Il Vehicle Routing Problem

Il Vehicle Routing Problem (VRP) è un problema operativo molto comune nella Grande Distribuzione Organizzata. Lo scopo del problema è quello di individuare delle rotte percorribili da un insieme di veicoli al fine di consegnare la merce a dei punti vendita, minimizzando i costi.

Nel 1959 Dantzig e Ramser introdussero il VRP, successivamente molti autori iniziarono a proporre diversi modelli e algoritmi euristici. La letteratura quindi, propone differenti modelli e approcci di risoluzione per il Vehicle Routing Problem, che si differenziano per le assunzioni di partenza73. Le variabili che influenzano la programmazione dei viaggi normalmente sono molto diverse e si modificano in base alla realtà aziendale, nella quale si presenta il problema. Il VRP può quindi essere adattato al contesto operativo in cui si presenta il problema dell’instradamento, definendo le caratteristiche dei veicoli, dei clienti e della rete di trasporto. In base ai vincoli che devono esser tenuti in considerazione nell’individuazione della soluzione, vengono identificate delle versioni diverse del problema, il quale assume differenti sfaccettature, in base alle differenti assunzioni di partenza. Infine, nel caso in cui gli operatori possiedano una conoscenza parziale della domanda dei clienti, oppure dei costi associati agli archi, è necessario considerare delle versioni stocastiche del VRP. Di seguito vengono analizzati gli elementi74 che possono influenzare il problema.

Clienti o punti vendita:

i clienti sono caratterizzati da un quantitativo di merce che deve esser consegnata o ritirata. Ogni cliente è rappresentato da un nodo del grafo, che identifica la posizione del

72

Si veda paragrafo 5.4.

73 _{Toth, Vigo, 2002, p. 4} 74 _{Toth, Vigo, 2002, pp. 1-5}

cliente in una mappa. Ad ogni cliente potrebbero corrispondere tempi di carico o di scarico differenti e delle finestre orarie in cui è possibile effettuare il servizio. Inoltre in molti casi reali, i clienti sono associati a priori ad un deposito e possiedono dei vincoli strutturali, perciò è necessario individuare un sottoinsieme di mezzi idonei a soddisfare tutte le esigenze.

Alcune volte non è possibile soddisfare completamente la domanda dei clienti, per cui la quantità da consegnare può esser inferiore rispetto a quella richiesta. In tal caso è necessario assegnare delle priorità alla merce da consegnare o ai clienti stessi.

Veicoli:

la flotta dei veicoli può esser localizzata in uno o più depositi e rappresenta l’insieme di mezzi che possono esser impiegati per la consegna delle merci nei punti vendita. I veicoli possono essere omogenei (se sono tutti uguali) o eterogenei (se presentano caratteristiche differenti); per i veicoli eterogenei sarà quindi associato un costo diverso in base alla tipologia di mezzo utilizzata.

La soluzione del VRP cerca di determinare un set di rotte, ognuna delle quali viene affidata ad un veicolo che rispetti tutte le esigenze dei clienti. In molti casi reali, i veicoli devono tornare al deposito di appartenenza una volta concluso il viaggio di consegna perciò, il VRP può essere scomposto in più problemi indipendenti, ognuno associato ad un differente deposito.

Ogni mezzo possiede una capacità espressa in volume, numero di pallet o peso e, in alcuni casi, il veicolo può esser suddiviso in compartimenti, caratterizzati da una propria capacità e dalla tipologia di merce che può trasportare. Alcuni veicoli possiedono un meccanismo per la movimentazione delle merci che può influenzarne il tempo di carico/scarico. Infine in molte applicazioni ogni veicolo può esser impiegato per più viaggi che, in alcuni casi, possono durare più di 24 ore. La maggior parte delle volte, i vincoli imposti ai trasportatori vengono associati ai mezzi corrispondenti. I trasportatori, infatti, devono rispettare diversi vincoli stabiliti dai contratti sindacali o dalle regolamentazioni aziendali.

Rete di trasporto:

Il network di tratte utilizzato per trasportare le merci generalmente è rappresentato da un grafo, in cui gli archi rappresentano le sezioni di strada percorribile dal veicolo. Gli

archi si dicono orientati se i veicoli possono spostarsi seguendo una sola direzione, vengono definiti come non orientati se l’arco può esser percorso in entrambe le direzioni. Ad ogni arco è associato un costo ed un tempo di viaggio che dipendono dal tipo di veicolo.

Il network deve soddisfare i vincoli che dipendono dalla natura dei beni trasportati, dalla qualità del livello di servizio e dalle caratteristiche dei veicoli e dei clienti. Ad esempio, un vincolo molto comune è rappresentato dalla precedenza di consegna dei clienti.

Anche la funzione obiettivo del VRP muta in base all’approccio che si intende utilizzare. In alcune versioni si vuole minimizzare il costo totale dei viaggi, in altre il numero di veicoli impiegati o la distanza percorsa.

Di seguito si propone la formulazione matematica75.

Se I è l’insieme dei punti vendita, sia la richiesta di merci, espressa in pallet, del punto vendita i, . Si indichi con K l’insieme delle differenti tipologie di camion e con il numero di camion di tipo k ed infine con la capacità del mezzo k. Inoltre siano disponibili i tempi di percorrenza, inclusi i tempi di scarico, fra il deposito e il punto vendita e per ogni coppia di punto vendita. I tempi di percorrenza sono dati incerti poiché dipendono dal traffico. In questo modello, per ridurre la complessità, si assumono i tempi di percorrenza come invarianti. Il modello proposto si focalizza sulla creazione delle rotte, supponendo di possedere già un elenco di possibili insiemi di punti vendita visitabili da un furgone, di capacità fissata, nell’arco di una giornata. Questo assunto presuppone che i punti vendita siano localizzati ad una distanza per cui il tempo di scarico e degli spostamenti non superino le 24 ore e che la quantità di merce da consegnare nei supermercati rispetti il vincolo di capacità del camion. Si è deciso di tralasciare la modalità con cui viene creato l’elenco.

Ad ogni sottoinsieme dell’elenco è associata ad una coppia di indici (j,k); di conseguenza il sottoinsieme è il j-esimo dell’elenco, associato ai furgoni di tipo k . I camion vengono suddivisi a seconda della loro capacità.

Infine associamo ad ogni sottoinsieme di indice (j,k) un vettore di incidenza dove:

ed una variabile decisionale dove:

Il seguente vincolo impone che ogni nodo i debba esser visitato da un camion:

(3.1)

Considerato che {0,1} e che {0,1}, un termine della sommatoria è esattamente uguale a 1 mentre gli altri sono uguali a 0. Quindi per il sotto-insieme (j,k) il cui termine è uguale ad 1, sia il vettore di incidenza che la variabile decisionale devono essere uguali ad uno. Il vincolo sopra descritto appartiene alla tipologia dei vincoli di partizione perché ogni soluzione ammissibile del vincolo (3.1) corrisponde ad una partizione dell’insieme dei nodi.

Un’altra variabile da tener presente è il numero di camion disponibili di tipo k. È quindi necessario introdurre il seguente vincolo:

(3.2)

quindi la sommatoria della variabile decisionale deve esser inferiore al numero di furgoni di tipo k.

Infine associamo un costo , ad ogni sottoinsieme di indice (j,k).

Ammesso di possedere l’elenco dei sottoinsiemi con i relativi costi, il problema può esser formulato con il seguente modello di programmazione lineare 0-176.

(3.3)