Si dicefunzione realeuna funzione f : D✓ R ! C ✓ R. Il graficodi una funzione reale `e il sottoinsieme diR2 definito da
Graph(f ) ={(x, y) 2 R2
| x 2 D, y = f(x)} = {(x, f(x)) 2 R2
| x 2 D} e potremo quindi rappresentarlo in un piano cartesiano Oxy
I La funzione f :R ! R definita da f(x) = x2
ha per grafico la parabola di equazione y = x2
I La funzione f :R \ {0} ! R data da f(x) = 1
x ha per grafico l’iperbole equilatera xy = 1.
Ricordiamo che una funzione associa ad ogni punto del dominio uno e un solo punto del codominio.
Un sottoinsieme del piano `e quindi il grafico di una funzione f (x) se e solo se ogni retta verticale lo intereseca in al pi`u un punto.
Ricordiamo che l’immagine di una funzione f : D! R `e l’insieme Im(f ) ={y 2 R | y = f(x) per qualche x 2 D} = {f(x) | x 2 D} Dato il grafico di una funzione reale y = f (x), il dominio e l’immagine si possono ottenere proiettando il grafico sull’asse x e sull’asse y
rispettivamente, come in figura.
Ricordiamo che data una funzione f : D! R, l’immagine di un sottoinsieme A✓ D `e l’insieme
f (A) ={y 2 R | y = f(x) per qualche x 2 A} = {f(x) | x 2 A} La controimmagine di un sottoinsieme B✓ R `e l’insieme
f 1(B) ={x 2 D | f(x) 2 B}
Dato il grafico di una funzione reale y = f (x), l’immagine f (A) di un insieme A✓ D `e un sottoinsieme dell’asse delle ordinate, mentre la controimmagine f 1(B) di un insieme B✓ R `e un sottoinsieme dell’asse delle ascisse:
⌅l’immagine f (A) si ottiene proiettando sull’asse delle ordinate la porzione di grafico i cui punti (x, f (x)) hanno ascissa che appartiene ad A;
⌅la controimmagine f 1(B) si ottiene proiettando sull’asse delle ascisse la porzione di grafico i cui punti (x, f (x)) hanno ordinata che appartiene a B.
I Data la funzione f (x) = 1
x, l’immagine dell’intervallo (1 2, 3] `e l’intervallo [1
3, 2), mentre la controimmagine dell’intervallo [ 1, 2] `e l’unione ( 1, 1] [ [12, +1).
Ricordiamo che una funzione f : D! R `e iniettiva se
8x1, x22 D si ha che x16= x2 ) f(x1)6= f(x2) o equivalentemente, se
8x1, x22 D si ha che f(x1) = f (x2) ) x1= x2. Dal grafico di una funzione si pu`o riconoscere se questa `e iniettiva:
⌅una funzione reale f : D! C `e iniettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico al pi`u una volta.
Ricordiamo che una funzione f : D! C `e suriettiva se ogni elemento di C `e immagine di qualche elemento del dominio D, cio`e se
8 y 2 C 9 x 2 D tale che f(x) = y , C = Im(f) Dal grafico di una funzione si pu`o riconoscere se questa `e suriettiva:
⌅una funzione reale f : D! C `e suriettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico almeno una volta.
La funzione g :R ! R `e suriettiva, non lo `e h : R ! R
Infine, una funzione f : D! C `e bijettiva se `e iniettiva e suriettiva, quindi
⌅una funzione reale f : D! C `e bijettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico una e una sola volta.
I La funzione f :R \ {1} ! R \ {0} definita da fx) = 1
x 1 `e bijettiva, infatti ogni retta orizzontale y = k, eccetto l’asse x, interseca il suo grafico (l’iperbole di equazione y = 1
Esercizi
A B C
•Il diagramma A rappresenta una funzione
1. y = f (x) iniettiva 3. y = f (x) suriettiva suR 2. y = f (x) non iniettiva 4. x = g(y)
•L’immagine dell’intervallo ( 2, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in B `e l’intervallo
1. ( 2, +1) 3. [ 4, +1) 2. [ 4, 2) 4. ( 2, 0)
•La controimmagine dell’intervallo [3, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in C `e l’intervallo
1. [2, +1) 3. (1, 2] 2. ( 1, 2] 4. [1, 2)
Risposte
A B C
•Il diagramma A rappresenta una funzione
1. y = f (x) iniettiva 3. y = f (x) suriettiva suR 2. y = f (x) non iniettiva 4. x = g(y)
•L’immagine dell’intervallo ( 2, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in B `e l’intervallo
1. ( 2, +1) 3. [ 4, +1)
2. [ 4, 2) 4. ( 2, 0)
•La controimmagine dell’intervallo [3, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in C `e l’intervallo
1. [2, +1) 3. (1, 2]
Esempi notevoli
Nel caso di funzioni reali, spesso si usa indicare solo la legge f (x), sottointendendo che il dominio D `e costituito da tutti i numeri reali per i quali sono possibili le operazioni indicate nella legge (dominio naturale) e come codominio C =R.
I Funzione costante: f (x) = b per ogni x2 R, si ha Dom(f(x)) = R e Im(f (x)) ={b} I Funzione segno: sgn(x) = ® 1 se x > 0, 1 se x < 0, abbiamo Dom(sgn(x)) =R \ {0} e Im(sgn(x)) = { 1; 1}
I Funzione parte intera: f (x) = [x] = n dove n2 Z `e tale che n x < n + 1. Si ha che Dom([x]) = R e Im([x]) = Z
I Funzione lineare: f (x) = ax + b per ogni x2 R, si ha Dom(f (x)) =R e se a 6= 0, Im(f(x)) = R
I Funzione valore assoluto: f (x) =|x| = ®
x se x 0,
x se x < 0, dove Dom(f (x)) =R e Im(f(x)) = [0, +1)
FUNZIONI PERIODICHE
Una funzione f : D✓ R ! R `e detta periodicadi periodo T2 R se • D `e tale che x + T 2 D per ogni x 2 D,
• f (x + T ) = f (x) per ogni x2 D.
Il grafico di tali funzioni si otterr`a mediante traslazione del grafico su un intervallo fondamentale di ampiezza pari al periodo.
ILa funzione mantissa m(x) = x [x] `e un esempio di funzione periodica di periodo 1.
FUNZIONI PARI e DISPARI
Data una funzione reale f : D✓ R ! R , sia D simmetrico rispetto all’origine, cio`e sia tale che se x2 D allora x 2 D.
La funzione `e dettaparise
f ( x) = f (x) per ogni x2 D La funzione `e detta invecedispari se
f ( x) = f (x) per ogni x2 D
Abbiamo che il grafico di una funzione pari risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate mentre quello di una funzione dispari risulta simmetrico rispetto all’origine del piano cartesiano.
Per esempio le funzioni |x| e x2 sono pari, mentre sgn(x), x e x3 sono funzioni dispari.
FUNZIONI MONOTONE
Una funzione f : D✓ R ! R si dicecrescentein un intervallo I✓ D se 8x1, x22 I si ha che x1< x2 ) f(x1) f(x2)
Si dicedecrescentein un intervallo I✓ R se
8x1, x22 I si ha che x1< x2 ) f(x1) f (x2)
Quando vale la disuguaglianza stretta anche per i valori della f (x), allora la funzione si dicestrettamente monotona.
In particolare, la funzione `estrettamente crescentein un intervallo I ✓ D se
8x1, x22 I si ha x1< x2 ) f(x1) < f (x2) `estrettamente decrescentein un intervallo I✓ D se
8x1, x22 I si ha x1< x2 ) f(x1) > f (x2)
Osserviamo che ogni funzione strettamente monotona `e iniettiva
I Per esempio, le funzioni x e x3 sono strettamente crescenti in R, le funzioni |x| e x2 non sono monotone inR ma sono strettamente decrescenti (risp. crescenti) in ( 1, 0] (risp. [0, +1)).
Esercizi
•La funzione f (x) il cui grafico `e rappresentato in figura
1. `e dispari e periodica di periodo 2 3. `e dispari e periodica di periodo 4 2. `e pari e periodica di periodo 2 4. `e pari e periodica di periodo 4
•La funzione f (x) rappresentata in figura
1. `e dispari ed `e decrescente in [ 1, 1] 3. `e dispari ed `e crescente in [ 3, 1] 2. `e pari ed `crescente in [0, 1] 4. `e dispari ed `e decrescente in [ 3, 1]
•Quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?
1. se una funzione `e pari, allora non `e strettamente crescente 2. se una funzione `e periodica, allora non `e strettamente decrescente 3. se una funzione `e dispari, allora `e monotona
Risposte
•La funzione f (x) il cui grafico `e rappresentato in figura
1. `e dispari e periodica di periodo 2 3. `e dispari e periodica di periodo 4
2. `e pari e periodica di periodo 2 4. `e pari e periodica di periodo 4
•La funzione f (x) rappresentata in figura
1. `e dispari ed `e decrescente in [ 1, 1] 3. `e dispari ed `e crescente in [ 3, 1] 2. `e pari ed `crescente in [0, 1] 4. `e dispari ed `e decrescente in [ 3, 1] •Quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?
1. se una funzione `e pari, allora non `e strettamente crescente 2. se una funzione `e periodica, allora non `e strettamente decrescente 3. se una funzione `e dispari, allora `e monotona
4. se una funzione `e dispari, allora non ha segno costante