L'identicazione

Per poter procedere ad una previsione nello spazio tramite kriging deve essere trovato il modello di variogramma teorico che meglio interpreta la struttura di covarianza spaziale stimata nel paragrafo precedente.

Sono stati analizzati diversi modelli teorici del semivariogramma, con le stime dei parametri calcolate secondo il metodo dei minimi quadrati genera- lizzati e il metodo della massima verosimiglianza; l'andamento viene visualiz- zato nella Fig. 3.5. Il modello che meglio sembra interpretare il variogramma empirico sembra essere quello di tipo esponenziale. La selezione del modello viene eseguita mediante il valore AIC e tramite convalida incrociata.

I parametri dei variogrammi calcolati - vedi Tabb. 3.2 e 3.3 - tramite il metodo della massima verosimiglianza con l'assunzione, quindi, della norma- lità della distribuzione di Z(s), che sembra meglio adattarsi al variogramma empirico, mentre quello calcolato con il metodo dei minimi quadrati gene- ralizzati, pur in assenza di assunzioni circa la distribuzione, viene troppo inuenzato dai valori elevati presenti a distanze maggiori.

Covarianza nugget sill range SQM esponenziale 32,12 35732,63 2,80e + 7 26,6071 gaussiano 43,10 13192,46 9,46e + 6 21,8866

Tabella 3.2: Parametri dei variogrammi teorici - stime WLS

Nel calcolo delle stime è sembrato opportuno considerare l'eetto nugget, che si può interpretare come componente di fondo dell'inquinamento2_{; il}

2_{Cirillo, APAT 2003 stima una media nazionale del livello del PM10per le stazioni di}

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 0 50 100 150 200 250 300 distanza (h) γ ( h ) wls − exponential wls − gaussian ml − exponential ml − gaussian ml − spherical

Figura 3.5: (semi)variogrammi teorici

Covarianza nugget sill range mean log-Lik AIC Esponenziale 31,30 63,64 40000 42,61 -60,62 129,2 Gaussiano 42,41 46,23 40000 43,28 -60,51 129,0 Sferico 27,85 60.69 40000 43,57 -60,96 129,9

Tabella 3.3: Parametri dei variogrammi teorici - stime ML

variogramma di tipo esponenziale consente inoltre di mantenere una inuen- za sul fenomeno per distanze relativamente maggiori rispetto agli altri tipi. Previsione

Per la previsione del livello medio della concentrazione di PM10 viene ap-

plicato il metodo del kriging ordinario, visto che l'analisi non evidenzia la presenza di trend.

La previsione viene realizzata costruendo una tta griglia regolare che copre l'intera regione del Veneto e in ognuno di questi siti equispaziati viene determinato il valore dell'inquinante tramite la soluzione del sistema del kriging ordinario (vedi par. 3.1.7).

La mappa della media annuale per l'anno 2006 nel Veneto, presentata in

Fig. 3.6, mostra come le concentrazioni maggiori siano localizzate nelle aree urbane corrispondenti alle città di Padova, Vicenza e soprattutto Verona, mentre degrada verso valori inferiori quando ci si allontana, in maniera molto più accentuata verso nord-est nelle zone del trevigiano, del bellunese e nella parte nord-orientale della provincia di Venezia; in maniera meno evidente la stessa diminuzione si manifesta anche verso sud nella provincia di Rovigo.

1600000 1650000 1700000 1750000 1800000 1850000 5000000 5050000 5100000 5150000 longitudine latitudine

Figura 3.6: Previsione della media annuale - Ordinary Kriging La previsione viene accompagnata anche dalla stima della deviazione stan- dard della stessa in Fig. 3.7, dove si nota la maggior precisione in prossimità dei siti in cui il valore è stato rilevato.

Vista la mancanza di osservazioni e la caratterizzazione orograca molto diversa rispetto all'area situata in pianura, risulta evidente come la previ- sione non risulti adabile per le zone montane del veronese e del vicentino e in particolar modo per tutta la parte nord della regione.

1600000 1650000 1700000 1750000 1800000 1850000 5000000 5050000 5100000 5150000 longitudine latitudine

Figura 3.7: Standard error sulla previsione della media annuale - Ordinary Kriging

Convalida del modello

L'applicazione della convalida incrociata per la previsione ottenuta mediante l'applicazione del kriging ordinario e del modello di variogramma esponen- ziale porta ad un valore dell'indice CV pari a 1.0096; si è in presenza quindi di una leggera sovrastima. Anche l'analisi diagnostica graca sembra sup- portare la scelta eettuata e aermare che il modello, pur senza tenere in considerazione l'aspetto temporale, fornisce una buona indicazione dell'an- damento del fenomeno.

Kriging mediante funzioni indicatrici

Per la predizione spaziale sulla probabilità di superamento del limite sta- bilito dalla normativa sulla media annua di PM10, viene utilizzato il metodo

non lineare del kriging di funzioni indicatrici, visualizzato nella Fig. 3.8, ottenuto mediante la stessa struttura di covarianza spaziale stimata per il kriging ordinario. Come si può notare la probabilità di superamento è risul-

1600000 1650000 1700000 1750000 1800000 1850000 5000000 5050000 5100000 5150000 longitudine latitudine

Figura 3.8: Kriging di funzioni indicatrici per superamento soglia 40 µg/mc (media annuale)

tata molto alta in tutta la parte della pianura con valori prossimi a 1 nella zona compresa tra Padova e Vicenza, nonchè a Verona.

Modellazione spazio-temporale

mediante componenti di trend

deterministiche

4.1 Introduzione

Per i fenomeni ambientali come la concentrazione di inquinanti in un'area geograca, l'approccio e l'analisi eseguiti mediante gli strumenti visti nei capitoli precedenti appaiono quanto mai limitati; in essi viene a mancare la componente che considera l'andamento del fenomeno anche in dipendenza dell'evoluzione nel tempo, sia per la parte di interpretazione sia per quella che consente di eettuare delle previsioni a proposito del fenomeno stesso. Nel corso dell'ultimo decennio si è avuto un notevole sviluppo delle tecniche per l'analisi di dati spazio-temporali e dei modelli statistici che le implemen- tano. Tali modelli, sia per la scoperta e descrizione di pattern signicativi sia per la previsione, vengono utilizzati da varie discipline, come le scienze ambientali, quali l'idrologia, la meterologia, la geologia, estendendosi inoltre a nuovi contesti, come le mappe epidemiologiche o il monitoraggio dei beni immobili in aree geograche.

Spesso l'interesse principale nell'analisi di tali dati consiste nel catturare l'andamento di fondo e predire l'evoluzione nel tempo di alcune variabili su un denito dominio geograco. Queste previsioni sono eettuate su dataset contenenti, assieme ai valori misurati del fenomeno, altre variabili, che a loro

volta possono esprimersi in funzione della posizione nel dominio spaziale e del momento temporale in cui sono rilevate, anche se non caratterizzate da una struttura stocastica.

Al ne di ottenere un alto grado di accuratezza nell'analisi e nella previ- sione della variabile oggetto di studio, sono necessari modelli matematici che includano la dinamica complessiva del fenomeno, sia spaziale che temporale. Riassumendo, la modellazione dei dati spazio-temporali è una impresa im- pegnativa, la quale richiede l'elaborazione di dataset di notevoli dimensioni e, inoltre, l'abilità e capacità di adattare, al fenomeno di interesse, modelli com- plessi ma al tempo stesso realistici. Molto spesso le soluzioni richieste non sono esprimibili matematicamente in forma esplicita e richiedono l'impiego di metodi computazionalmente onerosi. Non da ultimo, lo stesso fenomeno può essere analizzato con metodi e con assunti diversi, dipendenti dagli aspetti che si desiderano mettere in maggior evidenza.