12.1 Insiemi convessi in spazi vettoriali
Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale. Un insieme A si dice convesso se per ogni coppia di punti x, y ∈ A il segmento che li congiunge:
(1− t)x + ty : t ∈ (0, 1) e‘ interamente contenuto in A.
L’intersezione di due insiemi convessi e‘ ancora un insieme convesso. Invilupo conveso
Inviluppo convesso (o talvolta involucro convesso) di un qualsiasi sot-toinsieme I di uno spazio vettoriale reale l’intersezione di tutti gli in-siemi convessi che contengono I.
Poiche’ l’intersezione di insieme convessi e‘ a sua volta convessa, una definizione alternativa di inviluppo convesso e‘ ”il piu‘ piccolo insieme convesso contenente I”.
L’inviluppo convesso si puo‘ costruire come l’insieme di tutte le combinazioni convesse di punti di I, cioe‘ tutti i punti del tipo
X
j
αjxj, 159
160 Funzioni convesse in domini convessi
dove gli xj sono punti di I e αj sono numeri reali positivi a somma 1, ovvero
X
j
αj = 1, αj ≥ 0.
Evidentemente, se I ´e convesso, il suo inviluppo convesso ´e I stesso.
Politopi convessi
Si possono dare due definizioni di politopi convessi che, abbastanza facilmente, si dimostrano equivalenti.
Definizione 12.1.2. Si dice V-politopo l’inviluppo convesso di un in-sieme finito di punti di uno spazio Rd.
Definizione 12.1.3. Si dice H-politopo una intersezione di un certo numero di semispazi di uno spazio Rd che sia limitato, cioe‘ che non contenga nessuna semiretta.
Per dimensione di un politopo convesso si intende la dimensione del minimo sottospazio che lo contiene. Ad es. un poligono collocato nello spazio reale a tre dimensioni va considerato come un 2-politopo.
Due politopi convessi P e Q si dicono affinemente isomorfi se esiste una trasformazione affine tra i due spazi che li contengono che e‘ una biiezione fra i due insiemi di punti P e Q.
12.2 Funzioni convesse in domini convessi
Sia A⊆ Rn un insieme convesso e chiuso.
Definizione 12.2.1. Una funzione f : A → R si dice strettamente convessa se per ogni coppia di punti x, y∈ A del dominio si ha:
161
Convessit´a della funzioni di pi´u variabili e collegamento con funzioni convesse di una variabile
Lemma 12.2.1. Sia f : A→ R con A convesso e siano x, y∈ A; x 6= y.
Posto
φ(t) = f (tx + (1− t)y) : [0; 1] → R provare l’implicazione seguente:
f (strettamente) convessa =⇒ φ (strettamente) convessa. Disequazione di Jensen
Lemma 12.2.2. Data una funzione f :Rn → R strettamente convessa e dati xj punti di Rnabbiamo
f X j αjxj ! ≤X j αjf (xj), dove αj sono numeri reali positivi a somma 1, ovvero
X
j
αj = 1, αj ≥ 0. La dimostrazione si puo vedere in [4] Covessit´a e limitatezza superiormente
Problema 12.2.1. (ogni funzione strettamente convessa e localmente limitata sup. nei punti interni di A) Data una funzione f : A → R strettamente convessa e x0 interno di A vedere se esiste δ > 0 e C > 0 tale che
kx − x0k ≤ δ =⇒ x ∈ A, f(x) ≤ C.
Suggerimento. Usare la disequazione di Jensen e il fatto che ogni palla {x; kxk ≤ R}
162 Funzioni convesse in domini convessi
Definizione 12.2.2. Sia Ω⊆ Rn aperto. Una funzione f : Ω⊆ Rn→ Rm si dice lipschitziana su Ω se esiste K > 0 tale che:
kf(x) − f(y)k ≤ Kkx − yk per ogni x, y∈ Ω.
Definizione 12.2.3. Sia Ω⊆ Rn aperto. Una funzione f : Ω⊆ Rn→ Rm si dice LOCALMENTE lipschitziana su Ω se per ogni x0 ∈ Ω esiste δ > 0 e K > 0 tale che:
kf(x) − f(y)k ≤ Kkx − yk per ogni
x, y ∈ Ω, kx − x0k ≤ δ, ky − x0k ≤ δ.
Problema 12.2.2. Sia Ω ⊆ Rn aperto. Se f : Ω ⊆ Rn → Rm e LOCALMENTE lipschitziana e Ω ´e connesso per archi, allora f ´e lipschitziana in Ω.
Problema 12.2.3. Sia A aperto e connesso. Data una funzione f : A→ R strettamente convessa vedere se
kx − x0k ≤ r =⇒ |f(x) − f(x0)| ≤ M − f(xr 0)kx − x0k, dove
M = sup
kx−x0k=r
f (x). Suggerimento. Vogliamo verificare la disequazione
kx − x0k ≤ r =⇒ |f(x) − f(x0)| ≤ M − f(x0) r kx − x0k, dove M = sup kx−x0k=r f (x). La disequazione si puo rescrivere come
kx − x0k ≤ r =⇒ f(x) − f(x0)≤ M − f(x0)
163
kx − x0k ≤ r =⇒ −f(x) + f(x0)≤ M − f(xr 0)kx − x0k. (12.2.2) Per (12.2.1) si puo prendere y1 tale che
ky1− x0k = r, x = (1 − α)x0+ αy1, 0 < α < 1, dove
α = kx − x0k
r .
La funzione f (x) ´e convessa, quindi
f (x)≤ αf(y1) + (1− α)f(x0) =⇒ f(x) − f(x0)≤ (M − f(x0))α. e quindi abbiamo (12.2.1).
Per (12.2.2) si prende y2 tale che
ky2− x0k = r, x0 = βx + (1− β)y2, 0 < β < 1, dove β = r r +kx − x0k, 1− β = kx − x0k r +kx − x0k. La funzione f (x) ´e convessa, quindi si ha
f (x0)≤ βf(x)+(1−β)f(y2) =⇒ (r+kx−x0k)f(x0)≤ rf(x)+kx−x0kM =⇒ =⇒ r(f(x0)− f(x)) ≤ kx − x0k(M − f(x0))
e quindi otteniamo (12.2.2)
Problema 12.2.4. Sia A aperto e connesso. Data una funzione f : A→ R strettamente convessa vedere se f ´e continua.
Problema 12.2.5. Sia A aperto e connesso. Data una funzione f : A→ R strettamente convessa ed due numeri reali 0 < r < r0 vedere se
kx − x0k ≤ r, ky − x0k ≤ r =⇒ |f(x) − f(y)| ≤ M − m r0− r kx − yk, dove M = sup kx−x0k≤r0 f (x), m = min kx−x0k≤r0 f (x)
164 Funzioni convesse in domini convessi
Problema 12.2.6. (Teorema di Locale Lipschitzianit´a.) Sia A aperto e connesso. Data una funzione f : A → R strettamente convessa vedere se f ´e localmente Lipschiziana.
Problema 12.2.7. Data una funzione differenziabile f : A → R ´e strettamente convessa vedere se per ogni coppia di punti
x, y∈ A, x 6= y del dominio si ha:
h∇f(x) − ∇f(y), (x − y)i > 0.
Lemma 12.2.3. Se f : A→ R ha derivate parziali seconde continue, allora f ´e convessa se e solo se la matrice hessiana Hf(x) ´e semidefinita positiva in ogni punto x∈ A.
Lemma 12.2.4. Se f : A→ R ha derivate parziali seconde continue, allora f ´e strettemente convessa se e solo se la matrice hessiana Hf(x) ´e definita positiva in ogni punto x∈ A.
Problema 12.2.8. (Mini - progetto da svolegre.) Sia A aperto e con-nesso. Data una funzione f : A→ R strettamente convessa e derivabile vedere se f ´e differenziabile.
Unicit´a del minimo delle funzione convesse Sia A⊆ Rn un insieme chiuso e convesso.
Lemma 12.2.5. Sia f : A⇒ R strettamente convessa e sia x0 punto di minimo assoluto. Allora si ha che non esistono altri punti di minimo assoluto.
Dimostrazione. Sia x0 ∈ A punto di minimo assoluto, al quale associ-amo il minimo assoluto
m = f (x0).
Si ha quindi per definizione di minimo assoluto che: m = f (x0)≤ f(x) ∀x ∈ A.
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Supponiamo per assurdo che esista, un altro punto di minimo as-soluto
x1 ∈ A, necessariamente si ha che:
f (x1) = m
(altrimenti contraddirebbe la definizione di minimo assoluto) Costruiamo il segmento
λx0+ (1− λ)x1 λ ∈ [0, 1].
Usando il fatto che A ´e convesso e f ´e strettamente convessa, otte-niamo:
f (λx0+ (1− λ)x1) < λf (x0) + (1− λ)f(x1) = λm + (1− λ)m = m Cioe‘ abbiamo determinato un intero segmento
λx0+ (1− λ)x1
formato da punti la cui immagine tramite f ´e minore del minimo as-soluto il che ´e un assurdo. Questo assurdo ´e nato dall’aver supposto l’esistenza di un altro punto di minimo assoluto, e quindi non pu´o esistere.
12.3 Esercizi sulle funizioni convesse
Problema 12.3.1. Poniamo J0(x) = 1 2kxk2 p, dove kxkp = n X j=1 |xj|p ´e p > 1.
Si provi che: J0 ´e una funzione strettamente convessa e differenzi-abile.
166 Esercizi sulle funizioni convesse
Problema 12.3.2. Sia h, i prodotto scalare in Rn e v∈ Rn. Poniamo J(x) = 1
2kxk2 − hx, vi
Si provi che: J ´e una funzione strettamente convessa e differenziabile. Problema 12.3.3. Sia h, i prodotto scalare in Rn e v∈ Rn. Poniamo
J(x) = 1
2kxk2 − hx, vi Si provi che:
kxkk → ∞ =⇒ J(xk)→ ∞.
Problema 12.3.4. Sia h, i prodotto scalare in Rn e v∈ Rn. Poniamo J(x) = 1
2kxk2 − hx, vi
Si provi che: J ha minimo su Rn ed il punto di minimo ´e v.
Problema 12.3.5. Sia h, i prodotto scalare in Rn e v∈ Rn. Poniamo J(x) = 1
2kxk2 − hx, vi
Se K ⊆ Rn ´e un convesso chiuso, allora J ha minimo su K ed il punto di minimo u ´e l’unica soluzione in K della disequazione variazionale
hu, w − ui ≥ hv, w − ui, ∀w ∈ K. Problema 12.3.6. Sia kxkpp = xp1 + xp2, p > 1 e sia c = min kxk2 2=1kxk4 4. Descrivere l’insieme {x ∈ R2;kxk4 4 = c,kxk2 = 1}.
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Risposta. Sia
f (x) =kxk4
e λ ´e molteplicatore di Lagrange tale che ∂1f (x) = 2λx1, ∂2f (x) = 2λx2. e quindi abbiamo il sistema
4x31 = 2λx1, (12.3.3) 4x3 2 = 2λx2. Le soluzioni dell’equazione 4y3= 2λy sono y = 0, y = ± r λ 2. Cos’ıle soluzioni del sistema (12.3.3) sono
0,± r λ1 2 ! , ± r λ1 2 , 0 ! (12.3.4) e ± r λ2 2 ,± r λ2 2 ! . (12.3.5) Il vincolo kxk2 = 1 implica λ1 = 2, λ2 = 1. (12.3.6) Abbiamo f (12.3.4) = 1 e f (12.3.5) = 1/2 e quindi c = 1/2 e Card{x : kxk44 = c} = 4.
168 Esercizi sulle funizioni convesse Problema 12.3.7. Sia f (x) = xp1+ xp2, p > 2 e sia c = min kxk2 2=1f (x). Descrivere l’insieme {x ∈ R2; f (x) = c,kxk2 = 1}. Risposta. Card{x : f(x) = c} = 4. Problema 12.3.8. Sia f (x) = q(x1) + q(x2), dove q(y) = y2+ y4− a sin(by). Se c = min kxk2 2=1f (x). Descrivere l’insieme {x ∈ R2; f (x) = c,kxk2 = 1}. Risposta. Card{x : f(x) = c} = 4.
Problema 12.3.9. In ogni insieme A convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento x0 ∈ A tale che: