Gradi e gradi locali

Sia I un qualunque intervallo chiuso e C una circonferenza. Una curva chiusa

continua da I in un aperto del piano U `e equivalente ad una applicazione

continua F da C in U . Questo ragionamento pu`o essere esplicitato nel modo

seguente.

Possiamo assumere senza restrizioni I = [0, 1], siano inoltre (x₀, y₀) e r

ri-spettivamente il centro e il raggio della circonferenza. Diciamo ϕ : I → C la

funzione che porta I su C:

ϕ(t) = (x₀, y₀) + (rcos(2πt), rsin(2πt)), t ∈ [0, 1]

Quindi, fatta eccezione per ϕ(0) = ϕ(1), questa `e una applicazione

biu-nivoca da I in C. Ne consegue che F `e una applicazione da C in un aperto

U e quindi γ = F ◦ ϕ `e una applicazione da C in U con ϕ(0) = ϕ(1) tale che

ogni curva γ di questo tipo pu`o essere realizzata col procedimento appena

esposto per mezzo di un’unica F .

Lemma 2.1 La applicazione γ `e continua se e solo se lo `e anche F .

Dimostrazione. Per la discussione fatta nel capitolo introduttivo, essendo

ϕ un’identificazione, la tesi discende direttamente dalla Proposizione 1.6.



Per una generica F : C → R2\{P } Possiamo definire l’indice di

avvol-gimento di F attorno a P , che indicheremo con W (F, P ), come l’indice di

avvolgimento W (γ, P ) della curva γ = F ◦ ϕ.

Notiamo inoltre che se F : C → R² `e una funzione continua e W (F, P ) 6= 0

allora ogni semiretta uscente da P interseca F (C) (questo deriva dal fatto

che P deve necessariamente essere interno ad F (C)).

Ora identifichiamo R2 con l’insieme dei numeri complessi C e consideriamo

la applicazione f : C → C che associa ad ogni numero complesso z la sua

potenza zn. Sia inoltre C una qualunque circonferenza centrata nell’origine

ed F la restrizione di f a C. Vale allora la seguente

Proposizione 2.9 Con la notazione suddetta si ha W (F, 0) = n. Inoltre se

f (z) = −z allora W (F, 0) = 1.

Dimostrazione. Utilizziamo la notazione di Eulero. Fissato il raggio r di

C abbiamo per definizione W (F, 0) = W (γ, 0) dove

γ(t) = (F ◦ ϕ)(t) = rⁿe^ın2πt t ∈ [0, 1]

Possiamo scegliere per qualunque suddivisione di [0, 1] e qualunque settore

scelto la funzione angolo continua su tutto C: ϑ(t) = n2πt. Qualunque sia

la suddivisione scelta otteniamo:

W (γ, 0) = ¹

2π^{(ϑ(P1) − ϑ(P0)) =}

1

2π^{(2nπ − 0) = n}

Analogamente per la seconda parte della proposizione si consideri

ϑ(t) = 2π(t − ¹₂) da cui

W (γ, 0) = ¹

2π^{(ϑ(P1) − ϑ(P0)) =}

1

2π^{(π − (−π)) = 1}



Proposizione 2.10 Supponiamo che C sia la frontiera di un disco D e che

F : D → R2\{P } si estenda ad una funzione continua da D in R2\{P }.

Allora W (F, P ) = 0.

Dimostrazione. Se D `e il disco di centro (x₀, y₀) e raggio r,

γ : [0, 1] → R2\{P } `e la curva corrispondente ad F e ˜F : D → R2\{P } `e

un’estensione di F , allora

H(t, s) = ˜F ((x₀, y₀) + s(rcos(2πt), rsin(2πt)) t, s ∈ [0, 1]

`

e un’omotopia da γ alla curva costante nel punto ˜F (x₀, y₀). Questa omotopia

`

e contenuta in R2\{P } e poich´e l’indice di avvolgimento di una curva costante

`

e zero, per il Corollario 2.1 si ha W (F, P ) = 0.

Si dice che due funzioni F₀ ed F₁ sono funzioni omotope se esiste una

funzione continua

H : C × [0, 1] → U

tale che H(P × 0) = F₀(P ) e H(P × 1) = F₁(P ) per ogni P ∈ C.

Proposizione 2.11 Siano F₀ ed F₁ due funzioni dalla circonferenza C in

U , corrispondenti a due curve γ₀ e γ₁ da [0, 1] in U . F₀ ed F₁ sono funzioni

omotope se e solo se γ₀ e γ₁ sono omotope attraverso curve chiuse.

Dimostrazione. Siano γ₀ e γ₁ omotope attraverso curve chiuse. Esiste

quindi un omotopia H : [0, 1] × [0, 1] → U tale che H(t, 0) = γ0(t) e H(t, 1) =

γ₁(t). L’omotopia che cerchiamo `e

H⁰(P, s) = H(ϕ⁻¹(P ), s).

Dove naturalmente si ha

H⁰(P × 0) = γ₀(ϕ⁻¹(P )) = F₀(P ) e H⁰(P × 1) = γ₁(ϕ⁻¹(P )) = F₁(P )

Viceversa conoscendo l’omotopia tra F₀ ed F₁, che indichiamo con H⁰(P, s),

possiamo costruire un’omotopia attraverso curve chiuse come

H(t, s) = H⁰(ϕ(t), s).

Dove in analogia col caso precedente si ha:

H(t, 0) = F₀(ϕ(t)) = γ₀(t) e H(t, 1) = F₁(ϕ(t)) = γ₁(t)



Proposizione 2.12 Sia F₀ : S1 → R2\{P } una funzione continua. Vale il

viceversa della Proposizione 2.10. Cio`e se W (F<sub>0</sub>, P ) = 0 allora F<sub>0</sub> pu`o essere

estesa con continuit`a ad una applicazione dal disco D in R2\{P }

Dimostrazione. Poich´e γ = F0 ◦ ϕ ha lo stesso indice di avvolgimento di

una curva costante nel punto P₁ interno a S1 esiste, per la Proposizione 2.7,

un omotopia attraverso curve chiuse da γ in P₁. Queste due curve possono

essere realizzate tramite due opportune funzioni F0 ed F1 come segue:

P₁ = F₁◦ ϕ e γ = F₀◦ ϕ

Esister`a quindi per la proposizione precedente un’ omotopia

H : S¹ × [0, 1] → R2\{P } tra F₀ ed F₁. Possiamo quindi costruire una

applicazione da D in R²\{P } come indicato:

˜

F (s(P₁ + Q)) = H(Q, s)



Proposizione 2.13 Se F : S1 → R2 `e una funzione continua tale che

F (P ) · P 6= 0 per ogni P ∈ S1 allora W (F, 0) = 1.

Dimostrazione. Per la proposizione 2.11 `e sufficiente mostrare che F `e

omotopa ad una funzione che abbia grado 1. Consideriamo a tal fine le

funzioni

H±(P × s) = (1 − s)F (P ) ± sP

queste sono omotopie da F nell’applicazione identica e da F nell’applicazione

antipodale a meno di punti per cui F (P ) = cP o F (Q) = −cQ dove c `e

un qualunque numero reale. Ma non possono esistere due punti con tali

caratteristiche perch´e, se cos`ı fosse, per la continuit`a di F dovrebbe esistere

un punto per cui F (P )·P = 0. Per cui F deve essere omotopa all’applicazione

identica o all’applicazione antipodale.



Possiamo definire il grado di una applicazione continua F da una

cir-conferenza C ad un’altra C⁰ di centro P⁰, che indicheremo con deg(F ),

come

deg(F ) = W (F, P⁰)

Intuitivamente possiamo dire che il grado di F misura quante volte la prima

circonferenza `e avvolta attorno alla seconda attraverso F .

Proposizione 2.14 Il grado di F : C → C⁰ non dipende dal punto scelto

all’interno di C⁰.

Dimostrazione. Diciamo P₁⁰ un altro punto all’interno di C⁰. La tesi

di-scende dalla Proposizione 2.8 e dal fatto che P₁⁰ e P⁰ appartengono alla stessa

componente connessa.



Proposizione 2.15 Sia F : C → C⁰ una funzione tra circonferenze. Se F

non `e suriettiva allora deg(F ) = 0.

Dimostrazione. Per definizione abbiamo deg(F ) = W (F, P⁰) = W (γ, P⁰).

Ma se F non `e suriettiva allora P⁰ appartiene alla componente illimitata di

R²\Supp(γ). Discende quindi dalla Proposizione 2.8 che deg(F ) = 0.



Possiamo facilmente verificare che non vale il viceversa di quest’ultima

proposizione. Consideriamo il generico punto di S¹dato da (cos(2πt), sin(2πt))

con t ∈ [0, 1] e costruiamo una applicazione suriettiva che abbia grado 0. Si

pu`o facilmente verificare che una delle funzioni che cerchiamo `e la seguente:

F (t) = (cos(4πt), sin(4πt)) t ∈ [0,¹

2^]

F (t) = (cos(4π(1 − t)), sin(4π(1 − t))) t ∈ [¹

2^{, 1]}

Proposizione 2.16 Se F, G : C → C⁰ sono due funzioni omotope allora

hanno lo stesso grado.

Dimostrazione. Per la Proposizione 2.11 le due curve γ = F ◦ ϕ e δ = G ◦ ϕ

sono omotope e quindi hanno lo stesso indice di avvolgimento.



Proposizione 2.17 Sia C il bordo di un disco D.

La applicazione F : C → C⁰ ammette un’estensione da D in C⁰ se e solo se

F `e omotopa ad una applicazione costante da C in C⁰.

Dimostrazione. La seconda implicazione deriva dalla Proposizione 2.12.

Mentre invece se F ammette un’estensione per la Proposizione 2.10 si ha

deg(F ) = 0. Ma allora per la Proposizione 2.7, dato che il grado di una

applicazione costante `e nullo, si ha la tesi.



Proposizione 2.18 Siano F₀ ed F₁ applicazioni tra due circonferenze C e

C⁰. F₀ `e omotopa ad F₁ se e solo se deg(F₀) = deg(F₁).

Dimostrazione. La prima implicazione deriva dalla Proposizione 2.16. La

seconda discende invece dalla Proposizione 2.7.



Dalle proposizioni che abbiamo appena esposto deriva che due funzioni

F, G : C → C⁰ hanno lo stesso grado se e solo se sono omotope. Da questo

discende che una qualunque applicazione F : S¹ → S1 avente grado n `e

omo-topa all’applicazione, gi`a vista precedentemente come z 7→ zⁿ, che associa al

punto (cos(ϑ), sin(ϑ)) il punto (cos(nϑ), sin(nϑ)). Deriva inoltre dalla

pro-posizione precedente e dalla Propro-posizione 2.17 che se una applicazione F ha

grado zero ammette un estensione al disco D.

Proposizione 2.19 Se F : C → C⁰ e G : C⁰ → C00 sono due funzioni tra

circonferenze di grado rispettivamente n ed m allora il grado di G ◦ F `e nm.

Dimostrazione. Per quanto appena detto le funzioni F e G sono omotope

alle funzioni z 7→ zn e z 7→ zm. La loro composizione `e quindi omotopa alla

composizione di queste due funzioni. Ma quest’ultima applicazione manda il

punto (cos(ϑ), sin(ϑ)) nel punto (cos(m(nϑ)), sin(m(nϑ))).



Possiamo inoltre, in analogia col concetto di grado, definire il grado locale

di una funzione in un punto.

aperti del piano, e un punto P appartenente a U . Supponiamo che P abbia un

intorno tale che F (Q) 6= F (P ) per ogni Q 6= P nell’intorno. Scegliamo quindi

un numero positivo r tale che non esistano punti a distanza r da P aventi

la stessa immagine di P . Indichiamo dunque con C_r(P ) la circonferenza di

raggio r centrata in P . Possiamo quindi restringere F ad una applicazione

continua da C_r(P ) in R2\{F (P )}. Definiamo dunque il grado locale di F in

P , che indichiamo con deg_P(F ), come

deg_P(F ) = W (γ_r, F (P ))

dove

γ_r(t) = F (P + (rcos(2πt), rsin(2πt)) t ∈ [0, 1]

Per assicurarci che il grado locale sia ben definito abbiamo bisogno di

dimo-strare il

Lemma 2.2 Il grado locale `e indipendente dalla scelta del raggio r.

Dimostrazione. Se r⁰ `e un’altro raggio allora

H(t, s) = F (P + ((1 − s)r − sr⁰)(cos(2πt), sin(2πt))) s, t ∈ [0, 1]

fornisce un’omotopia da γ_r in γ_r

0

. Si ha dunque per il Corollario 2.1

W (γr, F (P )) = W (γr

0

, F (P ))



Possiamo definire equivalentemente il grado locale di F in P come il grado

dell’applicazione G : S1 → S1 cos`ı definita

G(Q) = ^{F (P + rQ) − F (P )}

kF (P + rQ) − F (P )k

Proposizione 2.20 Sia F : R² → R2 un’applicazione lineare esprimibile

come matrice quadrata A di ordine 2 a determinante non nullo. Allora il

grado locale di F `e 1 se il determinante di A `e maggiore di 0, oppure -1 se il

determinante `e minore di 0.

Dimostrazione. Notiamo che ogni applicazione F sopra descritta `e un

ele-mento del gruppo GL2(R). Questo gruppo ha due componenti connesse:

quella delle matrici a determinante positivo e quella delle matrici a

determi-nante negativo. Per cui se il determidetermi-nante di A `e positivo esiste una curva

continua in GL₂(R) che parte da A e arriva alla matrice identit`a I. Poich´e

questa curva determina un’omotopia tra A ed I si ha

1 = deg₀(I) = deg₀(F )

Allo stesso modo se det(A) < 0 esiste una curva da A alla matrice

B = ^{1 0}

0 −1

!

. Si ha analogamente

−1 = deg₀(B) = deg₀(F )

.



La proposizione pu`o essere estesa anche al caso in cui F : U → V sia

una funzione C^∞, dove U e V sono aperti di R2. Basta infatti considerare la

matrice Jacobiana della trasformazione come approssimazione lineare di F .

Naturalmente si ha deg₀(F ) = 1 se il determinante della matrice Jacobiana

`

e positivo e deg₀(F ) = −1 se il determinante `e negativo.

Proposizione 2.21 Se F : C → C `e un polinomio a coefficienti complessi

allora il grado locale di F in z ∈ C `e la molteplicit`a di z come radice del

polinomio F (T ) − F (z).

Dimostrazione. Consideriamo il grado locale nella forma alternativa

deg_z(F ) = deg(G) dove G : S1 → S1 `e cos`ı definita

G(Q) = ^{F (z + rQ) − F (z)}

kF (z + rQ) − F (z)k^.

Fattorizzando il polinomio al numeratore possiamo riscrivere G nella forma

G(Q) = ^{(T − z)}

nR(T )

k(T − z)nR(T )k^.

dove T = z + rQ, n ∈ N e R(T ) `e un polinomio tale che R(z) 6= 0. Notiamo

che esiste un’omotopia H tra G e l’applicazione cos`ı definita:

Q 7→ ^{(T − z)}

n

k(T − z)nk^.

L’omotopia H : S1× [0, 1] → S1 cercata `e:

H(Q, t) = ^{(T − z)}

nR(T )

k(T − z)nR(T )k· ^{k(1 − t) + tR(T )k}

(1 − t) + tR(T )

Per cui G ha lo stesso grado dell’applicazione su S1 Q 7→ Qn e cio`e n.



Siano P = (cos(2πt), sin(2πt)) e Q = (cos(2πs), sin(2πs)) due punti di

S1 con s, t ∈ [0, 1]. Definiamo l’intevallo tra P e Q come [P, Q] = ϕ([t, s]) se

t < s oppure [P, Q] = ϕ([t, 1] ∪ [0, s]) se t > s.

Ricordiamo che ϕ `e la funzione cos`ı definita: ϕ(t) = (cos(2πt), sin(2πt)) per

ogni t ∈ [0, 1].

Sia ora F : S¹ → S1una funzione tra circonferenze e P = (cos(2πt), sin(2πt))

un punto di S1 tale che F (Q) 6= F (P ) per ogni Q in un certo intorno

I_P = ϕ((t⁰, t⁰⁰)) di P dove chiaramente t ∈ (t⁰, t⁰⁰). Consideriamo [P₁, P₂] ⊂ I_P

tale che P ∈ [P₁, P₂]. Possiamo definire il grado locale di F in P , che

indi-chiamo con deg_P(F ) come segue:

deg_P(F ) = 1 se W (F ([P₁, P ]), 0) > 0 e W (F ([P, P₂]), 0) > 0

deg_P(F ) = −1 se W (F ([P₁, P ]), 0) < 0 e W (F ([P, P₂]), 0) < 0

deg_P(F ) = 0 se W (F ([P₁, P ]), 0) · W (F ([P, P₂]), 0) < 0

P⁰ ∈ S1 `e un punto tale che F<sup>−1</sup> `e un insieme finito allora

deg(F ) =

n

X

i=1

deg_P

_i

(F )

dove P_i ∈ F−1(P⁰).

Dimostrazione. Diciamo P_i,i+1un qualunque punto appartenente a (P_i, P_i+1)

e P_n,n+1 un qualunque punto appartenente a (P_n, P₁). Si avr`a

deg(F ) =

n

X

i=1

(W (F ([P_i, P_i,i+1]), 0) + W (F ([P_i,i+1, P_i+1]), 0))

dove P₁ = P_n+1.

Ogni termine della sommatoria pu`o assumere come valori solamente 1,-1,

oppure 0. In particolare assumer`a il valore 0 se i due addendi hanno

se-gno discorde, il valore 1 se hanno sese-gno concorde positivo e il valore -1 se

hanno segno concorde negativo. per dimostrare la tesi basta raggruppare

diversamente i termini nella sommatoria:

deg(F ) =

n

X

i=1

(W (F ([P_i−1,i, P_i]), 0) + W (F ([P_i, P_i,i+1]), 0))

dove P_0,1 = P_n,n+1. La tesi discende ora direttamente dalla definizione di

grado locale.

Capitolo 3

Applicazioni

3.1 Teorema fondamentale dell’algebra

Lo scopo di questa sezione `e quello di utilizzare i concetti esposti nel primo

capitolo per dimostrare il ben noto teorema fondamentale dell’algebra.

Identifichiamo l’insieme dei numeri complessi C con il piano reale R².

Teorema 3.1 (fondamentale dell’algebra) Il polinomio a coefficienti

com-plessi

g(T ) = a_nTⁿ+ a_n−1Tⁿ⁻¹+ . . . + a₁T + a₀ a_n6= 0, n > 0

ammette almeno una radice.

Dimostrazione. Innanzitutto consideriamo di dividere il polinomio per a_n

in modo da avere a_n = 1. Dalla continuit`a della somma e del prodotto nei

numeri complessi deriva la continuit`a di g(T ). Possiamo quindi considerare

g(T ) una applicazione continua da C in C\{0} supponendo per assurdo che

non abbia radici. Indichiamo con g_r la restrizione di g da C_r, circonferenza

centrata nell’origine e di raggio r, a C\{0}. Poich´e grpu`o essere estesa ad una

applicazione continua del disco D_rsu C\{0}, deve aversi, per la Proposizione

, W (gr, 0) = 0. Quello che vogliamo fare `e trovare una curva il cui indice

di avvolgimento debba essere lo stesso di gr ma diverso da 0 ottenendo cos`ı

una contraddizione. Consideriamo a tal scopo l’applicazione f_r ottenuta con

lo stesso procedimento di g_r a partire dal polinomio f (T ) = Tⁿ. Per la

Proposizione 2.9 si ha W (fr, 0) = n. Dobbiamo ora mostrare che possiamo

applicare il Teorema 2.3 alle curve g_r e f_r per un r abbastanza grande. A tal

fine `e sufficiente mostrare che per un certo r otteniamo

|f_r(z) − g_r(z)| < |f_r(z) − 0| z ∈ C_r

Ma |fr(z) − 0| = |zⁿ| = rn e

|fr(z) − gr(z)| = |an−1zⁿ⁻¹+ . . . + a0| ≤ |an−1|rn−1+ . . . + |a0|

il quale `e sicuramente minore di rnse |a_i| < ri/n per ogni i ∈ {0, 1, . . . , n−1}.



Riportiamo ora alcune conseguenze di questo teorema.

Corollario 3.1 Un qualunque polinomio g(T ) di grado n `e fattorizzabile

come

g(T ) = a_n

n

Y

i=1

(T − z_i)

Dimostrazione. Sia z₁ una radice di g, allora possiamo scrivere

g(T ) = (T − z₁)h(T ) dove h(T ) `e un polinomio di grado n − 1. Applicando

ad h(T ) il teorema precedente si ottiene la tesi per induzione.



Proposizione 3.1 Se f : C → C `e una funzione continua tale che per

qualche R > 0 si ha |f (z)| < |z|n con |z| = R allora esiste un numero

complesso z con |z| < R tale che F (z) = zn+ f (z) = 0.

Dimostrazione. La dimostrazione `e analoga a quella del Teorema

fonda-mentale dell’algebra Chiamiamo C_R la circonferenza di raggio R, bordo del

disco D. Supponiamo per assurdo che F (z) non abbia zeri in DR. Indichiamo

con F_R(z) la restrizione di F a C_R. Per la Proposizione 2.12 poich´e F_R pu`o

essere estesa su tutto D_R allora si deve avere W (F_R, 0) = 0. Ma le ipotesi

implicano che

Per cui per il Teorema 2.3 si dovrebbe avere 0 = W (F_R, 0) = n.



Proposizione 3.2 Sia g : C → C una funzione continua. Se g(z)/zⁿ tende

ad una costante non nulla per |z| → ∞ allora g `e suriettiva.

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che la funzione f (z) = g(z) − t, con

t ∈ C, si annulla in qualche punto. Ma per le ipotesi la funzione f soddisfa

le ipotesi del teorema precedente (sostituendo n con n + 1) e quindi ∀t ∈ C

esiste un punto z tale che g(z) = t.



Nel documento Indice di avvolgimento e applicazioni (pagine 24-36)