Il modello

Consideriamo un sistema quantistico composto da Nsp particelle, descritto dal-l'Hamiltoniana di Heisenberg, espressa dalla (1.19) in termini degli operatori di spin e dalla (1.34) tramite gli operatori fermionici

H_XXZ = − N_sp X j=1 (S_j^xS_j+1^x + S_j^yS_j+1^y + ∆S_j^zS_j+1^z ) − W N_sp X j=1 h_jS^z_j =^X j  1 2 ^c + jc_j+1+ c⁺_j+1c_j
− ∆  n_j−¹ 2   n_j+1−¹ 2  − W^X j hj  nj−¹ 2  . Il termine di Hamiltoniana Hlib = − Nsp X j=1 S_j^xS_j+1^x + S_j^yS_j+1^y
=^X j 1 2 ^c + jcj+1+ c⁺_j+1cj
(4.2) rappresenta fermioni liberi che saltano di sito in sito.

Il termine Hint= − Nsp X j=1 ∆S_j^zS_j+1^z = − Nsp X j=1 ∆  nj−¹ 2  (4.3)

introduce un accoppiamento tra spin primi vicini. Il termine Hz= −W N_sp X j=1 hjS_j^z= −W^X j hj  nj−¹ 2  (4.4)

aggiunge un potenziale di interazione tra gli spin ed un campo magnetico esterno lungo ogni sito della catena. Il campo magnetico hjagente sul sito j-esimo viene, nel nostro modello, scelto randomizzato nell'intervallo [−1, 1]. Il parametro W rappresenta il grado di disordine introdotto dai campi magnetici.

Il sistema vive nello spazio di Hilbert H, isomorfo a C2N sp,

H =

N_sp

O

j=1

Hj,

dove Hjè lo spazio di Hilbert locale relativo al sito j-esimo, nel quale si troverà una particella con spin up |↑i o con spin down |↓i.

L'Hamiltoniana HXXZ ha simmetria rotazionale, ovvero conserva la magnetiz-zazione totale lungo l'asse z, Sz=PNsp

4.1. IL MODELLO 53 essere suddiviso in sottospazi caratterizzati da una ssata magnetizzazione Sz. Nel presente lavoro considereremo il caso in cui Sz= 0e restringeremo la nostra attenzione al relativo sottospazio di dimensione

L = Nsp 1 2Nsp

 .

Il modello presenta una transizione di fase many-body localizzation (MBL), per studiarla considereremo il sistema partendo da una situazione ergodica, nella quale sono presenti stati metallici, estesi su tutta la catena.

Nel caso in cui ∆ = 0 i fermioni sono liberi e applicando un campo magnetico disordinato, anche piccolo, l'intero spettro si localizza. L'ergodicità viene rotta per W > Wc1 = 0. Al crescere di ∆ la transizione MBL avverrà a partire da un valore critico Wc2 > 0. D'altro canto, per ∆  0 il disordine necessario achè ci sia transizione sarà nuovamente cancellato dall'interazione tra gli spin. La fase delocalizzata diviene la più larga possibile a ∆ = 1. Per questo valore del parametro di anisotropia viene infatti massimizzata la correlazione esistente tra spin primi vicini (si veda la sezione §3.3.1). Nel seguito sarà preso in consi-derazione quest'ultimo caso e sarà analizzata la transizione di fase per dierenti catene di spin.

4.1.1 Autovettori ed autovalori

La catena di Nspspin interagenti studiata è denita dalla matrice Hamiltoniana HXXX avente dimensione 2Nsp× 2Nsp, la stessa analizzata da Bardarson, Poll-mann e Moore (2012) [25], Kim e Huse (2013) [26] e da De Luca e Scardicchio (2013) [27] (si veda §3.3.3). Essa è data dalla (3.42)

HXXX = − N_sp X j=1 (S_j^xS_j+1^x + S^y_jS_j+1^y + S_j^zS^z_j+1) − W N_sp X j=1 hjS_j^z Lavorando nella base diagonale di Sz

j e, considerando il caso con magnetizzazione totale Sz= 0, potremo restringere la nostra trattazione nel sottospazio isomorfo a CL nel quale la matrice HXXX avrà dimensione L × L.

L'equazione agli autovalori per l'Hamiltoniana HXXX è

HXXX|ψmi = Em|ψmi , (4.5) con m = 1, .., L. Tramite lo studio degli autovettori |ψmi ed autovalori Em è possibile ricavare tutte le proprietà relative alla dinamica del sistema.

Degli L autovettori verranno presi in considerazione solo quelli nell'intorno di E0 = _L¹T r(HXXX). Nella rappresentazione fermionica questi stati cor-risponderanno alle particelle a centro banda dove l'eetto dell'interazione è massimo.

• In questa regione dello spettro l'alto valore dell'energia, per bassi valori del disordine W , rende il sistema esteso. La dinamica è diusiva e attraversa tutti i punti permessi; siamo dunque in una fase ergodica.

• Aumentando il grado del disordine W si ha una rottura dell'ergodicità. Qui gli autostati saranno ancora estesi ma la loro dinamica sarà connata in una piccola regione di spazio: il sistema diviene vetroso.

Siamo nella fase denominata non ergodica.

• Andando ancora avanti, per alti valori del disordine W , gli stati diven-teranno localizzati secondo la denizione di Anderson (si veda la sezione §3.1.2). Questa rappresenta la fase localizzata.

4.1.2 La matrice densità ridotta

La catena di spin può essere vista come un sistema bipartito.

Figura 4.1: Catena con Nsp = 14 divisa in due sottosistemi, A e B, ognuno composto da Nsp/2 = 7 spin.

Si costruisca la matrice densità ridotta del sottosistema A,

ρ_m(A) = trB(|ψmi hψm|) , (4.6) dove gli stati |ψmisono acluni degli autovettori di HXXX, con m = 1, .., ˜L. ˜L è la frazione considerata degli L autovettori nell'intorno di E0. In particolare abbiamo scelto

˜ L = ⁴

100^L (4.7)

per catene formate da un basso numero di spin, Nsp= 8, 10, 12, e ˜

L = ²

100^L (4.8)

per catene con Nsp= 14, 16, 18.

Risolvendo l'equazione agli autovalori, essendo ρAdi dimensione 2N_sp×2N_sp, ∀msi ottengono 2N sp/2 autovalori.

4.1. IL MODELLO 55

4.1.3 Spettro degli autovalori

Gli autostati dell'Hamiltoniana vengono presi a centro banda, ovvero vengono estratti esclusivamente il 4% o il 2% degli m stati |ψmiaventi autovalori delle energie Emvicine a E0= _L¹T r(HXXZ).

Partendo da questi stati abbiamo visto in §3.3.2 che, per bassi valori del disor-dine, le matrici denisità ridotte sono describili dalla teoria delle matrici random. Di conseguenza la distribuzione spettrale per gli autovalori λn, con n = 1, .., M (M = ˜L·2Nsp/2) estratti da tutte le m matrici densità ridotta ρm(A), si dimostra che seguirà la legge di Marchenko-Pastur

ρ(λ) = ¹ 2π

r 4 − λ

λ ^. (4.9)

Lo spettro ρ(λ) è mostrato in Figura 4.2.

Figura 4.2: Spettro degli autovalori della matrice densità

Nel caso in cui si presenti una transizione di fase, ci si aspetta che lo spettro degli autovalori si accorga di tale transizione. In particolar modo si osserverà una invesione di tendenza per le distribuzioni relative a catene formate da diversi valori di spin Nsp, come in Figura 4.3.

4.1.4 Autovalori rilevanti

La matrice densità ridotta (4.6) ha traccia unitaria; questo equivale a dire che i suoi autovalori sommano ad uno:

Nsp/2

X

n=1

Figura 4.3: Confronto tra gli spettri relativi a diversi valori del disordine.

Una analisi delle proprietà del sistema può essere eettuata considerando gli autovalori rilevanti del sistema, ovvero quelli per cui la loro somma, a meno di una costante  piccola quanto si vuole, sia ancora uno.

Il numero S di questi autovalori è dunque ricavabile da:

S_ tc S X n=1 λ_n−  ! = 1. (4.10)

All'aumentare del numero di spin, per un sistema composto da stati linearmente indipendenti, ci aspettiamo che questo valore cresca in maniera lineare. Per stati massimalmente entanglati il sistema tenderà ad avere un solo autova-lore rilevante che dominerà la dinamica dell'intera catena, indipendentemente dal numero di spin con cui questa sarà formata.