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Il periodogramma di Lomb-Scargle generalizzato (Zechmeister and Kuester (2009)) risolve i problemi descritti alla fine del paragrafo precedente. In particolare, nel GLS, la potenza del segnale è una funzione della frequenza (o, equivalentemente, del periodo). La potenza misura quanto costruire un segnale sinusoidale con periodo corrispondente al picco individuato migliori l’adattamento della funzione ai dati rispetto all’utilizzare una costante. Per calcolare la potenza si ricorre alla seguente relazione:
p(f ) = χ
2
cost− χ2sin(f )
χ2cost , (C.4) nella quale χ2cost e χ2sin(f ) indicano la rispettiva devianza residua.
La costruzione delle due quantità che permettono di calcolare la (C.4) è di fondamentale importanza.
Per quanto riguarda χ2cost si ha che il termine usato è la media pesata delle osservazioni ¯y. Il GLS, a differenza del LS, tiene conto sia degli errori di misurazione che del fatto che occorre assegnare un peso diverso ai dati a disposizione. Misure con errori piccoli vengono considerati più importanti nella costruzione della funzione che si adatta ai dati rispetto a misure che presentano un errore grande.
Si ha allora che: ¯ y = N X i=1 wiyi, (C.5) dove wi= 1 σ2 i PN i=1(1/σ2i)
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Pertanto la devianza residua quando viene usato il termine costante per adattarsi ai dati della velocità radiale segue la relazione:
χ2cost= N X i=1 [yi− ¯y]2 σ2 i . (C.6)
Nella costruzione di χ2sin(f ) non esiste una sola scelta. Come emerso nel secondo capitolo, nel caso in cui l’orbita si circolare il modello fisico della velocità radiale yt segue la (2.5), mentre se l’orbita è eccentrica si deve ricorrere alla (2.1). Nel caso generale, in cui non è nota l’eccentricità orbitale del possibile pianeta extrasolare si deve utilizzare la (2.1) e si ha che:
χ2sin(f ) = N X i=1 [yi− y(ti)]2 σ2 i . (C.7)
Sia nella (C.6) che nella (C.7) il termine al denominatore σ2i serve per la normalizzazione.
Alla luce del ragionamento sopra riportato, che tiene conto non solo della possibilità che i dati possano non essere equispaziati, ma che può essere utile assegnare pesi diversi alle varie misurazioni, occorre aggiornare la (C.3) in quanto essa ha validità solamente per dati equamente pesati.
Si ha allora che per recuperare il picco di frequenza del periodogramma di Lomb-Scargle generalizzato vale la relazione descritta da Gilliland and Baliunas (1987): P F (f ) = N 2PN i=1wi n[PN i=1yiwicos(f (ti− τ ))]2 PN i=1yiwicos2(f (ti− τ )) +[ PN i=1yiwisin(f (ti− τ ))]2 PN i=1yiwisin2(f (ti− τ )) o , (C.8) dove τ = 2f1 PN i=1wisin(2f ti) PN i=1wicos(2f ti)
e wi sono i pesi individuali. Nel caso in cui i dati siano equamente pesati si ritorna di fatto alla (C.3), la quale può essere normalizzata dividendola per la varianza corretta σ2.
C.3.1 La probabilità di falso allarme
Come già sottolineato quando si sono discussi i limiti derivanti dall’utilizzo della DFT, il periodogramma di Lomb-Scargle generalizzato, oltre a fornire il valore del picco di frequenza e del corrispondente periodo, riporta anche un’indicazione circa la probabilità che esso segnali effettivamente una perio- dicità nei dati e non sia dovuto al rumore. A causa della natura non equi- spaziata dei dati, alcuni picchi individuati dal periodogramma potrebbero infatti solamente essere dovuti al rumore (Press et al. (1992)).
Sotto l’assunzione che il rumore sia distribuito secondo una variabile casuale Normale, si può dimostrare che in un periodogramma di Lomb-
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La ricerca del periodo orbitale del pianeta extrasolare e l’attività stellare Scargle generalizzato e normalizzato la distrubuzione del picco segue una legge Esponenziale (Scargle (1982)).
Il risultato conseguito da (Scargle (1982)) consente di definire una quan- tità che prende il nome di Probabilità di Falso Allarme (FAP ). Dato un picco di frequenza P F individuato dal periodogramma, si ha che vale la seguente relazione:
F AP ∼ exp (−P F ). (C.9) La (C.9) può essere interpretata come segue: qualora si incrementi la potenza di un picco, è esponenzialmente meno probabile che si tratti di un falso allarme, ossia che il picco non segnali una periodicità nei dati ma sia piuttosto causato dal rumore. Pertanto valori piccoli della FAP forniscono credibilità al picco individuato.
A causa di complicazioni che la Teoria dei Segnali cerca di spiegare, la (C.9) determinata dal periodogramma è solamente una quantità approssima- ta. Ciò che viene solitamente fatto è allora impiegare tecniche di simulazione, quali ad esempio il Bootstrap o i metodi Monte Carlo per fornire ulteriori indicazioni sulla natura dei picchi individuati.
Per Bootstrap si intende una tecnica di ricampionamento nella quale, tenendo fisso il vettore delle epoche in cui è avvenuta la misurazione, vengono ricampionate le velocità radiali e per ciascun ricampionamento si calcola il picco di frequenza con il periodogramma. I risultati dei ricampionamenti possono essere utilizzati per determinare la percentuale di picchi che risultano maggiori di quello effettivamente osservato, determinando in tale modo la probabilità che quest’ultimo segnali effettivamente un periodicità nei dati e non sia dovuto al caso.
I metodi Monte Carlo consistono anche in questo caso nel tenere fisso il vettore delle epoche, ma quello contenente le velocità radiali della stella viene sostituito con uno contenente rumore gaussiano. Tale operazione viene ripetuta più volte (tipicamente 104) e per ogni simulazione si recupera il picco massimo ottenuto. In maniera analoga a quanto accade quando si utilizza il Bootstrap, viene recuperata una stima per la probabilità che il picco effettivo P F , ossia quello osservato con i dati originali, sia un falso positivo.
Qualche accenno infine al caso in cui il periodogramma segnali la presenza di più picchi significativi, i quali possono indicare la presenza di più perio- di orbitali e, nel caso delle analisi svolte in questo elaborato, di un sistema multiplo stella-pianeti. Prima di costruire il relativo modello con più pianeti extrasolari ospitati dalla stessa stella, solitamente si utilizza un algoritmo iterativo nel quale, di volta in volta, si prende il picco più alto risultante dal- l’ispezione del periodogramma e si costruisce il relativo segnale sinusoidale. Si sottrae poi tale segnale ai dati originali e si ricostruisce il periodogramma di Lomb-Scargle generalizzato cercando i nuovi picchi. L’algoritmo si arresta una volta che non sono più presenti picchi significativi e quelli ottenuti nei
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passaggi precedenti vanno a costituire la base per la costruzione dei modelli successivi.
I metodi per la ricerca di pianeti extrasolari funzionano bene nell’indi- viduare giganti gassosi orbitanti in prossimità della stella. Pertanto risulta spesso ben riconoscibile il picco di frequenza associato ad un Hot Jupiters. Al contrario, date le dimensioni e la distanza dalla stella di eventuali pianeti abi- tabili, recuperare il picco di frequenza con il periodogramma è un’operazione difficilmente realizzabile.