Il problema della misurazione quantistica

Il problema della misurazione quantistica diede luogo ad accesi di- battiti sin dalla nascita della teoria quantistica nel 1920. John von Neumann introdusse il primo trattamento assiomatico rigoroso del- la meccanica quantistica nel 1955, intervenendo in maniera decisi- va anche sul problema della misurazione e fornendo una spiegazio-

ne chiara ai vari paradossi che erano stati introdotti per sostenere l'inadeguatezza della teoria quantistica.

Secondo la formalizzazione di von Neumann il processo di misura- zione avviene in due fasi. Nella prima fase l'operatore Hermitiano che rappresenta l'osservabile viene applicato allo stato del sistema generando uno stato entangled. In una seconda fase avviene il co- siddetto quantum leap o riduzione di stato, cioè il salto dallo stato entangled allo stato corrispondente ad uno degli autovettori dell'osservabile. Questa riduzione è non deterministica e conseguen- temente non c'è modo di prevedere quale dei risultati sarà ottenuto prima che il processo di misurazione abbia termine. In altre parole, per un osservabile non è mai possibile stabilire in maniera denita il valore che verrà misurato.

La meccanica quantistica fornisce tuttavia delle informazioni stati- stiche sui possibili risultati di una misurazione secondo quella che è nota come l'interpretazione statistica di Born. Attraverso misurazio- ni fatte su copie del sistema opportunamente preparate, è possibile stabilire la distribuzione probabilistica dei risultati. Il signicato di probabilità di un risultato va inteso secondo l'interpretazione data in teoria delle probabilità come frequenza relativa: la probabilità di un risultato è il rapporto tra il numero delle volte che l'esperi- mento ha successo (cioè si ottiene quel risultato) e il numero totale degli esperimenti fatti, purchè si ripeta l'esperimento un numero sucientemente grande di volte.

Capitolo 2

Codici Correttori d'Errore

Durante la trasmissione un codice può essere soggetto ad errori di di- versa natura. Siamo interessati a studiare dei codici (nel nostro caso quantistici) che siano in grado di rilevare l'errore ed eventualmente correggerlo.

I computer reali, ad esempio, devono scontrarsi con errori di calcolo dovuti a imperfezioni di dispositivi o rumori esterni ed è necessa- rio mettere a punto algoritmi di correzione per evitare che venga distrutta l'informazione.

Nella computazione quantistica, invece, emergono aspetti computa- zionali sia di tipo digitale sia di tipo analogico.

I metodi di controllo, nella teoria classica, sono di vario tipo ma, generalmente, di semplice implementazione.

Uno dei possibili errori, ad esempio, è un accidentale bit ip, ovvero l'inversione del valore di un bit da 0 a 1 o viceversa, oppure che l'informazione venga semplicemente cancellata (con una certa pro- babilità un bit viene azzerato, a prescindere dal suo valore iniziale). Una possibile soluzione è la ridondanza, ovvero associare ad ogni bit tre bit sici con lo stesso valore: in caso di bit ip si assume che il valore corretto sia quello che compare più volte nella terna.

L'esistenza di codici correttori quantistici è stata scoperta solo recen- temente. Un codice correttore quantistico è un modo di codicare gli stati quantistici in qubit, in modo che l'errore limiti o annulli com- pletamente l'alterazione dei dati codicati. In questo capitolo cer- cheremo di capire come eettuare l'elaborazione dell'informazione quantistica in modo adabile in presenza di rumore.

2.1 Introduzione

Il rumore rappresenta un grande fastidio per i sistemi di elabora- zione delle informazioni. Proprio per questo, quando è possibile, costruiamo sistemi in grado di evitare completamente il rumore, mentre qualora non fosse possibile, cerchiamo di proteggere i siste- mi dal rumore. Ad esempio, le componenti dei computers moderni sono estremamente adabili, con un tasso di fallimento tipicamente inferiore ad un errore di 1017_{operazioni, mentre modem e CD fanno}

uso di codici di correzione degli errori per la protezione contro gli eetti del rumore.

Figura 2.1: Schema di comunucazione

I dettagli delle tecniche utilizzate per la protezione contro il rumo- re in pratica sono piuttosto complicati, ma i principi di base sono facilmente comprensibili.

L'idea chiave è che, per proteggere un messaggio contro gli eetti del rumore, andiamo ad aggiungere alcune informazioni ridondanti. In questo modo, anche se alcune parti del messaggio codicato sono corrotte dal rumore, ci sarà abbastanza ridondanza nel messaggio da poter recuperare e decodicare il messaggio originale.

Supponiamo di voler trasmettere un bit da una posizione ad un'altra attraverso un canale di comunicazione classico e rumoroso. L'eetto

del rumore nel canale è quello di capovolgere il bit trasmesso, con probabilità p > 0, mentre con probabilità 1 − p il bit trasmesso è senza errori. Tale canale è noto come canale binario simmetrico ed è del tipo:

Figura 2.2: Rappresentazione di un canale binario simmetrico

Un modo semplice per proteggere i bit del codice contro gli eet- ti dell'errore nel canale binario simmetrico è quello di costruire il cosiddetto codice di ripetizione.

Tale codice si costruisce andando a sostituire i bit che vogliamo proteggere con più copie di se stesso, ad esempio 3:

0 −→ 000 1 −→ 111.

Ora inviamo i tre bit attraverso il canale e supponiamo che il bit in uscita sia 001.

E' molto probabile che il terzo bit è stato capovolto dal canale e che il bit 0 è quello che è stato inviato.

Questo tipo di decodica è chiamato Majority Voting, poichè il bit in uscita dal canale è un qualsiasi valore, 0 o 1, che appare più volte nel canale di uscita eettiva. Il majority voting non riesce se due o più bit inviati attraverso il canale sono stati capovolti e riesce altrimenti.

Molte tecniche intelligenti sono state sviluppate nella teoria dei co- dici correttori classici. Tuttavia l'idea chiave è sempre quella di aggiungere abbastanza ridondanza da poter recuperare il messaggio originale dopo che ha agito il rumore. La quantità di ridondanza da dover aggiungere varia a seconda della gravità del rumore nel canale. Vogliamo, dunque, sviluppare una teoria di codici correttori quanti- stici basata sugli stessi principi, o per lo meno su principi simili, di quelli dei codici correttori classici.