Capitolo 2: Fuzzy Logic
2.8. Analisi e architettura di un sistema inferenziale fuzzy
2.8.3. Implicazione dell’antecedente al conseguente
Con l’espressione “aggregazione dell’antecedente” s’intende la valutazione del grado
di verità della precondizione (IF-part), cioè la determinazione dell’intensità con la quale
sono soddisfatte due o più condizioni del tipo:
I possibili aggregatori sono:
• AND logico
• OR logico
• Operatore Gamma
• Operatore Min-Max
• Operatore Min-Avg
1)
L’AND logico considera il minimo grado di verità fra le funzioni di appartenenza.
Questo operatore è stato, insieme all’OR logico, uno dei primi aggregatori ad essere
proposto ed impiegato ed è tuttora il più utilizzato in diverse applicazioni pratiche, per
varie ragioni. Innanzitutto usare il minimo fra due gradi di soddisfazione sembra più che
plausibile. Infatti se si prende in considerazione una regola come “IF continuità = alta AND
reddito = medio THEN liquidità = alta”, questa si verificherà quando verranno soddisfatte
entrambe le condizioni. Con l’uso del minimo come aggregatore la liquidità sarà alta nella
misura del minor grado di soddisfazione fra le due condizioni. Ciò significa che almeno in
quella misura è pienamente soddisfatta. Pur essendo quello che produce il valore più
elevato fra quelli di intersezione, l’operatore Minimo è molto prudente. Esso infatti,
considerando sempre il grado di appartenenza più basso, finisce per ignorare il grado di
verità dell’altra condizione. Certo è che l’uso del Minimo riduce i tempi di elaborazione
delle regole ed è molto semplice. È fondamentalmente per questa ragione che il Minimo
risulta essere l’aggregatore più utilizzato.
2)
L’operatore logico OR esegue il massimo delle funzioni di appartenenza implicate
nel processo di aggregazione. Analogamente a quanto accade con l’utilizzo dell’operatore
AND, l’OR logico considera soltanto i valori estremi assunti dalle funzioni di membership.
Esso in sostanza impedisce di considerare i valori intermedi risultanti dalla compensazione
tra le condizioni.
3)
L’operatore GAMMA consente di realizzare una compensazione fra le funzioni di
appartenenza. Per questa ragione esso, rispetto agli altri operatori, permette di tradurre in
modo più appropriato il processo decisionale umano.
[0,1]
con
)
1
(
1
1 ) 1 ( 1∈
−
−
∗
=
∏
∏
= − =γ
µ
µ
µ
γ γ n i i n i i(1.16)
Questo operatore viene utilizzato nei casi in cui si abbiano due condizioni che possono
essere soddisfatte anche non contemporaneamente e quando un eccesso di soddisfazione di
una compensa una carenza di soddisfazione nell’altra. Per gli esseri umani l’operazione di
compensazioneè logico intuitiva, ma per formalizzare questo procedimento in fase di
costruzione di un sistema fuzzy è necessario scegliere un valore Gamma appropriato. Esso
varia tra 0 e 1: più tende a 0, più questo operatore si avvicina all’AND probabilistico e più
tende a 1 , più si avvicina all’OR probabilistico.
Non esiste un metodo standard che permetta di estrarre il valore di Gamma opportuno,
ma dall’analisi empirica è risultato che:
• Regole con stesse variabili di input e di output hanno lo stesso grado di
compensazione;
• Nelle implementazioni pratiche il valore di Gamma è significativo fra 0,1 e 0,4;
• Un approccio semplificato per determinare il valore di Gamma è quello di
fissarlo inizialmente pari a 0,25. Se successivamente durante le prove concrete
del sistema lo si dovesse ritenere non appropriato, si procederà aumentandolo
oppure diminuendolo.
Ad esempio si supponga di avere ricevuto alcune offerte di lavoro e di dover scegliere
quale di queste accettare. Si ipotizzi per semplicità che la scelta si basi esclusivamente su
due variabili: (1) ammontare dello stipendio mensile e (2) distanza dell’abitazione dal
luogo di lavoro. È ovvio che la scelta ottimale ricadrebbe sulla proposta caratterizzata da
uno stipendio elevato e da una distanza bassa, ma anche se lo stipendio fosse più basso e il
luogo di lavoro più vicino a casa o, in alternativa, lo stipendio alto, ma il luogo di lavoro
lontano, ci si potrebbe ritenere “soddisfatti”. Questo significa che ci si accontenterà di una
compensazione tra una condizione più “vera” e una meno “vera”. Una delle regole logiche
da applicare in questo caso sarà:
Si supponga di dover vagliare tre proposte con le seguenti caratteristiche:
IMPIEGO
Stipendio = alto
Distanza = bassa
Proposta A
μ
alto= 0.3
μ
bassa= 0.4
Proposta B
μ
alto= 0.3
μ
bassa= 0.8
Proposta C
μ
alto= 0.28
μ
bassa= 1.0
Se la scelta dell’aggregatore ricade sul Minimo, si avrà:
• Proposta A Min{μ
alto= 0.3 ; μ
bassa= 0.4}= 0.3
• Proposta B Min{μ
alto= 0.3 ; μ
bassa= 0.8}= 0.3
• Proposta C Min{μ
alto= 0.28 ; μ
bassa= 1.0}= 0.28
Le proposte di impiego A e B sono caratterizzate dallo stesso grado attrazione, pari a
0,3. Se però si osservano attentamente gli aspetti delle due possibilità ci si accorge che,
nonostante siano indifferenti dal punto di vista dello stipendio offerto, in realtà l’offerta B
risulta essere migliore dal punto di vista della distanza giornaliera da percorrere per
raggiungere il luogo di lavoro. Se poi si considera l’offerta C si osserva che questa viene
reputata meno attrattiva delle precedenti, ma in considerazione del fatto che a fronte di uno
stipendio leggermente più basso corrisponderebbe una riduzione sensibile della distanza
giornalmente percorsa per recarsi sul posto di lavoro, si può ragionevolmente pensare che
nella realtà la terza soluzione sarebbe quella maggiormente appetibile. Il fatto che ciò non
emerga invece dall’analisi dipende proprio dalla scelta dell’aggregatore: utilizzando l’AND
logico infatti si considera solo il minimo grado di verità tra le funzioni di appartenenza e,
di conseguenza, se i cambiamenti nelle altre caratteristiche superano questo valore, non
vengono prese in considerazione.
Se invece si utilizza l’operatore GAMMA, con un valore di γ pari, ad esempio, a 0,3, i
risultati si presenteranno nel modo seguente:
• Proposta A Gamma{μ
alto= 0.3 ; μ
bassa= 0.4}= 0.19
• Proposta B Gamma{μ
alto= 0.3 ; μ
bassa= 0.8}= 0.35
• Proposta C Gamma{μ
alto= 0.28 ; μ
bassa= 1.0}= 0.41
Così facendo, si opera una compensazione tra le caratteristiche delle variabili prese in
considerazione nell’analisi. Dai risultati ottenuti la scelta ricadrà sulla proposta C, che è
evidentemente migliore rispetto ad A e B, coerentemente con le osservazioni svolte
precedentemente. In particolare si nota che la possibilità A che, utilizzando il MIN come
aggregatore, risultava la più attrattiva viene segnalata ora come la proposta peggiore.
Nell’esempio presentato si è considerato un caso in cui risulti conveniente operare una
compensazione fra le funzioni di appartenenza ma è necessario sottolineare che questa
operazione non rappresenta una costante nelle decisioni umane. Tutto dipende dal contesto
in cui si opera.
1)
L’operatore MIN-MAX è una combinazione convessa fra minimo e massimo:
μ = λ ∗ max { μ
i} + ( 1 - λ ) ∗ min { μ
i}
2)
L’operatore MIN-AVG è una combinazione convessa fra minimo e media:
μ = λ / n ∗ Σ μ
i+ ( 1 - λ ) ∗ min { μ
i}
Nel documento
Analisi congiunturale e strutturale delle economie regionali: un approccio "fuzzy" alla specializzazione produttiva
(pagine 53-57)