condizioni di flusso.

A tal fine ha condotto sperimentazioni sia su mezzi porosi consolidati che non consolidati.

La permeabilità e il coefficiente di flusso non-Darcy sono considerati come proprietà del mezzo poroso, quindi indipendenti dal tipo di fluido da cui il mezzo poroso è attraversato. Klinkenberg assume che il fattore b sia costante. Ma recentemente Ertekin (1986) ha scoperto che gli stessi dati di Klinkenberg mostrano che il fattore di Klinkenberg b aumenta man mano che aumenta la pressione nei pori.

Il comportamento non lineare della relazione di Klinkenberg è spesso attribuita ad effetti inerziali, ma la distinzione tra effetti inerziali e una reale variazione di b con la pressione influenza alla fine l’estrapolazione di dati per pressioni elevate.

Milton-Tayler giunse alla conclusione che il valore b aumenta all’aumentare della pressione e che non dovrebbe essere considerato una costante nell’estrapolazione per la determinazione della permeabilità.

Milton-Tayler pervenne alla conclusione che per i tre gas testati il coefficiente di flusso non-Darcy β è indipendente dal tipo di gas flussato, come invece ipotizzato da Tiss e Evans (1989).

Lo slippage aumenta lungo il campione man mano che la pressione diminuisce (figura 2.5). Quindi integrando l’equazione di Klinkenberg lungo l’intero campione si ottiene:

(

[

)]

dove p1 e p2 sono rispettivamente le pressioni in ingresso e in uscita.

2.2.3 Regime transitorio

Martins e altri (1990) hanno notato che la determinazione del coefficiente di flusso non-Darcy non è univoca ma si possono notare due valori di tale grandezza come mostrato in figura 2.6.

Figura 2.6. Andamento della regressione dell’equazione di Forchheimer (Mylton Tayler 1993).

Sull’asse verticale sono riportati i valori di ΔP/μVL, mentre sull’asse orizzontale sono riportati i valori di . La pendenza rappresenta β, mentre l’intersezione con l’asse delle y rappresenta 1/k. Ne può risultare un errore di valutazione anche del 40%.

μ

ρ /V

Inoltre Milton-Tayler osservò un cambiamento di pendenza nella retta e quindi del coefficiente di flusso non-Darcy attribuito a un cambiamento del flusso. Il punto di transizione, rappresentato dal cambio di pendenza, che porta a un flusso inerziale completamente sviluppato, è definito da un valore di , ed è indipendente dalla lunghezza caratteristica (il diametro dei grani).

μ

Al fine di ottenere una comprensione maggiore del passaggio tra il flusso inerziale parzialmente sviluppato e quello totalmente sviluppato, sono stati effettuati esperimenti con mezzi non consolidati, composti da particelle di varie grandezze. Se tale transizione è il risultato di variazioni nella struttura del flusso intorno ai singoli grani, una distribuzione di grani di grandezza simile dovrebbe amplificare questo effetto (poiché avviene simultaneamente in tutto il campione). Quindi la transizione potrebbe essere il risultato di cambiamenti microscopici che avvengono nel flusso all’interno del campione. Si può ipotizzare che i vortici che si sviluppano localmente nei pori più grandi (prima che si sviluppino nei pori più piccoli dove sia la velocità del flusso che il diametro sono piccoli), inizialmente tentano di espandersi in un regime di flusso transitorio. Per questa ragione inizialmente il coefficiente di flusso non-Darcy è maggiore. Quando il flusso inerziale si sviluppa attraverso il campione, una sorta di sinergia si sviluppa tra vortici vicini tra loro, e il coefficiente di flusso non-Darcy si riduce.

Se si definisce β2 come la pendenza del grafico a bassi ρ /V μ, mentre β1 come

la pendenza ad alti ρ /V μ, allora il rapporto β2/β1 definisce la nettezza della

transizione. Un improvviso aumento di tale rapporto è evidente man mano che le distribuzioni delle grandezze dei grani diventano meno disperse, più uniformi.

Si può notare che per il campione con distribuzione dispersa si ha un contrasto meno netto tra β1 e β2 rispetto al campione con distribuzione ristretta.

Da quanto finora esposto si può dedurre che la variazione del coefficiente di flusso β a bassi valori di ρ /V μ sia dovuta a variazioni nella struttura del flusso attorno ai singoli grani. Quando la distribuzione della grandezza dei grani all’interno del campione si fa meno dispersa la transizione tra flusso inerziale iniziale e flusso inerziale completamente sviluppato si fa più netta.

Tale flusso non è però turbolento, ma è un flusso che comprende dei ricircoli caratterizzato da perdite di carico proporzionali alla velocità al quadrato, e da un coefficiente inerziale apparentemente costante a partire da. Da studi precedenti è infatti noto che il flusso turbolento inizia a valori di ρ /V μ ancora più alti, inoltre non si ha un aumento apprezzabile del fattore β quando inizia il moto turbolento.