6.2 Teoremi fondamentali
6.2.3 Il principio di sovrapposizione degli effetti
E = Ri· I0
Req= Ri
6.2.3 Il principio di sovrapposizione degli effetti
Il principio di sovrapposizione degli effetti `e uno dei fondamentali principi della fisica, che si applica a tutti i sistemi lineari, nei quali gli effetti sono in proporzione con le loro cause e quindi si applica anche alle reti elettriche lineari.
Risulta, infatti, lineare, una rete elettrica nella quale i valori delle resistenze e del-le f.e.m. dei generatori sono costanti e indipendenti dall’intensit`a della corrente circolante nei vari rami.
Esso afferma quanto segue:
Principio di sovrapposizione degli effetti: In una rete elettrica lineare l’ef-fetto dovuto a pi`u cause `e pari alla somma degli effetti dovuti alle singole cause, agenti una alla volta.
Questo principio stabilisce che la corrente circolante in un punto qualsiasi di una
rete comunque complessa, purch`e lineare, corrente dovuta all’azione degli n ge-neratori elettrici idipendenti ivi presenti, pu`o considerarsi come somma algebrica delle n correnti circolanti in quello stesso punto, ciascuna dovuta a ciascun gene-ratore, agente separatamente, cio`e uno alla volta.
Cos`ı analogamente la differenza di potenziale fra due punti di una rete, dovuta all’azione degli n generatori elettrici idipendenti ivi presenti, pu`o pensarsi come somma algebrica delle n differenze di potenziale fra gli stessi punti, ciascuna do-vuta a ciascun generatore, agente separatamente, cio`e uno alla volta.
E importante notare che quando si considera agente nella rete un solo generatore,` gli altri generatori, se di tensione, dovranno essere posti in cortocircuito, o pi`u pre-cisamente, con forza elettromotrice nulla, mentre se di corrente, dovranno essere aperti, o pi`u precisamente, con corrente nulla.
In tutti i casi le resistenze interne dei generatori devono restare al proprio posto.
Il principio di sovrapposizione degli effetti, quindi, ci offre un metodo per affron-tare circuiti in cui agiscono pi`u generatori, consentendo di scomporre il problema e di ricondurlo al caso di un solo generatore, anche se tale metodo diventa via via pi`u macchinoso, all’aumentare del numero dei generatori.
6.2.4 Esempio 1
Risolviamo lo schema di figura, applicando il principio di sovrapposizione:
E1
E2
E3
R1
R2
R3
R4
R5
A
B I
M1
1 2
E1 = 6 [V ]; E2 = 8 [V ]; E3 = 5 [V ];
R1 = 10 [Ω]; R2 = 20 [Ω]; R3 = 30 [Ω]; R4 = 40 [Ω]; R5 = 50 [Ω];
1. Con il solo E1
Calcolo della resistenza totale vista da E1:
RT A= R1+ R2+ R3 + R4+ R5 = 150 Ω
Corrente totale di E1, con verso concorde con I:
IT A= E1 RT A
= 6
150 = 0, 04 A = 40 mA 2. Con il solo E2
Calcolo della resistenza totale vista da E2:
RT B = R1+ R2+ R3+ R4+ R5 = 150 Ω Corrente totale di E2, con verso discorde con I:
IT B = E2
RT B = 8
150 = 0, 053 A = 53 mA 3. Con il solo E3
Calcolo della resistenza totale vista da E3:
RT C = R1+ R2+ R3+ R4+ R5 = 150 Ω Corrente totale di E3, con verso concorde con I:
IT C = E3 RT C
= 5
150 = 0, 033 A = 33 mA 4. Sovrapposizione degli effetti
IT A concorde con I, IT B discorde e IT C concorde, quindi:
I = IT A− IT B+ IT C = 0, 04 − 0, 053 + 0, 033 = 0, 02 A = 20 mA
6.2.5 Esempio 2
Applichiamo il principio di sovrapposizione allo schema di figura:
E1 E2
R1 R2
R3
A
B I1 I2
I3 E1 = 12 [V ]
E2 = 5 [V ] R1 = 100 [Ω]
R2 = 220 [Ω]
R3 = 330 [Ω]
Immaginiamo dapprima che nel circui-to agisca solo E1, come nel circuito a la-to, ed indichiamo con RT 1la resistenza totale che oppone ad esso il circuito:
RT 1= R1+ R2//R3 = 232Ω Allora, indicando con I1a la corrente erogata da E1, la quale ha il verso di figura, concorde rispetto al verso di I1, otteniamo: Immaginiamo poi che nel circuito
agi-sca solo E2, come nel circuito a lato, ed indichiamo con RT 2la resistenza totale che oppone ad esso il circuito:
RT 2= R2+ R1//R3 = 296, 7Ω Allora, indicando con I2b la corrente erogata da E2, la quale ha il verso di figura, concorde rispetto al verso di I2, otteniamo:
Le correnti complessive si ottengono, infine, sovrapponendo, tenendo conto dei segni, i valori delle correnti parziali:
I1 = I1a− I1b= 51, 7 mA − 12, 9 mA = 38, 8 mA I2 = −I2a+ I2b= −31 mA + 16, 8 mA = −14, 2 mA
I3 = I3a+ I3b = 20, 7 mA + 3, 9 mA = 24, 6 mA
6.2.6 Esercizi
• Esercizio 1
Semplificare, applicando il teorema di Th´evenin, la sot-torete di figura e determi-nare tensione e corrente su Rx. teorema di Th´evenin, la sot-torete di figura e determi-nare tensione e corrente su Rx. teo-rema di Th´evenin, la sottorete di figura.
Componenti basilari dell’elettronica
7.1 Il condensatore
Sappiamo che in natura le cariche elettriche positive e negative sono distribuite in numero uguale negli atomi, per cui complessivamente danno un effetto risultante nullo. Risulta quindi importante riuscire a separare le cariche negative da quelle positive. Il componente che `e in grado di svolgere questa funzione `e il condensatore.
Definizione 15. Il condensatore `e un componente elettrico passivo con due terminali, formato da due piastre metalliche elettricamen-te isolaelettricamen-te, detelettricamen-te armature, il quale `e in grado di accumulare cari-ca elettricari-ca, mantenendo separate le cari-cariche positive dalle cari-cariche negative.
C
Esso viene rappresentato con il simbolo grafico di figura.
I terminali sono saldati su ciascuna armatura e consentono di depositarvi la carica elettrica, positiva sull’una e negativa sull’altra. Il materiale isolante che separa elettricamente le armature viene chiamato dielettrico.
Man mano che la carica accumulata aumenta, tra le due piastre si viene a formare un campo elettrico crescente e tra le due armature si registra la presenza di una d.d.p. anch’essa crescente. La legge di funzionamento del condensatore `e quindi la seguente:
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Legge di funzionamento del condensatore:
La differenza di potenziale, VC, che si sviluppa ai ca-pi di un condensatore `e direttamente proporzionale alla quantit`a di carica, Q, accumulata nelle armature, ovve-ro il rapporto tra la quantit`a di carica e la d.d.p. `e una
costante, chiamata capacit`a del condensatore. O Q
VC
La relazione matematica tra la quantit`a di carica e la d.d.p. `e la seguente:
Q
VC = C = costante
L’unit`a di misura della capacit`a elettrica `e chiamata F arad e si indica con una F . Essa `e definita nel seguente modo:
1[F ] = 1[C]
1[V ] = 1[C] · [V−1]
Si tratta di una unit`a di misura molto grande ed infatti i condensatori pre-senti in commercio presentano valori di capacit`a molto inferiori, dai microfarad [µF ] = [10−6F ], ai nanofarad [nF ] = [10−9F ], ai picofarad [pF ] = [10−12F ].
Il valore della capacit`a dipende infatti da tre fattori: dalla superficie delle arma-ture, A, dalla distanza tra di esse, d, e dalla costante dielettrica, , del materiale isolante, secondo la seguente relazione:
C = · A d
Per ottenere elevati valori di capacit`a sono necessari elevati valori di costante die-lettrica, grande superficie delle armature e piccola distanza tra esse.
In commercio esistono diversi tipi di condensatori, i quali si differenziano per co-me sono costruiti e per il materiale usato coco-me dielettrico. I pi`u diffusi sono: i condensatori plastici, i condensatori ceramici e i condensatori elettrolitici.
I condensatori a film plastico utilizzano due fogli metallici sottili molto estesi, sepa-rati da un film di materiale plastico. Per contenere le dimensioni del condensatore il tutto viene avvolto, in modo che esso assume una caratteristica forma cilindri-ca. Si ottengono capacit`a fino all’ordine dei nF , in virt`u soprattutto della grande superficie.
I condensatori ceramici utilizzano un impasto ceramico inerte con all’interno dei granuli di una sostanza conduttrice, al fine di ottenere un elevato valore di costante dielettrica. Hanno una caratteristica forma a disco. Dosando la concentrazione
dell’impasto si ottengono capacit`a di diverso valore, dai pF ai nF .
I condensatori elettrolitici sono costituiti da due elettrodi metallici immersi in una sostanza elettrolitica. All’atto della costruzione esso `e sottoposto ad un processo elettrolitico di formazione durante il quale uno degli elettrodi si ricopre di un sotti-lissimo strato di ossido, diventando il dielettrico del condensatore. In questo modo si possono ottenere valori di capacit`a ben pi`u elevati dei precedenti, giungendo fino ai µF ed anche ai mF . Il condensatore elettrolitico, per`o, a differenza dei precedenti, `e dotato di polarit`a propria e quindi va polarizzato.
I condensatori sono usati in svariati tipi di applicazioni, tra le quali: la formazione di campi elettrici, la generazione di forme d’onda, il filtraggio, l’uso come batterie fittizzie, la costruzione di placche di deflessione, ecc.