Esempio 3.17 Data la funzione:
f (x) = x3+ 1
verificare se essa è iniettiva e, in caso affermativo, determinare la funzione inversa. Il grafico della funzione è:
-2 -1 0 1 3 4 -4 -2 2 4
da cui risulta evidente che f (x) è strettamente crescente su tutto R, quindi è iniettiva ed invertibile su tutto R. La funzione inversa si ottiene considerando:
y = x3+ 1 ⇒ x3= y − 1 ⇒ x =p3
y − 1 ed è data da (indicando con x la variabile indipendente):
f−1(x) =√3
x − 1 Il grafico della funzione inversa è il seguente:
-4 -2 2 4
-2 2 4
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni, infine, si ha:
funzione diretta f D = R I = R funzione inversa f−1 D = R I = R
f (x) = √ −x se x ≤ 0 −1x se x > 0
verificare se essa è iniettiva e, in caso affermativo, determinare la funzione inversa. Il grafico della funzione è:
-4 -2 0 2 4 -4 -2 2 4
da cui risulta evidente che in questo caso f (x) non è strettamente monotona su tutto R (infatti è strettamente monotona decrescente sull’intervallo (−∞, 0] e strettamente monotona crescente sull’intervallo (0, +∞) ma non è monotona su R nel suo insieme), tuttavia è iniettiva e quindi invertibile su tutto R (in effetti in questo caso la funzione non è continua — in particolare ha una discontinuità nell’origine — per cui, come indicato prima, la stretta monotonia è una condizione sufficiente, ma non necessaria, per l’invertibilità). La funzione inversa si ottiene considerando:
y =√−x se x ≤ 0 ⇒ x = −y2 se y ≥ 0 y = −1x se x > 0 ⇒ x = −y1 se y < 0
(dove i valori assunti dalla y in ciascuno dei due tratti della funzione inversa possono essere determinati osservando i valori assunti dalla medesima variabile nella corrispon- dente parte di grafico della funzione diretta) ed è data da (indicando con x la variabile indipendente): f−1(x) = −1x se x < 0 −x2 se x ≥ 0
3.6. Funzioni inverse 77
Il grafico della funzione inversa è il seguente:
-4 -2 2 4
-4 -2 2 4
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni, infine, si ha:
funzione diretta f D = R I = R funzione inversa f−1 D = R I = R
Esempio 3.19 Data la funzione:
f (x) = x2+ 3
verificare se essa è iniettiva e, in caso affermativo, determinare la funzione inversa. Il grafico della funzione è:
-2 0 2 4 8 -4 -2 2 4
da cui risulta evidente che in questo caso f (x) non è iniettiva su R (infatti vi sono rette parallele all’asse delle ascisse che intersecano il grafico della funzione in due punti), quindi non è invertibile. La funzione diventa però iniettiva (e quindi inverti- bile) considerando separatamente gli intervalli (−∞, 0] e [0, +∞). Le corrispondenti
cui f è iniettiva) si ottengono considerando:
su (−∞, 0] y = x2+ 3 ⇒ x2= y − 3 ⇒ x = −√y − 3 se y ≥ 3 su [0, +∞) y = x2+ 3 ⇒ x2= y − 3 ⇒ x = +√y − 3 se y ≥ 3
A questo proposito si deve osservare che sul primo dei due intervalli l’espressione corretta da utilizzare è −√y − 3 in quanto i valori corrispondenti della x sono nega- tivi (infatti l’intervallo sul quale si sta effettuando il calcolo della funzione inversa è (−∞, 0]) e tali valori si ottengono considerando appunto la radice quadrata di y−3 pre- ceduta dal segno negativo; sul secondo dei due intervalli, invece, l’espressione corretta da utilizzare è +√y − 3 in quanto i valori corrispondenti della x sono positivi (infatti l’intervallo sul quale si sta effettuando il calcolo della funzione inversa è [0, +∞)) e tali valori si ottengono considerando la radice quadrata di y − 3 preceduta dal se- gno positivo. Si ha allora che la funzione inversa della restrizione di f all’intervallo (−∞, 0] è data da (indicando con x la variabile indipendente):
f−1(x) = −√x − 3 se x ≥ 3 il suo grafico è: -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 2 4 6
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha: funzione diretta f D = (−∞, 0] I = [3, +∞)
funzione inversa f−1 D = [3, +∞) I = (−∞, 0]
La funzione inversa della restrizione di f all’intervallo [0, +∞) invece è data da: f−1(x) =√x − 3 se x ≥ 3
3.6. Funzioni inverse 79 il suo grafico è: -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 2 4 6
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha: funzione diretta f D = [0, +∞) I = [3, +∞)
funzione inversa f−1 D = [3, +∞) I = [0, +∞)
In questo caso, quindi, la funzione f non è iniettiva e perciò non è invertibile, mentre lo sono le sue restrizioni agli intervalli (−∞, 0] e [0, +∞), e le corrispondenti funzioni inverse sono quelle sopra ricavate.
Esempio 3.20 Data la funzione:
f (x) = ex+ 2 se x ≤ 0 −√x se 0 < x < 2 x se x ≥ 2
verificare se essa è iniettiva e, in caso affermativo, determinare la funzione inversa. Il grafico della funzione è:
-2 0 2 6
invertibile. La funzione diventa però iniettiva (e quindi invertibile) considerando sepa- ratamente gli intervalli (−∞, 0], (0, 2) e [2, +∞). Le corrispondenti funzioni inverse (cioè le inverse delle restrizioni di f a ciascuno dei tre intervalli su cui f è iniettiva) si ottengono considerando:
su (−∞, 0] y = ex+ 2 ⇒ x = log(y − 2) se 2 < y ≤ 3
su (0, 2) y = −√x ⇒ x = y2 se −√2 < y < 0
su [2, +∞) y = x ⇒ x = y se y ≥ 2
A questo proposito occorre tenere presente che gli intervalli di definizione di cia- scuna di queste funzioni inverse si determinano osservando sul grafico le immagini delle corrispondenti restrizioni della funzione diretta (che appunto diventano i domini delle inverse, poiché dominio ed insieme delle immagini si scambiano passando da una funzione alla sua inversa).
Si ha allora che la funzione inversa della restrizione di f all’intervallo (−∞, 0] è data da (indicando con x la variabile indipendente):
f−1(x) = log(x − 2) se 2 < x ≤ 3 il suo grafico è: -4 -2 0 2 4 -2 2 4 6
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha: funzione diretta f D = (−∞, 0] I = (2, 3]
funzione inversa f−1 D = (2, 3] I = (−∞, 0]
La funzione inversa della restrizione di f all’intervallo (0, 2) invece è data da: f−1(x) = x2 se −√2 < x < 0
3.6. Funzioni inverse 81 il suo grafico è: -4 -2 0 2 4 -2 2
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha:
funzione diretta f D = (0, 2) I = (−√2, 0)
funzione inversa f−1 D = (−√2, 0) I = (0, 2)
La funzione inversa della restrizione di f all’intervallo [2, +∞) infine è data da:
f−1(x) = x se x ≥ 2 il suo grafico è: 0 5 10 2 4 6
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha:
funzione diretta f D = [2, +∞) I = [2, +∞) funzione inversa f−1 D = [2, +∞) I = [2, +∞)
riche
Con il termine di funzioni elementari si indicano le funzioni (lineari, quadratiche, potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche — oltre a quelle da esse otteni- bili attraverso le consuete operazioni algebriche e l’operazione di composizione —) a partire dalle quali è possibile ottenere funzioni più complesse. Dai loro grafici (e più in generale dai grafici di funzioni note), inoltre, è possibile, attraverso semplici con- siderazioni di tipo geometrico, ricavare i grafici di altre funzioni, legate a quelle di partenza da determinate relazioni.
In particolare, conoscendo il grafico di y = f (x) è possibile ottenere agevolmente i grafici di:
y = −f(x) y = f (−x)
y = f (x) + c con c ∈ R y = f (x + c) con c ∈ R y = cf (x) con c ∈ R\ {0} y = f (cx) con c ∈ R\ {0}
y = |f(x)| y = f (|x|)
Un esempio può essere illustrato considerando come funzione di partenza: y = f (x) = x2− 2x − 3
che è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto la quale interseca l’asse delle ascisse in corrispondenza dei punti A = (−1, 0) e B = (3, 0) e l’asse delle ordinate in corrispondenza del punto C = (0, −3), e il cui grafico è il seguente:
-4 -2 0 2 4 6 -4 -2 2 4 6