1.5.1. Schema generale
Il seguente schema sintetizza il metodo semiprobabilistico: per ogni stato limite si esegue un confronto tra sollecitazione di progetto e resistenza di progetto senza però visualizzare le densità di probabilità della sollecitazione e della resistenza (come illustrato in Figura 1.16) e senza calcolare la probabilità di raggiungimento dello stato limite considerato.
Valutazione delle sollecitazioni (domanda)
Valori caratteristici delle azioni
Per ciascuna azione agente sulla struttura si considera il valore con percentile 95% (detto valore caratteristico Fk) come unico descrittore
dell’incertezza sul valore dell’azione.
Valori di progetto delle azioni
I valori caratteristici Fk delle azioni agenti sulla
struttura vengono trasformati in valori di progetto Fd mediante coefficienti moltiplicativi γF
commisurati allo stato limite e alle combinazioni di carico considerate.
Sollecitazioni di progetto
Si calcolano le sollecitazioni di progetto Ed
tramite l’analisi della struttura:
k F
d F
F =γ → analisi struttura → E d
Valutazione della resistenza (capacità)
Resistenza caratteristica del materiale
Per il materiale costituente la struttura si considera il valore con percentile 5% (detto valore caratteristico fk) come unico descrittore
dell’incertezza sul valore della resistenza.
Resistenza di progetto del materiale
Il valore caratteristico fk della resistenza del
materiale costituente la struttura viene trasformato in valore di progetto fd mediante
coefficienti riduttivi γM commisurati allo stato
limite e al materiale considerati
Resistenza di progetto
Si calcola la resistenza di progetto Rd tramite
l’analisi dell’elemento strutturale:
M k d f /
f = γ → analisi elemento → R d
Confronto tra sollecitazioni e resistenza (domanda e capacità)
Per ciascuno stato limite considerato deve valere la relazione:
d
d R
E <
Se la precedente disuguaglianza è soddisfatta, allora la probabilità di raggiungimento dello stato limite considerato è inferiore alla probabilità massima ammessa per tale stato limite.
Figura 1.16. Confronto tra sollecitazioni e resistenze nel metodo semiprobabilistico agli stati limite
Il metodo semiprobabilistico parte da valori delle azioni agenti sulla struttura e da valori per le resistenze dei materiali della struttura che hanno un preciso significato probabilistico (valori caratteristici ossia percentili 95% e 5% rispettivamente). Tali valori sono poi modificati in modo operativamente deterministico (riduzione delle resistenze tramite γM e amplificazione delle azioni
tramite γF). Questo perché confrontare le sollecitazioni e le resistenze basate sui valori caratteristici
delle azioni e delle resistenze dei materiali (valori che hanno una probabilità bassa ma non trascurabile di essere rispettivamente superati o non superati) condurrebbe a probabilità di insuccesso non accettabili.
1.5.2. Osservazioni sul ruolo del valore caratteristico
Per chiarire il ruolo del valore caratteristico nel metodo semiprobabilistico agli stati limite, è utile fare le seguenti osservazioni con riferimento alla resistenza dei materiali.
• Se due materiali hanno uguale valore medio fm e differenti deviazioni standard s(1) e s(2)
della loro resistenza, allora risulta minore il valore caratteristico associato alla distribuzione con la deviazione standard maggiore (Figura 1.17a). Pertanto i due materiali, pur avendo la stessa resistenza media, forniscono livelli di sicurezza diversi.
• Se due distribuzioni con uguale valore caratteristico fk hanno differenti deviazioni standard
s(1) e s(2) della loro resistenza, allora risulta minore il valore medio associato alla distribuzione con la deviazione standard minore (Figura 1.17b). Di conseguenza i due materiali forniscono lo stesso livello di sicurezza pur avendo le resistenze medie diverse.
Densità di probabilità della resistenza Densità di probabilità della sollecitazione m R E,R k d R R d E k E p Em
Figura 1.17. Distribuzioni normali con: a) stesso valore medio; b) stesso valore caratteristico
Tali osservazioni sono alla base della scelta di classificare i materiali da costruzioni non in base al valore medio della resistenza, inadeguato a fornire indicazioni utili alla valutazione della sicurezza e quindi al progetto degli elementi strutturali, ma in base al valore caratteristico che permette appunto di caratterizzare chiaramente e in modo semplice (usando un solo numero e non le funzioni di distribuzione) l’incertezza associata alla resistenza del materiale in esame. Considerazioni simili possono essere ripetute per le azioni.
1.5.3. Valutazione delle sollecitazioni
La valutazione delle sollecitazioni determinate su una struttura dalle azioni agenti richiede secondo il metodo semiprobabilistico agli stati limite una serie di passaggi: (1) individuazione delle azioni agenti sulla struttura per ciascuno stato limite da considerare; (2) determinazione dei valori caratteristici delle azioni; (3) trasformazione dei valori caratteristici in valori di progetto; (4) analisi della struttura soggetta alle azioni di progetto.
Il primo punto prende il nome di analisi dei carichi sulla struttura e richiede la conoscenza della morfologia della costruzione, dell’uso previsto e dell’ambiente al quale è esposta. Il secondo punto è svolto secondo le indicazioni fornite dalla normativa, come illustrato nel capitolo 2 dei presenti appunti. Il terzo punto riguardante la determinazione delle azioni di progetto richiede la preventiva comprensione dell’effetto di ciascun carico agente e la definizione delle combinazioni dei carichi, come illustrato nel capitolo 2 dei presenti appunti. Nel capitolo 3 si illustrano alcuni elementi di base per l’analisi di strutture costituite da sistemi di travi piane, a richiamo ed eventuale integrazione di quanto svolto nei corsi di Statica e Scienza delle Costruzioni.
p f s(1) s(2) f k (2) (1) k f f (1) = f (2) m 1 2 p f f k (2) = (1) k f f m (1) (2) m f (2) s (1) s 1 2 a) b) m
L’attenzione è limitata all’analisi elastica lineare, convenzionalmente accettata nel metodo semiprobabilistico agli stati limite per la valutazione della domanda sulla struttura sia per gli stati limite ultimi che per gli stati limite di esercizio. L’analisi elastica lineare è condotta nell’ipotesi che le grandezze geometriche e proprietà elastiche dei materiali siano grandezze deterministiche. Queste due ipotesi (applicabilità dell’analisi lineare per tutti gli stati limite, proprietà geometriche e meccaniche deterministiche per tutti gli elementi della struttura) costituiscono semplificazioni molto importati sia in fase iniziale di progetto che nella fase di verifica delle scelte progettuali fatte.
1.5.4. Valutazione della resistenza
La valutazione della resistenza di un elemento strutturale secondo il metodo semiprobabilistico agli stati limite richiede una serie di passaggi: (1) conoscenza del materiale e della sua resistenza caratteristica; (2) determinazione della resistenza di progetto del materiale in funzione dello stato limite considerato; (3) analisi dell’elemento strutturale per determinare la sua capacità portante. Questi passaggi sono strettamente interconnessi e sono illustrati nel capitolo 5 dei presenti appunti per quanto riguarda i più comuni elementi strutturali in acciaio e nel successivo capitolo 6 per quanto riguarda i più comuni elementi strutturali in calcestruzzo armato. Nel capitolo 4 sono invece brevemente presentati i problemi di stabilità dell’equilibrio di elementi compressi e pressoinflessi, ad uso dei successivi capitoli applicativi e a richiamo ed eventuale integrazione di quanto svolto nei corsi di Statica e Scienza delle Costruzioni. Contrariamente a quanto avviene per la valutazione delle sollecitazioni, si vedrà nei capitoli 5 e 6 che l’analisi elastica lineare non è sempre utilizzabile per la determinazione della resistenza degli elementi strutturali.
1.6. Riferimenti
Ang A.H.S., Tang W.H., Probability concepts in engineering. Wiley, 2007. Giannini R., Teoria e tecnica delle costruzioni civili, CittàStudi Edizioni, 2011.
Melchers R.E., Beck A.T., Structural reliability analysis and predictions. Wiley, 2017. Mezzina M. (a cura di), Fondamenti di Tecnica delle Costruzioni, CittàStudi Edizioni, 2013. Nowak A.S., Collins K.R. Reliability of structures. CRC Press, 2012.
Soong T.T., Fundamentals of probability and statistics for engineers. Wiley, 2004.
1.7. Normative
CEN, European Committee for Standardization, Eurocode 0 - Basis of structural design, EN1990, Brussels, 2005.
Repubblica Italiana, Ministero dei Lavori Pubblici, Legge 5 novembre 1971 n.1086 Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale e precompresso ed a struttura metallica (Gazzetta Ufficiale n. 321 del 21.12.1971).
Repubblica Italiana, Ministero dei Lavori Pubblici, Legge 2 Febbraio 1974, n. 64 Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche (Gazzetta Ufficiale n. 76 del 21.03.1974).
Repubblica Italiana, Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, Nuove norme tecniche per le costruzioni, D.M. 17 gennaio 2018 (Gazzetta Ufficiale n.42 del 20 febbraio 2018, supplemento ordinario n. 8).