In letteratura gli studi in materia di diagnostica sono ben delineati e godo-no oramai di rigorosa classi cazione ([13] e [18]). Tuttavia nella maggior parte dei casi l'ipotesi di partenza per il design dei sistemi diagnostici è la conoscenza accurata della sica del processo da monitorare. Questo viene descritto con una relazione dierenziale/alle dierenze del tipo
ingresso-uscita in cui i parametri del modello hanno un preciso signi cato sico e vi è una sostanziale facilità nel determinare le fasce di tolleranza entro cui essi sono liberi di variare nel corso del funzionamento nominale del sistema. Tipicamente l'apparato diagnostico si limita a stimare in tempo reale dalle misure ingresso-uscita il valore di questi parametri testandone l'appartenen-za o meno all'intervallo di tolleranl'appartenen-za; un'indicazione di malfunzionamento è data qualora i valori si allontanino troppo, ed eventualmente per troppo tempo, dalla conoscenza nominale dell'impianto.
A questo tipo di diagnostica viene solitamente a ancato il metodo delle equazioni di parità: il sistema ed il suo modello vengono fatti funzionare in parallelo, alimentati dai medesimi ingressi; le uscite prodotte, quelle mi-surate dai sensori e quelle frutto dell'elaborazione matematica del modello, sono fra loro confrontate: alla dierenza, idealmente nulla nel caso di buon funzionamento, si dà il nome di residuo. Valori non nulli residuo stanno ad indicare una qualche anomalia nell'impianto.
Seppur nel presente lavoro di tesi non sia stato possibile seguire l'approc-cio sico, si è comunque deciso di intraprendere una via analoga: un uso cioè combinato di due tipi di diagnostica: una parametrica1 riguardante il monitoraggio del coe ciente a nel modello AR(1) individuato per la tem-peratura del refrigerante ed una basata sulle caratteristiche probabilistiche del residuo (bianchezza), anziché sulla sua entità. Questa idea è giusti cata dal fatto che un modello autoregressivo di ordine na = 1
y (t) = ay (t − 1) + ξ (t) (6.1)
è univocamente determinato da due entità: 1. il valore del parametro a del modello
2. la dinamica dell'errore di modello ξ (media, varianza e, più in gene-rale, le sue proprietà statistiche).
Quando un modello cessa di essere una rappresentazione fedele della realtà, ad esempio per via di un guasto che ha mutato l'impianto e dunque le misure su di esso raccolte, ci si aspetta che una almeno delle entità ora richiamate, se non entrambe, venga meno all'andamento nominale registrato nella fase in cui la rappresentazione matematica e la realtà erano conformi.
In sezione 6.2.1 si ri ette sul particolare signi cato che ha una variazione nel parametro a nel processo AR(1) (6.1) mentre nella sezione 6.2.2 sono discusse le caratteristiche statistiche dell'errore di modello.
1Naturalmente tale diagnosi parametrica sarà lontana dal possedere un signi cato sico per i parametri.
6.2.1 Guasti e variazioni parametriche
Nel caso in cui nel modello (6.1) a assuma valori vicini all'unità, l'evoluzione libera dell'uscita y è pressoché costante e tutto il carattere dinamico è ereditato dal termine incerto ξ. Qualora quest'ultimo sia di lieve entità, la dinamica si sviluppa in un intorno della condizione iniziale.
Quando invece il valore parametrico è ridotto, vicino allo zero, il proces-so perde la memoria sulla condizione iniziale (la parte libera si esaurisce velocemente) e l'uscita ricalca, a regime, l'andamento del termine erratico ξ (t). Supponendo ξ rumore bianco di varianza limitata, nei due casi a → 1 e a → 0 il contenuto spettrale dell'uscita sarà completamente diverso. Per un parametro approssimabile ad 1 lo spettro del segnale y risulta avere supporto solo alle basse frequenze mentre nel secondo caso si registra uno spettro continuo, denso, com'è appunto quello di un segnale bianco.
Si può allora aermare che il valore di un parametro in un processo, oltre che caratterizzarne la stabilità, ha forte in uenza sul contenuto spettrale del segnale e quindi sulla sua dinamica: a valori unitari di a corrispondono dinamiche lente mentre a valori vicini allo zero sono associate variazioni brusche.
Benché la natura e ancor più gli eetti di un guasto siano di di cile catalogazione, non è sbagliato immaginare il loro sico manifestarsi come un cambiamento nel contenuto spettrale del segnale e dunque come una variazione parametrica nel modello AR che lo rappresenta.
In gura 6.1a viene proposto un andamento caratteristico del segnale di temperatura del liquido refrigerante del motore; in gura 6.1b l'analogo andamento è riportato nel caso di inserzione di un guasto arti ciale a metà sessione. Corrispondentemente le gure 6.1c e 6.1d mostrano come l'in-sorgere della particolare anomalia muti la densità spettrale di potenza del segnale. Questo esempio sarà ripreso in seguito all'introduzione del meto-do dei minimi quadrati ricorsivi per evidenziare come cambi l'andamento del parametro del modello in seguito al guasto che ha mutato lo spettro. Per il momento è su ciente associare la possibile insorgenza di un gua-sto ad un cambiamento nel contenuto spettrale del segnale; conseguenza di quest'ultimo evento è, come detto, la modi ca dei parametri che spiegano l'evoluzione del segnale tramite un modello alle dierenze.
(a) Temperatura del liquido refrigerante
duran-te un normale funzionamento. (b) Temperatura del liquido refrigerante in pre-senza di un guasto aleatorio armonico di ampiezza tempo-variante, agente dal tempo t = 966 s.
(c) Densità spettrale del segnale di temperatura
in normale funzionamento. (d) Densità spettrale del segnale di temperatu-ra in presenza del guasto.
Figura 6.1:Normale funzionamento e guasto: andamenti dei segnali nel tempo e relative densità spettrali.
6.2.2 Guasti e perdita di bianchezza
Oltre al parametro del modello autoregressivo, ai ni diagnostici può es-sere utile considerare come sintomatica la distribuzione di probabilità del residuo sfruttando dei test di bianchezza allo scopo di rilevare l'insorgere di dierenze tra modello e dati reali. L'idea è che quando un'anomalia va-da ad interessare l'impianto di raredva-damento, il modello non riesca più a simulare correttamente la temperatura del liquido misurata e nasca una qualche regolarità nella dinamica del residuo con conseguente perdita di bianchezza. Tale regolarità comportamentale può manifestarsi in varie forme, ad esempio in lunghi intervalli temporali nei quali l'errore ε si trova ad assumere valori di segno costante (è il caso di guasti che comportano lente derive, da cui l'insorgere di un errore sistematico), oppure in situazio-ni, causate tipicamente da anomalie intermittenti, nelle quali il residuo è forzato a variare periodicamente ampiezza e segno.
La gura 6.2d mostra come la bianchezza residuale del modello AR(1) venga completamente perduta nel corso di un guasto arti ciale indotto sulla temperatura di rareddamento (il caso di normale funzionamento è ripor-tato in gura 6.2c; l'andamento nel tempo della temperatura, senza e con il guasto, è riproposto nelle gure 6.2a e 6.2b).
(a) Temperatura del liquido refrigerante
duran-te un normale funzionamento. (b) Temperatura del liquido refrigerante in pre-senza di un guasto aleatorio armonico di ampiezza tempo-variante, agente dal tempo t = 966 s.
(c) Bianchezza dei residui del modello AR(1)
nel corso di un normale funzionamento. (d) Perdita di bianchezza del modello AR(1) nelcaso di validazione su dati guasti.
Figura 6.2:Confronto di bianchezza per i casi di normale funzionamento e di guasto alla temperatura dell'acqua.
Come appare chiaro dall'applicazione del guasto arti ciale, un check di bianchezza può aiutare a cogliere l'anomalia nel segnale; una seconda pos-sibile scelta diagnostica, da a ancare alla diagnosi parametrica, è allora quella di considerare l'implementazione on-line di un test di bianchezza da eseguire sui residui.
A tal proposito vengono ora introdotti sia alcuni dei metodi più utilizzati in letteratura al ne di stimare on-line i parametri di un modello che dei metodi per testare la bianchezza di una sequenza di dati {ε (t)}t=1,...,N disponibile in seguito a delle misure2.