Generazione degli scenari

Le applicazioni proposte riguardano la gestione dinamica di portafogli costituiti da due e da tre attività. Nella fattispecie, si è scelto di designare quali attività detenute in portafoglio il maggior indice azionario italiano, il FTSE MIB, e un indice obbligazionario italiano costituito da un paniere di bond aventi duration compresa tra 1 e 3 anni (Bloomberg ticker ITG1TR). Nell'applicazione ad un portafoglio a tre titoli, alle due attività citate viene aggiunto un indice obbligazionario italiano rappresentativo di un paniere di bond caratterizzati da

3_{Quelli compresi tra il nodo radice ed i nodi che costituiscono gli scenari.} 4_{Quindi relativo a a(n).}

duration compresa tra 7 e 10 anni (Bloomberg ticker ITG4TR). Nella sezione dedicata alle applicazioni del modello verranno fornite informazioni aggiuntive. In riferimento alla generazione degli scenari, inizialmente ci si era orientati all'utilizzo di una metodologia simulativa per cui l'evoluzione nel tempo dei prezzi delle sopraccitate attività sarebbe stata denita da un moto Brownia- no geometrico. I parametri utilizzati sono stati media e deviazione standard desunti dalle serie storiche delle quotazioni e alla variabile St (si veda l'equa-

zione dierenziale stocastica che denisce il moto Browniano geometrico) è stato associato il valore pari al prezzo delle attività in corrispondenza dell'i- stante temporale designato come nodo radice dell'albero delle decisioni. Dati questi input, si è proceduto al calcolo delle variazioni intervenute in capo al prezzo delle attività utilizzando l'equazione stocastica propria di un processo assimilabile ad un moto Browniano geometrico. Tali variazioni si riferivano all'istante temporale di revisione di portafoglio per cui vi era la necessità di individuare un ristretto numero di valori corrispondenti alle realizzazioni alea- torie che si potevano vericare in quel particolare momento. A tale scopo si è applicata una tecnica di clustering: i valori frutto del processo simulativo sono stati raggruppati in tanti cluster quante erano le possibili realizzazioni aleatorie e successivamente se ne sono determinati i baricentri. Il processo simulativo nalizzato alla denizione delle realizzazioni aleatorie relative al successivo periodo di revisione ha poi utilizzato proprio i valori relativi ai ba- ricentri precedentemente determinati quali parametri di input; chiaramente è stata necessaria una nuova suddivisione in cluster sulla base delle possibili rea- lizzazioni aleatorie relative al secondo periodo di revisione. L'avvicendarsi di simulazioni e suddivisione in cluster dei valori ottenuti ha interessato tutti i sottoperiodi in cui si è ritenuto di ripartire l'orizzonte di investimento.

Si tratta certamente di una metodologia di generazione degli scenari che gode di solide fondamenta teoriche, visto che è ampiamente riconosciuto che l'evoluzione dei prezzi delle attività nanziarie è assimilabile ad un moto Brow- niano geometrico; inoltre, in letteratura vengono utilizzate tecniche di clustring con lo scopo di identicarne nel baricentro il valore delle realizzazioni aleato- rie relative ad un certo istante temporale. Nell'applicare il metodo descritto, tuttavia, presto ci si rese conto che vi erano degli inconvenienti circa l'attribu- zione di un valore di probabilità ai baricentri calcolati; a maggior ragione, non si sapeva come associare una probabilità alle realizzazioni congiunte (ciascu- na attività detenuta in portafoglio era stata oggetto di apposita simulazione). Queste dicoltà hanno fatto propendere verso una generazione secondo la

tecnica del momentsmatching descritta da Høyland e Wallace [17], la quale permette di giungere a scenari che rispettano alcune proprietà statistiche.

The basic idea is to minimize some measure of distance between the statistical properties of the generated outcomes and the specied pro- perties.

La traduzione in termini matematici della precedente aermazione porta alla denizione di un problema di programmazione non lineare, la cui notazione è:

S numero di scenari da generare;

I insieme delle n attività detenute in portafoglio;

Mik kesimo momento della serie storica dei rendimenti dell'asset

i;

Cil covarianza tra i rendimenti dell'asset i e quelli dell'asset l, con

i, l ∈ I;

xij valore associato allo jesimo scenario, con j = 1, . . . , S, in

relazione all'asset i ∈ I;

wik relativo attribuito al momento kesimo;

wil relativo attribuito alla covarianza tra i rendimenti dell'asset i

e quelli dell'asset j;

pj probabilità dello scenario jesimo, con j = 1, . . . , S.

Il problema risulta formulato come segue: min x,p n X i=1 4 X k=1 wik(mik− Mik)2+ X i,l∈I wil(cil− Cil)2 (3.2a) s.t. S X j=1 pj = 1 (3.2b) mi1= S X j=1 xijpj i ∈ I (3.2c) mik = S X j=1 (xij − mi1)kpj i ∈ I, k = 2, 3, 4 (3.2d) cil = S X j=1 (xij − mi1)(xlj− ml1)pj i, l ∈ I (3.2e) pj ≥ 0 j = 1, . . . , Nt. (3.2f)

in portafoglio in modo che questi presentino i primi quattro momenti, nonchè le covarianze tra i rendimenti dei titoli presi a due a due, il più possibile vicini ai valori target. A ben vedere, tuttavia, nel caso del problema arontato in questa sede il fatto che i valori creati rispettino certe proprietà statistiche non ha alcuna rilevanza: i vantaggi derivanti dall'utilizzo del metodo in questione, infatti, sono altri. Innanzitutto occorre mettere in evidenza che il metodo in questione permette di determinare le realizzazioni congiunte delle variabili ca- suali rappresentative dei rendimento dei titoli e contestualmente le probabilità associate alle stesse. Il secondo aspetto positivo è legato proprio alle proba- bilità delle realizzazioni congiunte, che il modello prevede siano delle variabili decisionali. Considerandole, invece, come parametri costanti e imponendo che le realizzazioni siano equiprobabili è possibile sfruttare la formula di calcolo del VaR presentata da Pug [30] per la quale questo sarebbe il αN minor ren- dimento tra tutti quelli possibili in relazione agli scenari generati, dove α è il livello di condenza scelto e N è il numero degli scenari.

Gli alberi costruiti per l'applicazione del modello sono a tre stadi, conce- piscono tre possibili realizzazioni in riferimento al tempo 2 (unico momento in cui viene riconosciuta la possibilità di rivedere la composizione di portafoglio) e nove scenari. Il lasso temporale coperto è in totale di due mesi in modo che ciascun sottoperiodo abbia una durata di un mese. Per la generazione dei suddetti alberi è stata scelta una procedura sequenziale: questa consiste nella specica delle proprietà statistiche relative alle serie storiche dei rendimenti e alla conseguente implementazione del modello (3.9a)(3.9f) in modo da ge- nerare tutte le possibili realizzazioni di secondo periodo (che corrisponde al primo periodo di revisione di portafoglio). Successivamente si sono determi- nati i momenti delle distribuzioni condizionali a tali realizzazioni e dunque si è implementato nuovamente il modello di momentsmatching.