4 GASON correlation
4.2 Curve fitting cenni
4.2.5 Goodness of Fit Statistics
In seguito all’interpolazione dei dati, per valutare quanto l’interpolazione sia precisa o per confrontare quale fra due modelli predice meglio i dati che si hanno a disposizione, il toolbox fornisce in output i seguenti parametri:
SSE (Sum of Squares Errors): tale parametro rappresenta la somma dei quadrati dei residui, pertanto è esprimibile con la seguente relazione:
𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸 = � 𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)𝚤𝚤 2
𝑟𝑟 𝑖𝑖=1
(4.28) Dove con 𝑦𝑦𝑖𝑖 si indica il response value, mentre con 𝑦𝑦� si indica il valore predetto dal modello. 𝚤𝚤
Quanto più tale coefficiente risulta essere vicino allo zero, tanto più il modello scelto risulta essere attendibile.
R-square: esso è definito dalla seguente relazione:
𝜌𝜌 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑐𝑐𝑔𝑔𝑃𝑃 =𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 =
∑𝑟𝑟𝑖𝑖=1𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑦𝑦� − 𝑦𝑦�)𝚤𝚤 2
∑𝑟𝑟𝑖𝑖=1𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)2= 1 −∑𝑟𝑟𝑖𝑖=1𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)𝚤𝚤 2
∑𝑟𝑟𝑖𝑖=1𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)2 = 1 −𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 (4.29)
Figura 4.5: Descrizione grafica della definizione del coefficiente R-square, in rosso SST, in blu SSE
In Figura 4.5 è raffigurata una spiegazione grafica dei parametri che permettono il calcolo del coefficiente R-square, in cui la somma dei riquadri rossi rappresenta il coefficiente SST, mentre in blu è rappresentato il coefficiente SSE. Per comprendere il motivo dei passaggi nell’equazione (4.2), bisogna ricordare alcune proprietà dei residui, infatti è possibile scrivere che:
𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦� = (𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�𝑖𝑖)(𝑦𝑦�𝑖𝑖− 𝑦𝑦�) (4.30) Dove 𝑦𝑦� =𝑁𝑁1∑𝑁𝑁 𝑦𝑦𝑖𝑖
𝑖𝑖=1 .
Elevando al quadrato entrambi i membri e sommando su tutti gli N dati a disposizione si ottiene:
∑(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)2= ∑(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�𝑖𝑖)2+ ∑(𝑦𝑦�𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)2+ 2 ∑(𝑦𝑦�������𝑖𝑖− 𝑦𝑦�𝑖𝑖)
=0
(𝑦𝑦�𝑖𝑖− 𝑦𝑦�) (4.31) Dove:
o ∑(𝑦𝑦�𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)2 rappresenta il coefficiente SSR (explained sum of squares);
o ∑(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�)2 rappresenta il coefficiente SST (total sum of squares);
o ∑(𝑦𝑦𝑖𝑖− 𝑦𝑦�𝑖𝑖)2 rappresenta il coefficiente SSE (residual sum of squares).
Per quanto riguarda l’ultimo termine in equazione (4.31), esso risulta essere nullo, perché alla base del metodo dei minimi quadrati, come risulta dall’equazione normale di regressione (4.8).
Quindi, è possibile concludere, dalla (4.31) che:
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸 + 𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌 (4.32)
E quindi:
𝜌𝜌2 =𝑆𝑆𝑆𝑆𝜌𝜌 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 = 1 −
𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇 (4.33)
Come è possibile dedurre dalla Figura 4.5, quando il coefficiente SSE risulta essere nullo, si avrà che tutti i punti giacciono sulla curva ottenuta mediante regressione ai minimi quadrati, e quindi il coefficiente R2 risulta essere pari ad uno.
4.3 “GASON” correlation 57
Adjusted R-Square: tale parametro risulta essere una correzione del precedente, esso è definito nel seguente modo:
𝑐𝑐𝑑𝑑𝑎𝑎𝑢𝑢𝑠𝑠𝜕𝜕𝑃𝑃𝑑𝑑 𝜌𝜌 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑐𝑐𝑔𝑔𝑃𝑃 = 1 −𝑆𝑆𝑆𝑆𝐸𝐸(𝑛𝑛 − 1)
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑇𝑇(𝑣𝑣) (4.34)
Dove 𝑣𝑣 = 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘, con n si indica il numero di response values e con m il numero di coefficienti contenuti nel modello scelto. Anche per tale coefficiente, il valore ideale sarebbe quello dell’unità.
Root Mean Squared Error: l’ultimo parametro che fornisce il toolbox, per valutare la bontà del modello scelto, è definito dalla seguente relazione:
𝜌𝜌𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸 = √𝑀𝑀𝑆𝑆𝐸𝐸 = �𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅𝑣𝑣 (4.35) Quanto più tale parametro è prossimo allo zero tanto più il modello scelto per l’interpolazione risulta essere attendibile.
4.3 “GASON” correlation
Sfruttando la libreria generata precedentemente di LFS con LOGE research, si è deciso di seguire i seguenti step per estrarre una correlazione da tali dati. È importante sottolineare che tale correlazione sia una correlazione valida sono per miscele stechiometriche di metano/aria, ma per diversi valori di temperatura, pressione ed EGR.
STEP 1:
Il primo step prevede la scelta di una correlazione che interpoli correttamente l’andamento della LFS al variare della temperatura. Si è optato per una relazione di tipo esponenziale di tipo:
𝑆𝑆𝐿𝐿�𝑐𝑐𝑘𝑘
𝑠𝑠 � = 𝑐𝑐 ⋅ 𝑃𝑃𝑏𝑏(𝑅𝑅[𝐾𝐾]−300)
300 + 𝑐𝑐 (4.36)
Figura 4.6: Rappresentazione della main-function nel caso di miscela stechiometrica di CH4/aria, a p=1 atm, EGR=0 al variare della Ti
L’equazione (4.28) risulta essere la correlazione principale o main correlation, si è scelto un andamento esponenziale perché, come visto nei capitoli precedenti, la velocità con cui avvengono le reazioni, e quindi con cui procede il fronte, dipende in maniera esponenziale dalla temperatura, secondo la legge di Arrhenius.
Inoltre si è deciso di normalizzare la temperatura, in quanto in questo modo i metodi iterativi (in particolare si è scelto il metodo trust-region, trattandosi di un’equazione non lineare) risultano essere più stabili.
STEP 2:
Una volta scelta la funzione principale, si è deciso di creare una matrice dei coefficienti, fissato il valore di EGR pari a 0. Tale matrice contiene il valore dei tre coefficienti 𝑐𝑐, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 per diversi valori di pressione.
300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
0 100 200 300 400 500
LFS [cm/s]
p=1[bar] EGR=0% phi=1 [-]
GASON CORRELATION ARAMCO data
-5 0 5
= (y-y pred)/y 100 [%]
300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
T [K]
58 Capitolo 4. GASON correlation
Matrice dei coefficienti EGR=0%
a b c
p=1 bar 102.45 0.631 -68.73
p=2 bar 79.541 0.6781 -53.15
… … … …
p=200 bar 6.6993 0.9581 -3.9566
Tabella 4.4: Esempio di matrice dei coefficienti nel caso di EGR=0%
Figura 4.7: Rappresentazione grafica delle curve, definite dalla (4.28), interpolanti i valori di LFS per diversi valori di pressione al variare della temperatura e per EGR=0% e phi=1 [-]
Per ogni curva, rappresentata in rosso in Figura 4.7, relativa ad un dato valore di pressione, si avrà una terna di coefficienti 𝑐𝑐, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐, che verrà salvata all’interno della matrice dei coefficienti.
STEP 3:
Tale step prevede l’individuazione di una correlazione, al variare della pressione, per ciascuno dei tre coefficienti presenti nella matrice dei coefficienti. In particolare dalla Figura 4.8 si può notare il trend dei tre coefficienti al variare della pressione.
Figura 4.8: Schermata del toolbox Curve Fitting con relativi andamenti dei coefficienti a, b e c al variare della pressione
Per quanto riguarda il modello scelto per l’interpolazione di tali coefficienti, si è scelto di utilizzare la libreria Rational implementata su toolbox. Tale libreria permette di interpolare i dati mediante l’utilizzo di funzioni non lineari date dal rapporto fra polinomi, quindi un modello Ratnm indica che si è scelto di interpolare con
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
(T-T 0)/(T 0) 0
100 200 300 400 500 600
LFS [cm/s]
data fitted curve
4.3 “GASON” correlation 59
una funzione avente un polinomio di grado n al numeratore ed uno di grado m al denominatore. In generale, la funzione sarà data da:
𝑦𝑦 = ∑𝑟𝑟+1𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑥𝑥𝑟𝑟+1−𝑖𝑖
𝑥𝑥𝑙𝑙+ ∑𝑙𝑙𝑖𝑖=1𝑠𝑠𝑖𝑖𝑥𝑥𝑙𝑙−𝑖𝑖 (4.37)
Dove con 𝑛𝑛 si indica il grado del numeratore, e con 𝑘𝑘 il grado del denominatore.
Quindi, riassumendo:
Coefficienti Tipo di
correlazione Variabile indipendente # coefficienti
a Rat11 Pressione [bar]/100 3
b Rat22 Pressione [bar]/100 5
c Rat11 Pressione [bar] 3
Tabella 4.5: Tabella riassuntiva per il terzo step
Si è scelto di scalare l’asse delle ascisse per i coefficienti a e b, di modo da contenere i coefficienti delle relative correlazioni. Quindi per quanto riguarda i coefficienti della correlazione principale (4.28), saranno definiti dalle seguenti correlazioni:
𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑃𝑃=0=𝑐𝑐𝑟𝑟� 𝑝𝑝100� + 𝑏𝑏𝑟𝑟
� 𝑝𝑝100� + 𝑐𝑐𝑟𝑟
(4.38)
𝑏𝑏𝑅𝑅𝑅𝑅𝑃𝑃=0=𝑐𝑐𝑏𝑏� 𝑝𝑝100�
2+ 𝑏𝑏𝑏𝑏� 𝑝𝑝100� + 𝑐𝑐𝑏𝑏
� 𝑝𝑝100�
2+ 𝑑𝑑𝑏𝑏� 𝑝𝑝100� + 𝑃𝑃𝑏𝑏
(4.39)
𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑃𝑃=0 =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝 + 𝑏𝑏𝑐𝑐
𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 (4.40)
Con p espresso in [bar].
STEP 4:
Lo step 4 prevede la ripetizione di quanto fatto nello step 3, per diversi valori di EGR. In particolare si andrà a creare una matrice tridimensionale, rappresentata schematicamente in Figura 4.9.
Figura 4.9: Schema rappresentativo della matrice tridimensionale dei coefficienti
In particolare è possibile immaginare tale matrice 3D come un libro, in cui ogni foglio corrisponde ad un dato valore di EGR, lungo le colonne si avranno i tre coefficienti (a, b e c della correlazione principale) e lungo le righe i rispettivi valori al variare della pressione. Quindi ogni foglio della matrice 3D, corrisponde alla matrice in Tabella 4.4, ciascuno per un dato valore di EGR. È da sottolineare il fatto che i modelli scelti non risultano essere affidabili anche per alti valori di EGR, aspetto che porterà ad una restrizione del range di utilizzo della presente correlazione. In questa fase si andranno a creare altre tre matrici, ciascuna per ogni coefficiente a, b e c. Nella tabelle seguenti è riportato il contenuto di ciascuna matrice.
60 Capitolo 4. GASON correlation
Tabella 4.6: schema della matrice dei coefficienti per a
𝑏𝑏=𝒂𝒂𝒃𝒃� 𝑝𝑝100�
2+ 𝒃𝒃𝒃𝒃� 𝑝𝑝100� + 𝒄𝒄𝒃𝒃
� 𝑝𝑝100�
2+ 𝒅𝒅𝒃𝒃� 𝑝𝑝100� + 𝒊𝒊𝒃𝒃
𝒂𝒂𝒃𝒃 𝒃𝒃𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒃𝒃 𝒅𝒅𝒃𝒃 𝒊𝒊𝒃𝒃 R-square
EGR=0% -239,59 19117,04 1130,56 18726,5 1812,15 0.9962
EGR=10% -324,18 19846,01 928,95 18011,2 1407,09 0.9944
… … … …
EGR=50% 1,4511 -0,0606 0,0197 -0,09095 0,01758 0.9814
Tabella 4.7: schema della matrice dei coefficienti per b
𝑐𝑐=𝒂𝒂𝒄𝒄𝑝𝑝 + 𝒃𝒃𝒄𝒄 𝑝𝑝 + 𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒂𝒂𝒄𝒄 𝒃𝒃𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 R-square
EGR=0% -2.97 -224.9 2.679 0.998
EGR=10% -1.80 -158.8 2.473 0.9939
… … … … …
EGR=50% 0.6871 -53.014 2.525 0.9719
Tabella 4.8: schema della matrice dei coefficienti per c
STEP 5:
In questo ultimo step, si dovrà cercare una correlazione al variare della percentuale di EGR, per i coefficienti delle correlazioni dei coefficienti principali. In altre parole, una volta definite le correlazioni (4.30-4.31-4.32) per ogni valore di EGR, si vuole trovare una correlazione per ogni coefficiente (𝑐𝑐𝑟𝑟, 𝑏𝑏𝑟𝑟, 𝑐𝑐𝑐𝑐, …). Nelle tabelle seguente vengono riportate le correlazioni scelte per ciascun coefficiente poc’anzi citato.
Correlazioni per il coefficiente a Tipo di
correlazione
# Coefficienti
Vettore dei coefficienti Variabile indipendente
𝒂𝒂𝒂𝒂 Rat02 3 [0.0632 -0.0158 0.0121] egr [0,1]
𝒃𝒃𝒂𝒂 Poly2 3 [14.7443 -14.3807 3.6744] egr
𝒄𝒄𝒂𝒂 Poly3 4 [0.3129 -0.1953 -0.0312 0.0286] egr
Tabella 4.9: Coefficienti delle correlazioni per il coefficiente a
𝑐𝑐=𝒂𝒂𝒂𝒂� 𝑝𝑝100� + 𝒃𝒃𝒂𝒂
� 𝑝𝑝100� + 𝒄𝒄𝒂𝒂
𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒃𝒃𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒂𝒂 R-square
EGR=0% 5.2232 3.6850 0.0287 0.9986
EGR=10% 3.0179 2.3791 0.0234 0.9987
… … … … …
EGR=50% -0.0751 0.1503 0.0035 0.987
4.3 “GASON” correlation 61
Correlazioni per il coefficiente b Tipo di
correlazione
# Coefficienti
Vettore dei coefficienti Variabile indipendente
𝒂𝒂𝒃𝒃 Poly2 3 [-2.1507 19.5871 -255.94] 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 × 100
𝒃𝒃𝒃𝒃 Poly1 2 [91 1.902E04] 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 × 100
𝒄𝒄𝒃𝒃 Poly1 2 [-11.88 1.08E03] 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 × 100
𝒅𝒅𝒃𝒃 Poly1 2 [-105.83 1.891E04] 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 × 100
𝒊𝒊𝒃𝒃 Poly1 2 [-27.49 1.74E03] 𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 × 100
Tabella 4.10: Coefficienti delle correlazioni per il coefficiente b
Correlazioni per il coefficiente c Tipo di
correlazione
# Coefficienti
Vettore dei coefficienti Variabile indipendente
𝒂𝒂𝒄𝒄 Rat11 3 [3.8180 -1.3853 0.4664] egr = [0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5]
𝒃𝒃𝒄𝒄 Poly2 3 [-982.7 846.6 -228.13] egr
𝒄𝒄𝒄𝒄 Rat02 3 [0.2646 -0.0297 0.0992] egr
Tabella 4.11: Coefficienti delle correlazioni per il coefficiente c
Il numero totale di coefficienti che devono essere salvati per poter utilizzare tale correlazione risulta essere pari a 10 per il coefficiente a, 11 per il coefficiente b e di 9 per il coefficiente c, per un totale di 30 coefficienti.
Per quanto riguarda le tabelle precedenti, con Polyn si intende un polinomio di grado n, quindi se n è pari a 2 la correlazione risulta essere (prendendo come esempio il coefficiente 𝑐𝑐𝑏𝑏):
𝑐𝑐𝑏𝑏(𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔) = 𝑝𝑝1(𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 · 100)2+ 𝑝𝑝2· (𝑃𝑃𝑔𝑔𝑔𝑔 · 100) + 𝑝𝑝3
E pertanto il vettore dei coefficienti sarà costituito da tre elementi, tabellati nella colonna “Vettore dei coefficienti” in Tabella 4.10. Inoltre si può osservare che per il coefficiente b, in Tabella 4.10, la variabile sia stata scalata, questo per contenere il valore dei coefficienti delle singole correlazioni.
Figura 4.10: Step per l'utilizzo della correlazione GasOn
Facendo riferimento alla Figura 4.10, data una terna di valori di temperatura, pressione e percentuale di EGR, per ottenere il valore della LFS, si dovrà:
Calcolare tutti i coefficienti contenuti nella Tabella 4.9,Tabella 4.10 e Tabella 4.11 per un dato valore di EGR;
62 Capitolo 4. GASON correlation
Una volta calcolati tali coefficienti, si potranno calcolare i coefficienti della correlazione principale, per un dato valore di pressione, utilizzando le correlazioni nella Tabella 4.6,Tabella 4.7 e Tabella 4.8;
Una volta noti i tre coefficienti principali (a, b e c) si potrà procedere con il calcolo della LFS per un dato valore di temperatura T [K].
Nella Figura 4.11 è possibile osservare una rappresentazione 3D della correlazione, da cui è possibile osservare che per valori di temperatura nell’intorno della pressione ambiente, la dipendenza della LFA dalla pressione decade, stabilizzandosi su un valore di plateau.
Figura 4.11: Rappresentazione 3D della correlazione GasOn per una miscela metano aria stechiometrica con EGR=0%