Il concetto di localizzazione negli elementi finiti

Gli elementi finiti bastati sull’approccio agli spostamenti mostrano un comportamento di softening, per esempio le colonne in cemento armato modellate sotto elevati rapporti di carco assiale e sotto elevati carichi laterali, sono sottoposte ad una localizzazione, dato che le deformazioni tendono a concentrarsi negli elementi della mesh caratterizzati dai momenti flettenti più elevati. Indipendentemente dalla discretizzazione della mesh che si adotta, ovvero dal numero di suddivisioni, le deformazioni si localizzano nel primo elemento, se si considera ad esempio un campione sottoposto ad uno sforzo assiale costante ed elevato e ad un carico laterale ciclico o monotono. Questo perché si è imposto che le curvature e gli spostamenti siano concentrati alle estremità degli elementi. Tale caratteristica rende la risposta non oggettiva, poiché le deformazioni calcolate dovranno aumentare in tale elemento quando la

mesh viene infittita, in modo tale da mantenere costante il valore degli

spostamenti. Considerando che la mesh può essere infittita sempre più, allora le deformazioni possono crescere sempre più senza convergere ad un particolare valore. In altre parole, quando ogni elemento basato sugli spostamenti è integrato con un certo numero di punti di integrazione, la risposta localizzata avverrà effettivamente alla prima sezione di controllo entro l’elemento situato laddove è presente la forza massima. Anche a livello globale la conseguenza sarà quella di avere un comportamento di post-picco non oggettivo, nel quale i differenti valori di forza laterale possono essere letti per lo stesso spostamento laterale imposto. Più elevata è la discretizzazione della mesh (cioè più essa è infittita), più ripida sarà la curva che esprime il comportamento di post-picco. Gli elementi finiti basati sulle forze presentano lo stesso problema, essendo le deformazioni concentrate nel punto di integrazione locale soggetto al maggior

momento flettente. In analogia con la formulazione basata sugli spostamenti descritta sopra, se la medesima struttura è modellata con elementi basati sulle forze, la deformazione sarà localizzata nel primo punto di integrazione che si trova più vicino al contorno. Ricordando che per questo tipo di formulazione non è richiesta alcuna discretizzazione dell’elemento strutturale, quando questo non è elastico, un solo elemento finito può essere considerato per descrivere un singolo elemento strutturale. Anche gli elementi basati sulle forze, così come quelli basati sugli spostamenti, mostrano una risposta non oggettiva del comportamento post-picco.

Negli elementi con comportamento di tipo softening, quando viene aumentato il numero di punti di integrazione, anche la curvatura e la deformazione locale alla base dei punti di integrazione aumenteranno. Questo comportamento locale si riflette poi nella risposta globale dell’elemento. Ancora una volta, nella fase di comportamento post-picco, si avranno diversi valori di forza laterale per la medesima deformazione. La forza calcolata si riduce con l’aumento dei punti di integrazione, con un conseguente degrado della rigidezza post-picco.

Elementi con comportamento incrudente (hardening behaviour) mostrano, al contrario, una risposta oggettiva. In altre parole, quando la mesh viene raffinata, nel caso dell’approccio agli spostamenti, o quando viene aumentato il numero di sezioni d’integrazione, nel caso dell’approccio basato sulle forze, la risposta, a livello locale (momento-curvatura, per esempio) e globale (sforzo-deformazione) sarà sempre convergente verso un unico valore. Questo accade perché, se l’elemento strutturale ha un comportamento che tende all’indurimento (di tipo hardening), qualsiasi aumento imposto di momento alle estremità dell’elemento può migrare nelle sezioni più interne. Tale migrazione sta a significare che non si potrà formare alcuna localizzazione. Invece, con un comportamento di tipo softening, dal momento in cui la sezione più piccola del suddetto campione va oltre la capacità di picco, la curvatura alle estremità aumenta mentre il relativo momento decresce. Per l’equilibrio, le altre sezioni

109 La plasticità diffusa e concentrata negli elementi frame

dovranno ridurre il loro momento (ovviamente i momenti nelle sezioni interne non possono essere più elevati rispetto a quelli alle estremità). Poiché le sezioni interne non hanno ancora raggiunto il momento massimo, la loro fase di scarico inizia sul ramo ascendente della curva momento – curvatura. Per questo motivo, la curvatura in qualsiasi sezione interna diminuisce, mentre solo quella alle estremità continua a crescere.

E’ da notare anche che la localizzazione non avviene all’interno della formulazione a plasticità concentrata, perché in tali elementi si presume che il comportamento inelastico si verifichi in una lunghezza finita dell’elemento, detta cerniera plastica, il cui comportamento è descritto da una legge isteretica definita a priori. Pertanto, è implicitamente considerato che una curvatura equivalente inelastica costante si sviluppi lungo tutta la lunghezza della cerniera plastica. In questo modo viene impedita la localizzazione dello sforzo, il che implica una risposta globale sempre oggettiva. È importante osservare quanto segue: il fatto che la localizzazione non avvenga nella formulazione a plasticità concentrata non è un vantaggio di questo tipo di elementi su quelli a plasticità distribuita, ma piuttosto un segno dei suoi limiti di modellazione e incapacità di riprodurre fenomeni fisicamente esistenti.

Come conclusione generale, in altre parole, si può affermare che una formulazione a plasticità distribuita è interessata dal problema della localizzazione perché è un modello più avanzato rispetto a quello a plasticità concentrata. In realtà, i problemi numerici rappresentati sono più strettamente legati a ciò che succede realmente, avvenendo sotto analoghe condizioni sperimentali.

Si può ricordare che la localizzazione fisica avviene nelle stesse condizioni in cui accade la localizzazione numerica, cioè per elementi aventi rigidezza secondaria negativa. Un progettista dovrebbe dunque essere consapevole che questo effetto può verificarsi o essere più pronunciato nei modelli di strutture in cemento armato quando:

 Gli elementi sono soggetti ad un elevato sforzo assiale, come spesso accade per le colonne di un telaio sottoposto ad azioni sismiche;

 E’ utilizzato un calcestruzzo ad elevata resistenza, adatto ad essere associato al ramo di post-picco;

 Gli elementi sono sovra-rinforzati, poiché lo schiacciamento del calcestruzzo è il meccanismo di rottura più probabile per la sezione. In tutte le situazioni sopra descritte, l’utilizzo di un’espressione empirica per definire la lunghezza della cerniera plastica come elemento di regolarizzazione deve essere adeguatamente valutato, poiché potrebbe essere che tale formulazione sia stata definita per condizioni diverse da quelle sopra descritte.