Identificazione costitutiva

4.4.1.1 Procedura di identificazione

Siamo di fronte ad un problema in due scale, una che fa riferimento ad un modello discreto e l’altra che fa riferimento ad un modello al continuo. Il modello discreto è quello descritto sopra, che include blocchi rigidi e giunti deformabili all'interno di una struttura periodica.

Partendo da una scelta adatta di un modello al continuo, usiamo la procedura di identificazione per imporre l'uguaglianza delle potenze interne relative ai due modelli. Ci sono differenti approcci a questo, come gli approcci compatibili ed equilibrati. Il primo è caratterizzato da ipotesi a priori sulla descrittori cinematici dei due modelli, il secondo su descrittori dinamici.

L’uguaglianza delle potenze interne è imposta a livello del cosiddetto Reference Elementary Volume (REV). Questo si trova in una cella elementare che è stata selezionata da simmetrie geometriche e meccaniche, al fine di riprodurre periodicamente le proprietà della scala discreta nella scala continua. Per due murature in laterizio di due dimensioni periodiche, il più piccolo REV che possiamo considerare è la singola cella in evidenza nella figura 4.7. Si può riprodurre l'interazione di ogni mattone con altri sei mattoni.

Figura 4.7 – Interazione del mattone con i mattoni circostanti

Risolvendo la condizione di uguaglianza, si possono determinare i coefficienti costitutivi del modello continuo in termini di quelli del modello discreto. L’accuratezza di questi coefficienti nel riprodurre le proprietà costitutive del modello discreto dipende dall'approccio seguito per l’identificazione e dai descrittori utilizzati per definire il modello continuo.

4.4.1.2 Continuo di Cauchy vs continuo di Cosserat

È stato ampiamente discusso in letteratura come entrambi i modelli di Cauchy e di Cosserat possono rappresentare bene il comportamento lineare della muratura regolare in mattoni. Si mostra che:

“a parità di lunghezza caratteristica di caricamento, i due modelli di continuità ", con sistemi di identificazione costitutiva adeguati ed in presenza di modelli di deformazione omogenea, “sono asintoticamente equivalenti, come il rapporto tra i mattoni e le dimensioni del muro che tende a

zero" e tendono alla soluzione esatta fornita da un modello discreto di mattoni rigidi con il giunto

elastico lineare”.

Vale la pena notare che la prima parte può essere completamente falsa, quando si hanno fenomeni non lineari: i modelli di deformazione, in generale, non sono omogenei e, comunque, cono necessari procedure di identificazione più sofisticate.

Tuttavia, al fine di recuperare una risposta globale approssimata della parete in muratura, si può anche accettare una risposta elastica lineare. Partiamo dal considerare i possibili modi omogenei di sollecitazione, riportati nella figura 4.8.

Come indicato, per modi omogenei di sollecitazione si intende modelli di deformazione discreti dove ci sono differenze di spostamento dei mattoni adiacenti che corrispondono l'uno con l'altro per quanto riguarda gli assi centrali del REV. Questi modi si ritrovano in due modi di allungamento e di deformazione per taglio e uno di micro-rotazione, vale a dire la rotazione di ogni mattone attorno al suo baricentro. È noto che solo la modalità di allungamento stabiliti dal parametro può essere rappresentata direttamente da modelli standard di Cauchy: in questo, per esempio, non sono presenti né un parametro di rotazione attorno ad un punto né differenti parametri di taglio (in generale, per laterizi abbiamo ).

Il modello di Cosserat sembra quindi essere più adatto per descrivere il comportamento al continuo della muratura regolare in laterizio.

Tuttavia, facciamo riferimento ad un modello al continuo di Cauchy per l’identificazione costitutiva. Notare come la rotazione omogenea locale di ogni mattone non può essere calcolata in un’identificazione del modello al continuo di Cauchy. Analogamente, se è seguito un approccio equilibrato, uno stato di stress omogeneo di Cauchy non può riprodurre una condizione di equilibrio dei momenti rispetto alla micro-rotazione.

In un contesto di elasticità linearizzata che può condurre rispettivamente ad un più completi o più rigido comportamento al continuo.

Figura 4.8 – Modi omogenei di sollecitazione

Tuttavia, è stato mostrato come questo errore può essere corretto con l'aggiunta di uno stato di stress auto equilibrato a quello precedente (vedi figura 4.10).

In particolare, siamo in grado di ottenere una nuova procedura di identificazione equilibrata, basata sui seguenti passi:

1) La tensione di Cauchy è stato assunto costante ed è accompagnata da forze corrispondenti che agiscono nella malta (Figura 4.9)

2) uno stato di tensione autoequilibrato nel REV è aggiunto a quello precedente, da imporre il bilancio dei momenti rispetto alla micro-rotazione (Figura 4.10);

3) un’equivalenza del lavoro è imposta al livello REV tra i lavori esercitati dalle azioni calcolate separatamente nel modello al continuo e nel modello discreto.

Figura 4.9 – Forze agenti nella malta

Figura 4.10 – Stato di tensione autoequilibrato

Il primo passo ci permette di soddisfare, a priori, alcune condizioni di equilibrio al livello del REV derivanti da una distribuzione omogenea standard di tensione di Cauchy. Il secondo passo è utilizzato per il recupero della distribuzione della tensione rappresentato esattamente in figura 4.8. Poi, la terza fase fornisce direttamente l’equazione (4.65).

In questo modo, siamo in grado di esprimere la relazione dal punto di vista costitutivo come:

(4.65) e ed sono le quantità di stress, rigidezza e sollecitazione di un continuo standard di Cauchy, espresso nella notazione di Voight. I coefficienti di dipendono dal modulo elastico (normale e tangenziale) dei giunti di malta e sono stati eseguiti come segue:

dove le quantità che compaiono qui sono quelle che definiscono la geometria del REV (vedi figura 4.7).

Infine, vale la pena notare che se si adotta un approccio compatibile dell’identificazione costitutiva per un continuo di Cosserat, otteniamo gli stessi coefficienti elastici presenti in (4.65) per stati di deformazione omogenea, una volta preso

dove e sono i coefficienti elastici del continuo di Cosserat legati ai componenti della tensione per taglio.