2.2 La Formazione delle Immagini
2.2.2 Image Processing
Le tecniche per ricostruire l’immagine MR dal segnale acquisito hanno l’o- biettivo di risalire alla densit`a degli spin in un determinato voxel e determi- nare, all’interno dello stesso volume, le caratteristiche di rilassamento. Per una ricostruzione accurata delle immagini, vengono usati tre gradienti:
• slice selection: l’imaging di un volume si ottiene selezionandone di volta in volta una singola fetta dalla quale vengono ricavati, per ogni voxel, le informazioni relative alle caratteristiche dei tessuti all’interno del volumetto e le loro differenze. La selezione della slice avviene tramite l’applicazione di un impulso RF di frequenza pari o a quella di Larmor del gradiente di campo statico o, alternativamente, ad una banda limitata di frequenze, centrate sempre intorno a ω0. Ha la forma
di una funzione sync e viene applicato in contemporanea all’accensione del gradiente di selezione della slice, in questo modo solo gli spin che avranno la corretta frequenza all’interno del gradiente entreranno in risonanza all’applicazione dell’impulso RF;
• codifica in frequenza: si ottiene tramite la variazione lineare del campo magnetico locale, in modo tale che ad ogni posizione, lungo una certa direzione, corrisponda un frequenza diversa;
• codifica di fase: serve a produrre i dati necessari per fornire infor- mazioni sulla seconda dimensione nella ricostruzione di un immagine bidimensionale. Questo approccio rende molto pi`u rapido il processo di generazione dell’immagine rispetto al metodo FBP. Il gradiente di phase encoding ha una funzione concettualmente simile a quello di fre- quency encoding: viene acceso per un tempo limitato dopo che gli spin sono stati ruotati nel piano trasverso dall’impulso RF, in modo tale che spin collocati in aree diverse siano caratterizzati da fasi diverse. Nei successivi periodi di ripetizione TR, il gradiente di fase viene incre- mentato al fine di riempire quello che viene definito k-space (che verr`a descritto successivamente) e dal quale, tramite trasformata di Fourier, si pu`o risalire ad un’immagine che rappresenti la distribuzione degli spin nel tessuto d’interesse.
k-space E’ lo spazio dei dati raccolti (segnali) dal volume di cui si vuole produrre una rappresentazione ed `e il coniugato dello spazio dell’immagine, di conseguenza ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza ed `e correlato con l’immagine attraverso la trasformata di Fourier. Nel caso di un’imma- gine 2D, `e bidimensionale e contiene l’informazione relativa a quest’ultima sotto forma di segnale. La parte centrale `e occupata dalle basse frequenze che contengono l’informazione relativa al contrasto e alla forma dell’oggetto da rappresentare, mentre, spostandosi dal centro verso l’esterno, si trovano
2.2. LA FORMAZIONE DELLE IMMAGINI 35
Figura 2.4: Pulse sequence diagram di una sequenza spin echo
le alte frequenze, che sono quelle che definiscono i contorni dell’immagine ri- sultante dal processo di ricostruzione. Il segnale ricevuto `e la trasformata di Fourier della densit`a degli spin all’interno dell’oggetto studiato e si esprime come:
S(kx, ky, kz) =
Z Z Z
ρ(x, y, z)e−i2π(kxx+kyy+kzz)dxdydz (2.22)
dove ρ `e la densit`a degli spin, mentre k `e la frequenza spaziale nelle tre dire- zioni, tale che k = k(t) e dimensionalmente si esprime in cm−1. L’equazione 2.22 `e equivalente alla forma seguente:
S(kx, ky, kz) = F [ρ(x, y, z)] (2.23)
dove F indica la trasformata di Fourier.
La registrazione delle informazioni nel k-spazio `e un processo discreto a causa sia della necessit`a di digitalizzare il segnale nell’iter di ricostruzione dell’immagine, sia dell’applicazione, in step discreti, del gradiente di codifica di fase. Poich´e si ha a che fare con una conversione del segnale in forma discreta, `e necessario che il campionamento sia regolato in base al teorema di Nyquist-Shannon, che afferma che, per evitare affetti di aliasing, la frequenza con cui viene eseguito deve essere maggiore o, al limite , uguale al doppio della pi`u alta frequenza spaziale presente nell’immagine. La dimensione del pixel risulter`a quindi essere inversamente proporzionale a due volte kxmax o
kymax a seconda che si consideri l’asse x o y.
Le modalit`a di riempimento del k-spazio sono molteplici e dipendono dal- la sequenza di impulsi utilizzata, dai parametri scelti per la digitalizzazione dell’immagine e dalle finalit`a della sequenza selezionata. In una normale acquisizione di spin echo o gradient echo, per i quali il gradiente di lettura
Gx `e mantenuto costante, verr`a acquisita, per ogni ripetizione della sequen-
za, una linea del k-space. Quando il gradiente di codifica di fase `e nullo, la riga acquisita `e l’asse kx, quando viene aggiunto un impulso di gradiente
tra eccitazione a RF e accensione del gradiente di lettura, viene acquisita una linea pi`u in alto o pi`u in basso nel k-spazio, dove ogni riga `e tale che ky = cost. In formule:
kx= γGxt (2.24)
ky = γGyt (2.25)
dalle quali appare chiaro come ogni riga del k-space venga acquisita tramite variazione del corrispondente gradiente.
Il metodo appena esposto appartiene alle strategie di campionamento rettangolare.
Una volta completato il riempimento del k-space si pu`o risalire all’imma- gine eseguendo la trasformata di Fourier dei dati campionati, ottenendo delle mappe che mostrano la distribuzione, all’interno dei tessuti, degli spin iso- cromi; lo stesso risultato pu`o essere ottenuto tramite tecniche di proiezione analoghe a quelle della tomografia computerizzata.
Le relazioni riportate nelle equazioni 2.24 e 2.25 consentono di chiarire come la risonanza magnetica sia in grado di ottenere una risoluzione spaziale tanto ridotta (dell’ordine di grandezza degli 0.2 mm) utilizzando impulsi a radiofrequenza. Questo si spiega riconsiderando la definizione di segnale, da- ta dall’equazione 2.22: si consideri il volume da esaminare, costituito da pi`u elementi con densit`a di spin diverse e sottoposto ad una magnetizzazione di equilibrio M0(r), proporzionale alla densit`a dei nuclei all’interno di ciascun
voxel (individuato dalla posizione r ); se si esprime il segnale proveniente da questo volume in funzione del tempo, la sua definizione sar`a:
S(t) = Z +∞
−∞
M0(r)eiω(r)tdr (2.26)
analoga alla 2.22, o, equivalentemente: S(t) =
Z +∞ −∞
M0(r)e−iγGrtdr (2.27)
In quest’ultimo caso, si vede bene come il segnale assuma una forma analoga a quella dello scattering di un’onda piana avente lunghezza d’onda λ = 2πk , che diventa, sostituendo le 2.24 e 2.25:
λ = 2π
γGt (2.28)
La lunghezza d’onda λ rappresenta la risoluzione del sistema di imaging, che quindi non dipende dalla lunghezza d’onda della radiofrequenza, bens`ı dal rapporto giromagnetico degli atomi considerati (in genere i nuclei idrogeno) e dal gradiente del campo.