4.2 Modello matematico lineare
4.3.2 Indagine preliminare con modello matematico sempli cato
Si è eettuata un'indagine preliminare con un modello matematico sempli cato che con- siderava lo smorzamento elettrico a scatola chiusa, ignorando quindi i parametri che concorrono a determinarlo; lquesto ha permesso di avere una visione d'insieme sul pro- blema e di determinare la strategia di ottimizzazione più corretta in termini di input del modello. Si sono quindi de nite le seguenti variabili oggetto di ottimizzazione:
frequenza naturale del generatore fsys
smorzamento elettrico ce
Non disponendo di dati sperimentali per il caso particolare in esame ed essendo ancora in una fase preliminare di studio, la scelta del valore da attribuire allo smorzamento meccanico del sistema è stata eettuata nel ipotizzando ragionevolmente di sospendere la massa mediante un elemento elastico in acciaio e considerando i seguenti dati:
- per strutture in acciaio si ha tipicamente uno smorzamento relativo al critico ζ = 0.01 ÷ 0.02
- studi sperimentali su harvester analoghi e di dimensioni simili riportano ζ ∼ 0.01
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Input n. Descrizione Durata (s)
1 Vibrazioni BDC a 10 Km/h (m/s2) 15 2 Vibrazioni BDC a 15 Km/h (m/s2) 15 3 Vibrazioni BDC a 20 Km/h (m/s2) 15 4 Vibrazioni MTB a 10 Km/h (m/s2) 15 5 Vibrazioni MTB a 15 Km/h (m/s2) 15 6 Vibrazioni MTB a 20 Km/h (m/s2) 15
7 Sequenza input n. 1, 2, 3, 4, 5, 6 in sequenza 90
Tabella 4.1: Input utilizzati per l'ottimizzazione dei parametri Si è pertanto posto ragionevolmente e cautelativamente:
ζm = 0.015. (4.33)
Per quanto riguarda la massa oscillante è noto che deve essere maggiore possibile ed una stima ragionevole può essere eettuata a partire dal volume cilindrico disponibile Vdisp'
25 cm3ipotizzando di collocarvi del materiale con densità simile a quella dell'acciaio (i magneti al neodimio ed eventuali materiali zavorranti diamagnetici3 hanno densità
simile a quella dell'acciao), lasciando uno spazio libero ragionevole per gli eleneti elastici (le molle) e per il meccanismo di trasduzione. Si stima pertanto di poter disporre nel generatore una massa oscillante:
mtot = 50 g. (4.34)
Si è eettuata un'ottimizzazione delle due variabili scelte (frequenza e smorzamento) per ciascuno degli input elencati nella seguente tabella (totale di 7 processi di ottimizza- zione), massimizzando ogni volta la potenza elettrica totale media, de nita come:
PET OT,m= 1 Tsim Tˆsim 0 PET OT(t)dt (4.35)
dove Tsim risulta essere la durata della simulazione numerica (corrispondente alla dura-
ta del segnale fornito come input, ovvero la durata dei test su strada visti al capitolo precedente), pertanto la tness function risulta essere:
F F = 1
PET OT,m
. (4.36)
La ricerca della frequenza naturale è stata ristretta al range [10 30] Hz, mentre non si sono posti limiti inferiore/superiore ai valori che poteva assumere lo smorzamento elettrico, allo scopo di individuare il valore teorico migliore. I risultati sono illustrati in gura 4.9, dove si riportano i valori dei parametri ottimizzati ed i valori di potenza ottenibili sia sull'input sul quale si è eettuata l'ottimizzazione, che sugli altri input, quindi in condizioni di funzionamento o-design. Si seguenti aspetti:
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- si nota chiaramente la tendenza ad avere valori di smorzamento elettrico molto maggiori dello smorzamento meccanico, e quindi valori aggiori di quelli teorici ottimali per segnali sinusoidali a singola frequenza; questo comporta quindi un minore picco della risposta in frequenza dell'harvester, ma anche un allargamento della stessa, mostrando chiaramente la necessità di allar- gare la risposta in frequenza del device ( velocità massa oscillante vs. freq. eccitatrice) piuttosto che concentrarsi su una singola frequenza (in gura è riportato il diagramma di bode della risposta in frequenza del generatore in termini di velocità della massa vs frequenza della vibrazione eccitatrice, paragonato con il diagramma di bode dello stesso sistema nel quale sia posto però ce = cm);
- la frequenza naturale del sistema viene sempre scelta all'interno del range [11 19] Hz in corrispondenza del picco massimo dello spettro in quell'intervallo di frequenze, ed eccezion fatta per le ottimizzazioni sull'input n.4, e la frequenza naturale ottimale è molto simile da caso a caso, escluso il caso appena visto; - I valori di smorzamento elettrico ottimale trovati sono tanto maggiori quanto più sporco è lo spettro del segnale, e questo è in accordo con le considera- zioni appena fatte. I valori ottimali trovati potrebbero essere troppo elevati considerando i nostri vincoli geometrico-tecnologici, in tal caso bisognerà ac- contentarsi di valori di smorzamento più bassi limitando la potenza elettrica totale, ma questo verà visto al paragrafo successivo;
- la performance dell'harvester ottimizzato sull'input i-esimo non decadono più di tanto quando si eettua la simulazionew sugli altri input (condizioni di funzionamento o-design, vedi colonne dello stesso colore nell'istogramma in gura ). Questo evidentemente è dovuto al fatto che c'è comunque ro- ba anche al di fuori della frequenza dominante nello spettro di fourier del generico input; in sostanza, vi è sempre qualcosa in termini di vibrazioni nell'intervallo 10-20 Hz. L'elevato valore di smorzamento elettrico (e quindi totale) aiuta a raccogliere energia anche al di fuori della frequenza di risonanza dell'harvester
La con gurazione più versatile si ottiene ottimizzando i parametri sull'input n. 7 : la potenza ottenibile simulando il generatore così ottimizzato sui 6 input corrispondenti ai test rappresenta una buona media delle prestazioni ottenibili con le altre con gurazioni ottimizzate. Si nota inoltre come la potenza ottenibile ad una determinata velocità sia sostanzialmente indipendente dalla bicicletta usata nel test, tutto ciò permette quindi di individuare una strategia generale di ottimizzazione dei parametri; la gura 4.8 riporta pertanto i valori indicativi della potenza elettrica totale ottenibile alle varie velocità mediante il generatore così ottimizzato.
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Figura 4.8: Valori indicativi della potenza elettrica totale ottenibile alle varie velocità
Ottimizzaz. su input n. fsys,opt (Hz) ce,opt (N·s/m)
1 18.7 0.72 2 13.5 0.48 3 14.5 0.78 4 7.9 0.79 5 12.9 0.3 6 11.4 0.3 7 13 0.59
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Figura 4.10: Confronto fra la risposta in frequenza del generatore con smorzamento elettrico settato secondo l'equazione 2.15 e la risposta in frequenza del generatore ottimizzato su input n. 7
Figura 4.11: Rappresentazione schematica del generatore con indicazione dei parametri da ottimizzare e dei vincoli geometrici
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