Fattori che influenzano la transizione

Livello di turbolenza

Un parametro molto importante nella transizione da laminare e turbolento dello strato limite è il “grado di disturbo” del flusso principale. Tale dipendenza fu subito chiara in passato quando furono condotte misure di resistenza su sfera in diverse gallerie del vento [3]: si notò che il Reynolds critico della sfera, ovvero il numero di Reynolds a cui il coefficiente di resistenza subisce un calo repentino, dipendeva fortemente dall’intensità delle perturbazioni del flusso principale.

Il grado di disturbo del flusso principale può essere misurato quantitativa- mente attraverso il valore medio nel tempo delle fluttuazioni di velocità u′2_,

v′2_{, w}′2_{, secondo la formula dell’intensità di turbolenza:} T u = q 1 3(u ′2_{+ v}′2_{+ w}′2₎ U∞ (2.42) Di norma le gallerie del vento sviluppano flussi isotropi, cioè flussi con flut- tuazioni medie delle velocità nelle tre direzioni paragonabili fra loro, pertanto la 2.42 diventa: T u = p u′2 U∞ (2.43) Le misure di resistenza sulla sfera in diverse gallerie del vento evidenziarono un aumento considerevole del Recrit al diminuire dell’intensità di turbolenza

Tu. Un valore tipico delle gallerie del vento di prima generazione è circa Tu = 0,01. Tale dipendenza del Recritcon Tu si riscontra anche nel caso della lastra

piana, come evidenziato in figura 2.10.

Figura 2.10: Effetto dell’intensità di turbolenza sul Recrit per una lastra piana

ad incidenza nulla

Va evidenziato che, andando progressivamente a valori più bassi dell’inten- sità di turbolenza, si osserva una stabilizzazione del Re critico a circa 3, 9 · 106

per la soglia di Tu ≈ 0,001; il valore del Reynolds critico è quindi limitato superiormente. Poiché nei primi test si operava con Tu relativamente elevati, erano osservabili immediate transizioni dovute a disturbi casuali, senza alcuna selezione o presenza di disturbi mono-frequenza indotti dallo sperimentatore. Successivamente con la possibilità di raggiungere valori di Tu intorno 0,0003, fu verificata, nel caso di disturbi naturali, l’esistenza di onde sinusoidali am- plificate costituenti la fase preliminare della transizione. Confrontando la figura 2.11 si noti come, non appena si raggiunge il valore di indifferenza del numero di Reynolds, appaiano delle onde quasi perfettamente sinusoidali. La loro ampiez-

za cresce all’aumentare del numero di Reynolds, diventando di notevoli dimen- sioni: la transizione è completa con la scomparsa improvvisa di queste onde regolari. Tali onde prendono il nome di onde di Tollmien-Schlichting (TS).

Figura 2.11: Effetto dell’intensità di turbolenza sul Recrit per una lastra piana

ad incidenza nulla

Gradiente di pressione

Il caso visto in precedenza di un flusso che lambisce una lastra piana si distingue per il fatto che i vari profili delle velocità sono simili tra loro, in- fatti l’analisi della stabilità porta ad una unica mappa. Questa somiglianza è conseguenza della costanza della pressione del flusso principale.

Nel caso più generale in cui si ha la presenza di un gradiente di pressione che varia lungo la direzione del flusso, per esempio lungo un profilo alare, i profili di velocità mutano lungo la coordinata parallela al moto del fluido, quindi per ogni punto del profilo alare è presente una mappa di stabilità. Possono essere distinte zone con profili di velocità senza punti di inflessione, nei tratti dove la pressione diminuisce, e zone con profili provvisti di punti di inflessione, dove si ha il recupero di pressione.

Per la lastra piana si individua un unico valore del numero di Reynolds di indifferenza pari a 520; per i profili alari, invece, nelle zone in cui la pressione diminuisce il valore del Reynolds di indifferenza sarà maggiore, mentre sarà minore laddove la pressione aumenta. Nella maggior parte dei casi si hanno

profili con raggi di curvatura molto maggiori dello spessore dello strato limite, per cui possono essere trascurati i termini centrifughi e si può fare riferimento a geometrie piane sottoposte agli stessi gradienti di pressione. Inoltre, mentre la velocità del flusso principale su lastra piana è costante e pari a U∞, ora si

ha un flusso Ue(x) che varia lungo la coordinata x ed è legato al gradiente di

pressione lungo x dalla legge di Bernoulli:

dp

dx = −ρUe dUe

dx (2.44)

Nonostante la dipendenza del flusso principale dalla coordinata x, è possibile effettuare un’analisi della stabilità con gradiente di pressione considerando un flusso U(y) dipendente dalla sola coordinata y. Infatti il gradiente di pressione controlla la curvatura del profilo di velocità, in accordo con l’equazione di Navier Stokes valutata sulla parete:

µd 2_u dy2     y=0 = dp dx (2.45)

Dunque la forte dipendenza del limite di stabilità con la forma del profilo di velocità si traduce in una grande influenza da parte del gradiente di pres- sione: gli strati limite laminari in presenza di caduta di pressione (dp/dx < 0,

dUe/dx > 0, flusso accelerato) sono molto più stabili di quelli in presenza di

recupero di pressione (dp/dx > 0, dUe/dx < 0, flusso decelerato).

In figura 2.12 si nota la forte influenza del gradiente di pressione sulla sta- bilità e sull’amplificazione di piccole perturbazioni in un flusso su di una lastra piana in presenza di gradiente di pressione. Nella parte alta è stato evidenzi- ato che per cadute di pressione del 10% rispetto alla pressione di ristagno, i disturbi vengono completamente smorzati, mentre un successivo aumento della pressione del 5% non solo amplifica tali disturbi, ma da inizio immediatamente alla transizione. Nello studio della stabilità in presenza di gradiente di pressione è utile descrivere l’effetto di tale gradiente per mezzo di un fattore di forma del profilo di velocità, in modo da utilizzare una singola famiglia di parametri. Pertanto si introduce il parametro di Polhausen:

Λ = δ

2

ν dUe

dx (2.46)

Ipotizzando un profilo di velocità del quarto ordine e tenendo conto del Polhausen, si ottiene la seguente polinomiale:

U (y) Ue = 2y ∗ −2y ∗ 3 +4y ∗4+Λ 6y ∗ (1 − y∗ 3_), y∗ = y_δ (2.47)

Figura 2.12: Oscillogramma delle fluttuazioni di velocità in uno strato limite laminare con gradiente di pressione. Le cadute di pressione agiscono come smorzatore, i recuperi di pressione amplificano fortemente i disturbi e portano alla transizione laminare-turbolento

0 la pressione cresce e il profilo di velocità presenta un punto di inflessione. Valutando le mappe di instabilità in figura 2.13 per ogni famiglia di profili di velocità si ricava l’andamento del Reynolds d’indifferenza, come in figura 2.14. In conclusione si può affermare che, noto l’andamento di Λ sul profilo a par- tire dal gradiente di pressione, è possibile ricavare la distribuzione del numero di Reynolds riferito allo spessore dello strato limite locale δ1. Quindi è suffi-

ciente confrontare tale valore con quello di indifferenza, dipendente anch’esso dal Polhausen, ed ottenibile dal grafico in figura 2.14: quando il valore del Reδ1 calcolato per una determinata sezione del profilo supera il valore del Reδ

Figura 2.13: Curve di stabilità neutrale a differenti fattori di forma, Λ