4. Cinematica dei rigidi
4.6. Il teorema di Mozzi
1. Se si considerano le varie grandezze fisiche (per quanto ci interessa qui, la velocità) in funzione dei punti del corpo in moto, si adotta il cosiddetto punto di vista lagrangiano o molecolare.
2. Se si considerano le stesse grandezze in funzione dei punti dello spazio, si adotta il cosiddetto punto di vista euleriano. In questo caso la formula di Poisson definisce un campo di velocità, cioè una funzione che associa, in ogni istante, a ogni punto dello spazio una velocità, e precisamente la velocità di quel punto materiale che, nell’istante considerato, si trova a passare per quel punto dello spazio. Questa descrizione è particolarmente utile nel caso del moto dei fluidi.
La distribuzione delle velocità del rigido in un dato istante si chiama atto di moto. Si possono usare per l’atto di moto gli stessi nomi già usati per i moti: traslatorio, rotatorio, elicoidale (come vedremo non ci sono, per i corpi rigidi, atti di moto diversi da questi).
È bene ricordare che un atto di moto può essere, per esempio, rotatorio, senza che il moto sia rotatorio: nell’atto di moto conta soltanto la distribuzione delle velocità nello spazio in un dato istante. Per esempio è facile rendersi conto che se consideriamo il caso particolare di un moto con punto fisso, gli atti di moto sono tutti rotatori, ma il moto ovviamente non è rotatorio. Ciò significa che, in ogni istante, il moto appare come una rotazione attorno a un asse, ma tale asse non è sempre lo stesso.
Per l’importanza che hanno nel seguito occupiamoci in particolare degli atti di moto elicoidali. In base alla definizione di moto elicoidale, dato il campo delle velocità di un rigido, in un dato istante deve esistere un punto A tale che, per ogni punto P , si abbia ~
vP = ~vA+ ~ω ∧ (P − A), con ~vA e ~ω paralleli. Se teniamo conto che in un moto rigido la
componente della velocità di un punto nella direzione di ~ω non dipende dal punto e che in questo caso ~vA k ~ω, ne deduciamo che ~vA è una costante, che possiamo semplicemente
indicare con ~τ. Dunque un atto di moto rigido è elicoidale se esiste un punto A tale che il campo di velocità del rigido sia dato da
(4.26) ~vP = ~τ + ~ω ∧ (P − A) , con ~τ k ~ω .
È evidente che gli atti di moto traslatorio e rotatorio sono casi particolari di quello elicoi- dale: nel primo basterà che ~ω = ~0, nel secondo che ~τ = ~0. In questi casi parleremo di atto di moto elicoidale degenere.
4.6. Il teorema di Mozzi
Il risultato fondamentale per quanto riguarda gli atti di moto è il seguente
Teorema 4.8 (Teorema di Mozzi(4)). Ogni atto di moto rigido è elicoidale, cioè si può scomporre in modo unico in un campo di velocità traslatorio uniforme e in un campo di velocità rotatorio attorno all’asse del moto elicoidale, detto asse di Mozzi:
(4.27) ~vP = ~vP,k+ ~vP,⊥= ~τ + ~ω ∧ (P − A) , con A ∈ asse di Mozzi .
Dimostrazione. La dimostrazione procede in modo formalmente identico a quella seguita per determinare l’asse centrale di un sistema di vettori applicati. In sostanza allora la
4G.Mozzi, 1730 − 1813
4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale
determinazione dell’asse centrale era basata sostanzialmente sulla formula di trasporto −→ MO0 = −→ MO+ −−→ O0O ∧−→R =−M→O+ − → R ∧−−→OO0 =−M→O+ − → R ∧ (O0− O) ,
e, a parte l’ovvio diverso significato dei vettori che vi compaiono, questa formula è simile alla formula di Poisson
~
vP = ~vA+ ~ω ∧ (P − A) .
Se per caso l’atto di moto è traslatorio, allora in quell’istante ~vP = ~vA= cost = ~τ, e non
c’è nulla da provare; se invece l’atto di moto è rotatorio, allora esiste un punto A tale che ~vP = ~ω ∧ (P − A)e ancora non c’è nulla da provare.
Supponiamo dunque che l’atto di moto non sia né traslatorio né rotatorio e consideriamo un punto P qualunque (P è, in questo caso, la posizione occupata da un punto del rigido nell’istante in esame). Come sappiamo, il componente di ~vP nella direzione di ~ω è costante
(come era costante il componente di−M→O nella direzione di
− →
R quando trattavamo i sistemi di vettori applicati). Indichiamo questo componente con ~τ. Con ~vP,⊥ indichiamo invece il
componente di ~vP perpendicolare alla direzione di ~ω. Si ha allora
~vP = ~τ + ~vP,⊥.
I vettori ~τ e ~vP,⊥ sono entrambi non nulli, altrimenti l’atto di moto sarebbe o rotatorio
o traslatorio, casi che abbiamo già considerato. Applichiamo i vettori ~vP, ~τ , ~vP,⊥ in P .
~ ω b P ~vP b A ~ ω ~ τ ~vP,⊥
Figura 4.7. Ricerca dell’asse di Mozzi
Consideriamo poi un punto A tale che se applichiamo ~ω in A, il suo momento rispetto a P sia ~vP,⊥, ovvero ~vP,⊥= −→ P A ∧ ~ω = ~ω ∧−→AP = ~ω ∧ (P − A) . Ma allora ~vP = ~τ + ~ω ∧ (P − A) .
È chiaro che A si può trovare esattamente come indicato per la costruzione della figura
2.13, nella pagina17, e che ogni altro punto della retta a per A e parallela a ~ω va bene. Per concludere basta provare che A non dipende dalla scelta del punto P usato nella dimostrazione. Se, partendo da un punto Q diverso da P si ottiene un punto A0 e si
considera la retta a0 per A0, parallela a ~ω, per la formula di Poisson si deve avere
(4.28) ~vA= ~vA0 + ~ω ∧ (A − A0) .
Poiché ~vAe ~vA0devono essere entrambi paralleli a ~ω e quindi tra di loro, mentre ~ω∧(A−A0)è
perpendicolare a ~ω, si conclude che ~ω∧(A−A0) = ~0, ovvero che A ≡ A0oppure ~ω k (A−A0),
Appunti di meccanica razionale 4.6. Il teorema di Mozzi
La retta a dunque esiste ed è unica, a meno che l’atto di moto non sia traslatorio e, come già detto, si chiama asse di moto o asse di Mozzi, o anora asse istantaneo di moto.
Si noti (anche qui in analogia con l’asse centrale di un sistema di vettori applicati) che l’asse di moto è la retta i cui punti hanno, nell’istante considerato, velocità minima (oltreché parallela a ~ω).
Nel caso in cui l’atto di moto sia rotatorio, l’asse di Mozzi prende il nome di asse istantaneo di rotazione.
Tenendo conto di quanto detto a proposito del teorema di Mozzi e tenendo conto che, qualunque sia P , I = ~vP · ~ω è un invariante (invariante scalare), possiamo concludere con
il seguente
Teorema 4.9 (Teorema di classificazione).
I ~ω ~vP tipo di atto di moto
6= 0 effettivamente elicoidale
= 0 6= ~0 rotatorio
= 0 = ~0 6= ~0 traslatorio
= 0 = ~0 = ~0 nullo
Dimostrazione. Proviamo, per esempio, che ~ω 6= ~0 e I = 0 ⇔ l’atto di moto è rotatorio. Basta osservare che il componente di ~vP parallelo a ~ω si scrive in generale
~vP,k = Ç ~vP · ~ ω k~ωk å ~ ω k~ωk = I k~ωk2ω .~
Dunque se ~ω 6= ~0, esso si annulla se e solo se I = 0, e quindi, in tal caso sopravvive solo il componente ~vP,⊥ (detto anche componente rotatorio per evidenti motivi).
Equazione dell’asse di moto
Consideriamo un atto di moto non traslatorio (~ω 6= ~0) e indichiamo con a l’asse di moto di cui vogliamo trovare l’equazione. Dato il punto O, origine di S, consideriamo un punto A di a che stia nel piano per O perpendicolare a ~ω. A, come ogni punto dell’asse di moto, ha ~vAk ~ω, e dunque ~ω ∧ ~vA= ~0. Allora: ~ ω ∧ ~vA= ~0 = ~ω ∧ [~vO+ ~ω ∧ (A − O)] = = ~ω ∧ [~vO+ ~ω ∧ (~xA− ~xO)] = = ~ω ∧ ~vO+ ~ω ∧ (~ω ∧ (~xA− ~xO)) = = ~ω ∧ ~vO+ [~ω · (~xA− ~xO)] ~ω − [~ω · ~ω] (~xA− ~xO) ; poiché ~ω · (~xA− ~xO) = 0, in quanto −→ OA ⊥ ~ω, ne segue ~0 = ~ω ∧ ~vO− [~ω · ~ω] (~xA− ~xO) = ~ω ∧ ~vO− ω2(~xA− ~xO) . Dunque ~ xA= ~xO+ ~ ω ∧ ~vO ω2 .
Come detto, per ottenere gli altri punti dell’asse di Mozzi, basterà spostarsi lunga la retta per A, parallelamente a ~ω, ovvero aggiungere al vettore ~xA trovato prima un vettore
4. Cinematica dei rigidi Appunti di meccanica razionale
del tipo λ~ω. L’equazione dell’asse di moto in forma parametrica, e con parametro λ, sarà allora
(4.29) ~x = ~xO+
~ ω ∧ ~vO
ω2 + λ~ω .